初中数学湘教版九年级上册3.3 相似图形课后测评

3.3　相似图形

一、选择题

1.下列图形不一定相似的是(　　)

A．两个圆   B．两个等边三角形    C．两个菱形   D．国旗上的五角星

2.如图，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE＝∠C，则AD：AC等于(　　)

A．AE：AC       B．DE ： BC          C．AE：BC       D．DE ： AB

第2题图                                第4题图                            第6题图   

3.【2019·兰州】已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则等于(　　)

A．2  B.  C．3  D.

4.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2.若BC＝1，则EF的长是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

5.两个等边三角形、两个矩形、两个正方形、两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是(　　)

6.如图是用火柴棒摆出的两个正五边形的图案，它们的相似比为(　　)

A．1：2  B．2：3  C．1：3  D．2：5

7.若△ABC∽△DEF，∠A＝50°，则∠D的度数是(　　)

A．50°    B．60°    C．70°    D．80°

8.若△ABC与△DEF的相似比为4∶3，则△DEF与△ABC的相似比为(　　)

A．4∶3       B．3∶4        C．16∶9        D．9∶16

9.若△ABC∽△A′B′C′，AB＝12, AC＝15，A′B′＝16，则A′C′的长为(　　)

A．18        B．20        C．24        D．32

10.如图所示的两个四边形相似，则α的度数是(　　)

A．87°    B．60°    C．75°    D．120°

第10题图                      第11题图               第12题图   

11.如图所示，△AOB∽△COD，下列各式中正确的有(　　)

①＝；②＝；③＝；④＝.

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

12.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的点F处，若四边形EFDC(EF＞DF)与矩形ABCD相似，则DF的长为(　　)

A.       B.        C.        D．1

二、填空题

13.如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50°和60°，那么另一个三角形的最大角为________度．

14.一个四边形的边长分别是3,4,5,6,另一个与它相似的四边形的最小边长为6,则另一个四边形的最长边长是　  　. 

15.如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝________，m＝________.

16.利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为________.

17.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝60，CD＝15，E，F分别为AD，BC上一点，且EF∥AB，若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF＝________.

18.如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则矩形ABCD的面积是________.

三、解答题

19.如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝60°，∠E＝120°，DC＝24，HE＝18，HG＝21.求∠D，∠F的大小和AD的长．

20.【2021·宁波期末】如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，求AD的长．

21.如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5 cm，EC＝3 cm，BC＝7 cm，∠C＝40°.

(1)求∠AED的大小；

(2)求DE的长．

22.【2021·郑州外国语中学校级月考】如图，多边形ABCDEF与多边形A1B1C1D1E1F1相似，其中A，B，C，D，E，F的对应点分别为A1，B1，C1，D1，E1，F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°.

(1)求∠F的度数；

(2)如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15 cm，求C1D1的长．

23.如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a，b，c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1.

(1)若c＝a1，求证：a＝kc；

(2)若c＝a1，试给出一对△ABC和△A1B1C1，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数，并加以说明；

(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1，使得k＝2？请说明理由．

24.一个矩形ABCD的较短边长为2.

(1)如图1,若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似,求它的另一边长;

(2)如图2,已知矩形ABCD的另一边长为4,剪去一个矩形ABEF后,余下的矩形EFDC与原矩形相似,求余下的矩形EFDC的面积.

参考答案

一、选择题

1.下列图形不一定相似的是(　C　)

A．两个圆   B．两个等边三角形    C．两个菱形   D．国旗上的五角星

2.如图，已知△ADE∽△ACB，且∠ADE＝∠C，则AD：AC等于(　B　)

A．AE：AC       B．DE ： BC          C．AE：BC       D．DE ： AB

第2题图                                第4题图                            第6题图   

3.【2019·兰州】已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则等于(　B　)

A．2  B.  C．3  D.

4.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2.若BC＝1，则EF的长是(　B　)

A．1  B．2  C．3  D．4

5.两个等边三角形、两个矩形、两个正方形、两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是(　B　)

6.如图是用火柴棒摆出的两个正五边形的图案，它们的相似比为(　A　)

A．1：2  B．2：3  C．1：3  D．2：5

7.若△ABC∽△DEF，∠A＝50°，则∠D的度数是(　A　)

A．50°    B．60°    C．70°    D．80°

8.若△ABC与△DEF的相似比为4∶3，则△DEF与△ABC的相似比为(　B　)

A．4∶3       B．3∶4        C．16∶9        D．9∶16

【点拨】本题易错点是忽略相似比具有方向性，相似三角形的顺序不同，它们的相似比也可能不同．

9.若△ABC∽△A′B′C′，AB＝12, AC＝15，A′B′＝16，则A′C′的长为(　B　)

A．18        B．20        C．24        D．32

10.如图所示的两个四边形相似，则α的度数是(　A　)

A．87°    B．60°    C．75°    D．120°

第10题图                      第11题图               第12题图   

11.如图所示，△AOB∽△COD，下列各式中正确的有(　A　)

①＝；②＝；③＝；④＝.

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

错解：D

诊断：不能准确找出相似三角形的对应边，从而不能准确写出对应线段所成的比例式．

12.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的点F处，若四边形EFDC(EF＞DF)与矩形ABCD相似，则DF的长为(　C　)

A.       B.        C.        D．1

二、填空题

13.如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50°和60°，那么另一个三角形的最大角为________度．

【答案】70

14.一个四边形的边长分别是3,4,5,6,另一个与它相似的四边形的最小边长为6,则另一个四边形的最长边长是　  　. 

【答案】12

15.如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝________，m＝________.

【答案】125°  12

16.利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为________.

【答案】

17.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝60，CD＝15，E，F分别为AD，BC上一点，且EF∥AB，若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF＝________.

【答案】30

18.如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则矩形ABCD的面积是________.

【答案】

三、解答题

19.如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝60°，∠E＝120°，DC＝24，HE＝18，HG＝21.求∠D，∠F的大小和AD的长．

解：∵四边形ABCD∽四边形GFEH，∴∠C＝∠E＝120°，∠F＝∠B＝60°，＝.

∵∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝120°，

∴∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝360°－70°－60°－120°＝110°.

∵DC＝24，HE＝18，HG＝21，

∴AD＝28.

20.【2021·宁波期末】如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，求AD的长．

解：∵E为矩形ABCD的边AD的中点，

∴AE＝AD，AD＝BC.

∵矩形ABCD∽矩形EABF，

∴＝，∴＝，

∴AE·AD＝AB2＝1，即AD2＝1，

解得AD＝(负值已舍去)．

21.如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5 cm，EC＝3 cm，BC＝7 cm，∠C＝40°.

(1)求∠AED的大小；

解：∵△ABC∽△ADE，

∴∠AED＝∠C＝40°.

(2)求DE的长．

解：∵△ABC∽△ADE，

∴＝，即＝，

∴DE＝ cm.

22.【2021·郑州外国语中学校级月考】如图，多边形ABCDEF与多边形A1B1C1D1E1F1相似，其中A，B，C，D，E，F的对应点分别为A1，B1，C1，D1，E1，F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°.

(1)求∠F的度数；

解：∵多边形ABCDEF与多边形A1B1C1D1E1F1相似，且∠C和∠C1，∠D和∠D1，∠E和∠E1是对应角，

∴∠C＝95°，∠D＝135°，∠E＝120°.

由多边形内角和定理，知六边形的内角和为720°，

∴∠F＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°.

(2)如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15 cm，求C1D1的长．

解：∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1∶1.5，且CD＝15 cm，

∴C1D1＝15×1.5＝22.5(cm)．

23.如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a，b，c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1.

(1)若c＝a1，求证：a＝kc；

证明：∵△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k＞1)，

∴＝k，∴a＝ka1.

又∵c＝a1，∴a＝kc.

(2)若c＝a1，试给出一对△ABC和△A1B1C1，使得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数，并加以说明；

解：取a＝8，b＝6，c＝4，a1＝4，b1＝3，c1＝2.

∵＝＝＝2，

∴△ABC∽△A1B1C1.(答案不唯一)

(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1，使得k＝2？请说明理由．

解：不存在，理由如下：

若k＝2，则a＝2a1，b＝2b1，c＝2c1.

又∵b＝a1，c＝b1，∴a＝2a1＝2b＝4b1＝4c.

∴b＝2c. ∴b＋c＝2c＋c＜4c.

又∵4c＝a，∴b＋c＜a，这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾．

故不存在△ABC和△A1B1C1，使得k＝2.

24.一个矩形ABCD的较短边长为2.

(1)如图1,若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似,求它的另一边长;

(2)如图2,已知矩形ABCD的另一边长为4,剪去一个矩形ABEF后,余下的矩形EFDC与原矩形相似,求余下的矩形EFDC的面积.

解:(1)由已知得MN=AB=2,DM=AD=BC.

∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似,

∴矩形DMNC与矩形ABCD相似,∴,

∴DM·BC=AB·MN,即BC2=4,

∴BC=2,即它的另一边长为2.

(2)∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似,∴.

∵AB=CD=2,BC=4,∴DF==1,

∴矩形EFDC的面积=CD·DF=2×1=2.