初中数学3.4 相似三角形的判定与性质综合训练题

这是一份初中数学3.4 相似三角形的判定与性质综合训练题，共13页。试卷主要包含了问题等内容，欢迎下载使用。
3.4　相似三角形的判定与性质
3.4.1　相似三角形的判定
第1课时 利用平行线判定三角形相似
一、选择题
1.【中考·玉林】如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有(　　)
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.如图，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，GF，DE相交于M点，则图中与△ABC相似的三角形有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
3.如图，在▱ABCD中，过点B的直线与对角线AC，边AD分别交于点E和点F，过点E作EG∥BC，交AB于点G，则图中相似三角形有(　　)
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
4.【中考·恩施州】如图，在▱ABCD中，EF∥AB交BD于点F，交AD于点E.DE:EA＝3:4，EF＝3，则CD的长是(　　)
A．4 B．7 C．3 D．12
5.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BC的长为(　　)
A．6 B．9 C．8 D．10

第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6.【中考·河南】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③＝.其中正确的有(　　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7.如图，已知BC交AD于点E，AB∥EF∥CD，那么下列结论中不成立的是(　　)
A．△DEF∽△DAB B．△BEF∽△BCD C．△BEF∽△DCE D．△ABE∽△DCE
8.【中考·杭州】如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则(　　)
A.＝　 B.＝　 C.＝　 D.＝
9.【2019·安徽】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G.若EF＝EG，则CD的长为(　　)
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5

第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
10.问题：“如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC，求证：△ADE∽△DBF.”某同学的证明过程如下：
证明：①又∵DF∥AC；②∵DE∥BC；③∴△ADE∽△ABC；④∴△DBF∽△ABC；⑤∴△ADE∽△DBF.
步骤正确的顺序是(　　)
A．③②④①⑤ B．⑤②④①③ C．①③④②⑤ D．②③①④⑤
11.【2020·遂宁】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为(　　)
A. B. C. D.
12.如图,AD是△ABC的中线,点E在AD上,AD=4DE,连接BE并延长,交AC于点F,则AF∶FC的值是(　　)
A.3∶2 B.4∶3 C.2∶1 D.2∶3
二、填空题
13.如图，在▱ABCD中，E是边DC上一点，AE交BD于F，若DE＝2，EC＝3，则＝________．

第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.如图，点P是▱ABCD的边AB上一点，射线CP交DA的延长线于点E，根据图中已有字母写出一个与△AEP相似的三角形：_____________________．
15.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，AF，它们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有______对．
16.如图,已知AB∥GH∥CD,点H在BC上,AC与BD相交于点G.若AB=2,CD=3,则GH的长为  　. 
17.【2020·临沂】如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝6，则DH＝________．

第17题图 第18题图
18.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DCEF的顶点D，E，F分别在边AC，BC，AB上，如果AC＝10，BC＝6，那么正方形DCEF的周长为________．
三、解答题
19.如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.求：
(1)的值；
(2)BC的长．

20.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E在CD上，连接AE并延长，交BC的延长线于F.
(1)求证：△ADE∽△FCE；
(2)若AB＝4，AD＝6，CF＝2，求DE的长．

21.如图，在▱ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM并延长交BC于点E，连接EN并延长交AD于点F.
(1)求证：△AMD∽△EMB.
(2)求的值．

22.【2021·河南省实验学校校级月考】如图，在四边形OABC中，D，E，F分别是OA，OB，OC上的点，连接DE，EF，DF，AC，若∠OED＝∠OBA，∠OEF＝∠OBC.
(1)求证：＝.
(2)请你探究：如果△DEF是以DF为底边的等腰三角形，那么△ABC是否是以AC为底边的等腰三角形，为什么？





23.【2020·泸州改编】如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M，N.已知AB＝4，BC＝6，求MN的长．













24.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ.点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．
(1)直接用含t的式子表示：QB＝__________，PD＝__________；
(2)是否存在t值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形．











参考答案
一、选择题
1.【中考·玉林】如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有(　C　)
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.如图，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，GF，DE相交于M点，则图中与△ABC相似的三角形有(　C　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
3.如图，在▱ABCD中，过点B的直线与对角线AC，边AD分别交于点E和点F，过点E作EG∥BC，交AB于点G，则图中相似三角形有(　　)
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
【点拨】图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA，共5对．
4.【中考·恩施州】如图，在▱ABCD中，EF∥AB交BD于点F，交AD于点E.DE:EA＝3:4，EF＝3，则CD的长是(　B　)
A．4 B．7 C．3 D．12
【点拨】本题易误用平行线分线段成比例得＝，从而错选A.
5.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BC的长为(　B　)
A．6 B．9 C．8 D．10

第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6.【中考·河南】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③＝.其中正确的有(　A　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7.如图，已知BC交AD于点E，AB∥EF∥CD，那么下列结论中不成立的是(　C　)
A．△DEF∽△DAB B．△BEF∽△BCD C．△BEF∽△DCE D．△ABE∽△DCE
8.【中考·杭州】如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则(　C　)
A.＝　 B.＝　 C.＝　 D.＝
9.【2019·安徽】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G.若EF＝EG，则CD的长为(　B　)
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5

第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
【点拨】如图，作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH.∴＝.
∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴∠EFA＝∠C＝90°.
∴EF∥CD.∴△AEF∽△ADC.
∴＝∴＝.
∵EG＝EF，∴DH＝CD.

设DH＝x，则CD＝x.
∵BC＝12，AC＝6，∴BD＝12－x.
∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，
∴EG∥AC∥DH.∴△BDH∽△BCA.
∴＝，即＝，解得x＝4，∴CD＝4.
10.问题：“如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC，求证：△ADE∽△DBF.”某同学的证明过程如下：
证明：①又∵DF∥AC；②∵DE∥BC；③∴△ADE∽△ABC；④∴△DBF∽△ABC；⑤∴△ADE∽△DBF.
步骤正确的顺序是(　D　)
A．③②④①⑤ B．⑤②④①③ C．①③④②⑤ D．②③①④⑤
11.【2020·遂宁】如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为(　C　)
A. B. C. D.
12.如图,AD是△ABC的中线,点E在AD上,AD=4DE,连接BE并延长,交AC于点F,则AF∶FC的值是(　A　)
A.3∶2 B.4∶3 C.2∶1 D.2∶3
【提示】过点D作DG∥AC,与BF交于点G，因此FC=2DG，AF=3DG.

二、填空题
13.如图，在▱ABCD中，E是边DC上一点，AE交BD于F，若DE＝2，EC＝3，则＝________．
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.
∵DE＝2，EC＝3，∴AB＝CD＝5，
∵AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，
∴＝，∴＝.

第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14.如图，点P是▱ABCD的边AB上一点，射线CP交DA的延长线于点E，根据图中已有字母写出一个与△AEP相似的三角形：_____________________．
【答案】△EDC(答案不唯一)
15.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，AF，它们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有______对．
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABG∽△FHG，△ABE∽△DHE∽△CHB，∴图中的相似三角形共有4对，要防止遗漏△ABE∽△CHB而出现错误．
【答案】4
16.如图,已知AB∥GH∥CD,点H在BC上,AC与BD相交于点G.若AB=2,CD=3,则GH的长为  　. 
【答案】65
17.【2020·临沂】如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝6，则DH＝________．
【答案】1

第17题图 第18题图
18.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DCEF的顶点D，E，F分别在边AC，BC，AB上，如果AC＝10，BC＝6，那么正方形DCEF的周长为________．
【点拨】∵四边形DCEF为正方形，∴DF∥BC，DC＝DF,
∴△ADF∽△ACB，∴＝，设DC＝x，则DF＝x,
AD＝10－x，∴＝，解得x＝，
∴正方形DCEF的周长为4×＝15.
【答案】15
三、解答题
19.如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.求：
(1)的值；

解：∵AD＝4，DB＝8，
∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12.
∴＝＝.
(2)BC的长．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝＝.
∴BC＝3DE＝3×3＝9.
20.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E在CD上，连接AE并延长，交BC的延长线于F.
(1)求证：△ADE∽△FCE；

证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△FCE.
(2)若AB＝4，AD＝6，CF＝2，求DE的长．
解：∵△ADE∽△FCE，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝3.
21.如图，在▱ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM并延长交BC于点E，连接EN并延长交AD于点F.
(1)求证：△AMD∽△EMB.

证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BE.
∴△AMD∽△EMB.
(2)求的值．
解：∵AD∥BC，
∴△FND∽△ENB.∴＝.
∵M，N为BD的三等分点，
∴＝.∴＝.
22.【2021·河南省实验学校校级月考】如图，在四边形OABC中，D，E，F分别是OA，OB，OC上的点，连接DE，EF，DF，AC，若∠OED＝∠OBA，∠OEF＝∠OBC.
(1)求证：＝.

证明：∵∠OED＝∠OBA，∠OEF＝∠OBC，
∴DE∥AB，EF∥BC.
由DE∥AB，
得△ODE∽△OAB，
∴＝.
由EF∥BC，得△OFE∽△OCB，
∴＝.∴＝.
(2)请你探究：如果△DEF是以DF为底边的等腰三角形，那么△ABC是否是以AC为底边的等腰三角形，为什么？
解：是．理由如下：由△OFE∽△OCB，
得＝.
由△ODE∽△OAB，得＝.∴＝.
∵△DEF是以DF为底边的等腰三角形，
∴DE＝EF，
∴AB＝BC，即△ABC是以AC为底边的等腰三角形．
23.【2020·泸州改编】如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M，N.已知AB＝4，BC＝6，求MN的长．

解：如图，过点E作EH∥AD，交BF于点G，交CD于点H，
∴△BEG∽△BAF，∴＝.
∵AB＝4，BC＝6，E为AB的中点，F为AD的中点，
∴BE＝2，AF＝DF＝3，∴＝，∴EG＝.
由题意易得△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，
∴＝，＝，

∴＝，＝，即＝，＝，
∴2NG＝NF，4MG＝MB.
∵E为AB的中点，EH∥AD，∴G为BF的中点，
∴BG＝GF＝BF＝ ＝，
∴NG＝GF＝，MG＝BG＝，
∴MN＝NG＋MG＝.
24.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ.点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t≥0)．

(1)直接用含t的式子表示：QB＝__________，PD＝__________；
【答案】8－2t t
(2)是否存在t值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形．
解：不存在．理由如下：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10.
∵PD∥BC，∴△APD∽△ACB，
∴＝，即＝，∴AD＝t.
∴BD＝AB－AD＝10－t.
∵BQ∥DP，
∴当BQ＝DP时，四边形PDBQ是平行四边形，
即8－2t＝t，解得t＝.
当t＝时，PD＝×＝，BD＝10－×＝6，
∴DP≠BD，∴四边形PDBQ不能为菱形．
设点Q的速度为每秒v个单位长度时满足条件，则BQ＝8－vt，PD＝t，BD＝10－t.要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ.
∴t＝10－t＝8－vt，解得t＝，v＝.
∴当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ为菱形．