2022年中考数学总复习第11讲《一元一次不等式的应用》讲解(含答案) 学案

第11讲　一元一次不等式的应用

1．(·台州)商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为____________________元/千克．

2．(·衢州)光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月(按30天计)共发电550度．

(1)求这个月晴天的天数；

(2)已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本(不计其他费用，结果取整数)．

【问题】铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3∶2.

(1)请你根据以上信息，求出该行李箱的长的最大值；

(2)通过问题(1)的解决，请你从分析问题和解决问题角度谈谈看法．

　【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理利用不等式(组)解决实际问题的分析方法和一般步骤，以及要注意的问题．

类型一　

列不等式求字母的取值范围的应用

　(1)(·江西)函数y＝中，自变量x的取值范围是________．

(2)(·临海模拟)点(a，a＋2)在第二象限，则a的取值范围是________．

(3)(·上海市杨浦区模拟)若一次函数y＝(1－2k)x＋k的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是________．

(4)对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[－2.5]＝－3，若＝5，则x的取值是________．

【解后感悟】(1)二次根式的被开方数是非负数；(2)各象限内点的坐标的符号特征；(3)当函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限时，k＞0，b＞0；(4)根据[x]表示不大于x的最大整数，列出不等式组，求出不等式组的解集．

1．(1)(·兰州)双曲线y＝在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是　　　　　　　　.

(2)(·济宁模拟)已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为____________________．

(3)(·武威)定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b＝a(a－b)＋1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－5，那么不等式3⊕x<13的解集为____________________．

类型二　不等式的应用

　(1)(·南京模拟)铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为________cm；

(2)(·杭州模拟)某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打________折；

(3)(·株洲模拟)为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，则孔明买球拍________个．

【解后感悟】解答的关键是仔细审题，找到不等关系，建立不等式．对于(2)注意利润和折数，计算折数时注意要除以10.

2．(1)如图是某机器零件的设计图纸，在数轴上表示该零件长度(L)合格尺寸，正确的是(　　)

(2)(·绍兴模拟)小美将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为0.3(2x－100)＜1000，则下列何者可能是小美告诉小明的内容？(　　)

A．买两件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1000元

B．买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元

C．买两件等值的商品可打3折，再减100元，最后不到1000元

D．买两件等值的商品可打7折，再减100元，最后不到1000元

(3)(·杭州市江干区模拟)某次数学测验中共有20道题目，评分办法：答对一道得5分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对____________________道题，成绩才能在80分以上．

类型三　不等式与方程(组)结合的应用

　(·宁波)年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．

(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？

(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？

【解后感悟】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系及所求量的等量关系．

3．(·台州模拟)某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．

(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2?

(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？

类型四　不等式与函数的应用

　(·宁波模拟)某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示：

该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元．[毛利润＝(售价－进价)×销售量]

(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？

(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．

【解后感悟】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．

4．(·镇江模拟)某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元．

(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

(2)如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x(x＞0)件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．

【课本改变题】教材母题－－浙教版七下，第47页例3

某校社会实践小组在中国学生营养日这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)．根据信息，解答下列问题．

(1)求这份快餐中所含脂肪质量；

(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；

(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．

【方法与对策】该题在不改变原题情景情况下，略作调整，设置不同的问题，用一元一次方程和不等式知识解决问题．该题型是中考命题的趋势．

【“至少”与“至多”搞不清】

某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%.假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提(　　)

A．40%　　         B．33.4%　　      C．33.3%　      　D．30%

参考答案

第11讲　一元一次不等式的应用

【考题体验】

1．10　2.(1)设这个月有x天晴天，由题意得30x＋5(30－x)＝550，解得x＝16，故这个月有16天晴天．　(2)需要y年才可以收回成本，由题意得(550－150)·(0.52＋0.45)·12y≥40000，解得y≥8.6，∵y是整数，∴至少需要9年才能收回成本．

【知识引擎】

【解析】(1)设长为3x，宽为2x，由题意，得：5x＋30≤160，解得x≤26，故行李箱的长的最大值为78cm.　(2)解不等式实际应用题时要注意根据已知条件找出之间的数量关系，列出不等式；最后要注意所求未知数的取值范围．

【例题精析】

例1　(1)x≥2；(2)－2＜a＜0；(3)0＜k＜；(4)根据题意得：5≤<5＋1，得46≤x<56.　例2　(1)设长为3x，宽为2x，得5x＋30≤160，得x≤26，故行李箱的长的最大值为78.　(2)设可打x折，则1200×－800≥800×5%，得x≥7.即最多打7折．　(3)设购买球拍x个，得1.5×20＋22x≤200，解之得：x≤7，由于x取整数，故x的最大值为7.　例3　(1)设甲种商品的销售单价为x元，乙种商品的销售单价为y元，则得答：甲种商品的销售单价为900元，乙种商品的销售单价为600元；　(2)设销售甲种商品a万件，则900a＋600(8－a)≥5400，得a≥2.答：至少销售甲种商品2万件．　例4　(1)设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，由题意，得解得：答：商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；　(2)设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，由题意，得0.4(20－a)＋0.25(30＋2a)≤16，解得：a≤5.设全部销售后获得的毛利润为W元，由题意，得W＝0.03(20－a)＋0.05(30＋2a)＝0.07a＋2.1∵k＝0.07＞0，∴W随a的增大而增大，∴当a＝5时，W最大＝2.45.答：当该商场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部销售后获利最大．最大毛利润为2.45万元．

【变式拓展】

1．(1)m＜1　(2)k＜－　(3)x>－1　

2.       (1)C   (2)A　(3)17　

3.(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：－＝4，解得：x＝50，经检验x＝50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100(m2)，答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；　(2)设应安排甲队工作x天，根据题意得：0.4x＋×0.25≤8，解得：x≥10，答：至少应安排甲队工作10天．

4．(1)设每件甲种玩具的进价是x元，每件乙种玩具的进价是y元，由题意得解得答：每件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元；　(2)当0＜x≤20时，y＝30x；当x＞20时，y＝20×30＋(x－20)×30×0.7＝21x＋180;  (3)设购进玩具x件(x＞20)，则乙种玩具消费27x元；当27x＝21x＋180，则x＝30，所以当购进玩具正好30件，选择购其中一种都可；当27x＞21x＋180，则x＞30，所以当购进玩具超过30件，选择购甲种玩具省钱；当27x＜21x＋180，则x＜30，所以当购进玩具少于30件，选择购乙种玩具省钱．

【热点题型】

【分析与解】(1)快餐中所含脂肪质量＝快餐总质量×脂肪所占百分比：400×5%＝20克．答：这份快餐中所含脂肪质量为20克；　(2)根据这份快餐总质量为400克，列出方程求解即可．设所含矿物质的质量为x克，由题意得：x＋4x＋20＋400×40%＝400，∴x＝44.∴4x＝176.答：所含蛋白质的质量为176克；　(3)根据这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，列出不等式求解即可．设所含矿物质的质量为y克，则所含碳水化合物的质量为(380－5y)克．∴4y＋(380－5y)≤400×85%，∴y≥40，∴380－5y≤180，答：所含碳水化合物质量的最大值为180克．

【错误警示】

B