人教版 (2019)必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行4 宇宙航行教学设计

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65 宇宙航行
第5节 宇宙航行 经典力学局限
[精讲精析]
[知识精讲]
知识点1：人造卫星
1. 应用万有引力定律分析天体运动的基本方法.
把天体的运动看作是匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供。

应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算。
2. 人造卫星：饶地球飞行的物体
卫星的绕行速度、角速度、周期与R的关系：




注意：也可以说重力提供向心力，因而由此能否说r越大，v越大呢？与⑴矛盾，这是因为g并非不变，它随r变化，有g=GM/r2，所以⑴是正确的。G为卫星所在轨道位置的加速度。
（4）人造卫星的加速度
在处理这几个量时，要注意变量与不变量的关系，如当R变化时，v、T、ω都会发生变化。
注意：有关人造卫星的几个问题
1. 人造卫星的轨道
卫星绕地球做匀速圆周运动时靠地球对它的万有引力充当向心力，次求对卫星的万有引力指向地心，因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与心地重合，而这样的轨道有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道（赤道卫星）和通过两极点上空的极地轨道（极地）卫星，当然也存在着与赤道平面成一定角度的圆轨道，只要圆周的圆心在地心，就可能为卫星绕地球运行的轨道。
2. 人造卫星的发射速度和运行速度
所谓发射速度是指在地面的附近离开发射装置（火箭）时的初速度（牛顿人造卫星原理图中平抛的初速度就是发射速度）。要发射一颗人造卫星，若发射速度等于第一宇宙速度，则卫星只能“贴着”地面做匀速圆周运动。如发射速度大于第一宇宙速度，则卫星将沿着椭圆轨道运行。第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度都指的是发射速度。
所谓运行速度是指卫星进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度。只有以第一宇宙速度发射的人造卫星绕地球表面运行时，运行速度才与发射速度相等，而对于在离地比较高的轨道上运行的卫星，其运行时的速度与地面发射速度并不相等，由于卫星发射后在达到预定轨道的过程中要不断地克服地球的引力作用，因而到达预定轨道后其运行速度要比发射速度小。由，求得的指的是人造卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小。但我们又知道要想将卫星发射到更高的轨道，在地面发射时需要提供给卫星更大的速度，这与在越高轨道上运行速度越小并不矛盾，因为其中一个纸运行速度，一个指发射速度。
3. 卫星运行过程中的轨道改变
当人造卫星在某一轨道上以某一速度运动，万有引力与向心力相等时，卫星在该轨道上做匀速圆周运动，如果卫星线速度变大，导致万有引力不足以提供向心力，卫星就要做离心运动而偏离原来的轨道，运行半径将变大（轨道为椭圆）。反之，人造卫星将偏离原来的轨道向圆心方向漂移，在卫星回收时，选择恰当的时机使做圆周运动的卫星速度突然减小，卫星将会沿椭圆轨道做向心运动，让该椭圆与预定回收地点相切或相交，就能成功地回收卫星。
4. 人造卫星中的“超重”和“失重”现象
（1）发射卫星时，卫星尚未进入轨道时的加速过程中，由于具有竖直向上的加速度（或竖直方向的分加速度），卫星内的物体处于超重状态。
（2）卫星进入轨道后，在正常运行过程中，卫星的加速度等于轨道处的重力加速度，卫星中物体处于完全失重状态，凡是工作原理与重力有关的仪器（如天平、水银气压计、摆钟等），在卫星中不能正常使用。
（3）卫星返回地球过程中，在落回靠近地面阶段，由于做减速下降运动具有竖直向上加速度（或有竖直向上的分加速度），卫星内的物体处于超重状态。
[例1] A 和B是绕地球做匀速圆周运动的卫星，已知，轨道半径，则B与A的（ ）
A .加速度之比为 B .周期之比为
C .线速度之比为 D .角速度之比为
[思路分析]：地球对卫星的引力等于卫星运行所需的向心力，由此可得：



答案：B
[总结]：(1) 向心力的公式有几种不同的表达式，如，快速计算上述物理量时应选用响应的公式。
（2）以上分析过程可以看出，人造地球卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度均与卫星的质量无关，只与轨道半径有关，也就是说，轨道半径一确定，这些物理量也就确定了。
[变式训练1]
火星有两颗卫星，分别为火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆。已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比（ ）
A .火卫一距火星表面较近
B .火卫二的角速度较大
C .火卫一的运动速度较大
D .火卫二的向心加速度较大

[答案]：AC
知识点2：地球的同步卫星（通讯卫星）
1. 同步卫星：相对地球静止，跟地球自转同步的卫星叫做同步卫星，周期T=24h，同步卫星又叫做通讯卫星。
2. 同步卫星必定点于赤道正上方，且离地高度h，运行速率v是唯一确定的。
设地球质量为，地球的半径为，卫星的质量为，根据牛顿第二定律
设地球表面的重力加速度，则

以上两式联立解得：

同步卫星距离地面的高度为

3. 同步卫星的运行方向与地球自转方向相同
注意：赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫星的区别
在有的问题中，涉及到地球表面赤道上的物体和地球卫星的比较，地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心，而且两者做匀速圆周运动的半径均可看作为地球的R，因此，有些同学就把两者混为一谈，实际上两者有着非常显著的区别。
（1） 地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力由万有引力提供，但由于地球自转角速度不大，万有引力并没有全部充当向心力，向心力只占万有引力的一小部分，万有引力的另一分力是我们通常所说的物体所受的重力（请同学们思考：若地球自转角速度逐渐变大，将会出现什么现象？）而围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星，万有引力全部充当向心力。
（2） 赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相对静止，因此它做圆周运动的周期应与地球自转的周期相同，即24小时，其向心加速度
；而绕地球表面运行的近地卫星，其线速度即我们所说的第一宇宙速度，它的周期可以由下式求出：

求得，代入地球的半径R与质量，可求出地球近地卫星绕地球的运行周期T约为84min，此值远小于地球自转周期，而向心加速度远大于自转时向心加速度。
[例2] 已知地球的半径为R=6400km，地球表面附近的重力加速度，若发射一颗地球的同步卫星，使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？
[思路分析]：设同步卫星的质量为m，离地面的高度的高度为h，速度为v，周期为T，地球的质量为M。同步卫星的周期等于地球自转的周期。
①
②
由①②两式得

又因为 ③
由①③两式得

[答案]：
[总结]：此题利用在地面上和在轨道上两式联立解题。
[变式训练2]
下面关于同步卫星的说法正确的是（ ）
A .同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率都被确定
B .同步卫星的角速度虽然已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小
C .我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114分钟，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低
D .同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小
[答案]：ACD
知识点3.宇宙速度
1. 三种宇宙速度
（1） 第一宇宙速度（环绕速度）：v1 =7.9km/s，是人造地球卫星的最小发射速度。
（2） 第二宇宙速度（脱离速度）：v2 =11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
（3） 第三宇宙速度（逃逸速度）：v3 =16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
2. 对第一宇宙速度的理解和推导
（1） 由于在人造地球卫星发射的过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造地球卫星的最小发射速度对应将卫星发射到近地面运行，此时发射时动能全部作为绕行的动能而不需要转化为重力势能。
（2） 根据（1）论述可推导如下，

可用此法推导其他天体的第一宇宙速度。
（3） v=7.9km/s是最小的发射速度，也是最大的运行速度。当时，在近地面运行，，
当时，离地较远运行，。
3. 经典力学的局限性
经典力学适用于宏观物体，低速运动。
[例3] 某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时间t物体以速率v落回手中，已知该星球的半径R，求这星球上的第一宇宙速度。
[思路分析]：根据匀变速运动的规律可得，该星球表面的重力加速度为。
该星球的第一宇宙速度，即为卫星在其表面附近绕它做匀速圆周运动的线速度，该星球对卫星的引力（重力）提供卫星做圆周运动的向心力。
则
该星球表面的第一宇宙速度为

[答案]：
[总结]：求第一宇宙速度时，一定要明确卫星在地球（星球）表面附近绕地球（星球）做圆周运动时的线速度为第一宇宙速度。这时卫星的运动轨道半径为地球（星球）的半径，向心加速度为地球（星球）表面的重力加速度。
[变式训练3]
月球半径为地球半径的1/4，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的1/6，则（ ）
A .月球平均密度约为地球平均密度的1.5倍
B .环月卫星的最小周期大于环地卫星的最小周期
C .环月卫星的第一宇宙速度大于环地卫星的第一宇宙速度
D .地球质量约为月球质量的16倍
[答案]：A
[例4] 某星球的质量约为地球质量的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h处平抛一物体，射程为60m，则在该星球上，从同样高度，以同样的初速度平抛一物体，射程应为（ ）
A .10m B .15m C .90m D .360m
[思路分析]：物体做平抛运动 x=v0 t ，

重力等于万有引力

解得：
其中h、v0 、G 相同，则
因为
所以
[答案]：A
[总结]：某星球表面上可求得星球表面上重力加速度。
注意在某星球表面上物体运动规律，与地球表面上运动规律相同。
[变式训练4]
g/2
如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度g/2竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为起动前压力的17/18。已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度。（g为地球表面附近的重力加速度）
[答案] ：H=R/2








专题研究——“神舟”五号载人飞船
2003年10月15日9时，我国自主研制的“神舟”五号载人飞船在酒泉卫星发射中心”用“长征”二号F运载火箭发射成功，将中国第一名航天员杨利伟送上太空，飞船准确进入预定轨道，2003年10月16日6时，“神舟”五号载人飞船在内蒙古主着陆场（东经111°29′、北纬42°06′）成功着陆，实际着陆点与理论着陆点相差4.8km，返回舱完好无损，航天员状况良好。我们的航天英雄杨利伟自主出舱，凯旋而归。我国首次载人航天飞行圆满成功。这是我国进行的首次载人航天飞行，标志着中国载人航天工程取得历史性重大突破，中国已成为世界上继美、俄之后第三个能够独立开展载人航天活动的国家。
1. 发射问题
[例5] “神舟”五号飞船的发射是使用“长征”二号F型运载火箭，其推力是六百多吨，自重全部加起来是四百多吨，与发射卫星和导弹相比，加速度小得多，这主要是为航天员的安全和舒适着想。如果火箭加速度过大，航天员会感觉不舒适，甚至有生命危险。问：在加速上升过程中，宇航员处于什么状态？飞船在发射升空时，如果宇航员是站立的，则他的心血管系统会受到何种影响？飞船在发射升空时，你认为宇航员采取什么姿势为好？
辨析：由牛顿第二定律可知，宇航员处于超重状态。由于在发射升空过程中，人处于超重状态下，头部血压降低，下肢血压升高，使大量血液淤积在下肢静脉中，严重影响静脉血的回流，使心脏输出血量不足，造成头部供血不足，轻则引起视觉障碍，重则可能导致意识丧失。所以，飞船在发射升空过程中宇航员采用平躺姿势为好，事实上，杨利伟在飞船发射升空过程中，平躺在船舱的躺椅中。
[例6] 飞船升空时有一个加速过程。在加速过程中，宇航员处于超重状态。人们把这种状态下宇航员对座椅的压力与静止在地球表面时的重力的比值，称为耐受力值，用k表示。在选拔宇航员时，要求他们在此状态的耐受力值为（这次飞行杨利伟的k值约为8），求飞船的竖直向上发射时加速度值的变化范围。（地球表面的重力加速度g=10m/s2）
解析：宇航员对座椅的压力为FN =kmg。根据牛顿第二定律，得

得：
2. 变轨问题
[例7]飞船在近地圆轨道上运行时，由于极稀薄的空气的影响，飞行高度会缓慢降低，需要进行多次轨道维持。轨道维持就是通过控制飞船上的发动机的点火时间和推力，使飞船能保持在同一轨道上稳定运行。2003年11月份，太阳风暴使“神舟”五号轨道舱运行轨道上的稀薄大气密度增加，轨道舱飞行阻力加大，如果不进行轨道维持，飞船轨道舱的轨道高度就会逐渐降低，在这种情况下，飞船轨道舱的动能、重力势能和机械能变化的关系应该是（ ）
A .动能、重力势能和机械能逐渐减小
B .重力势能逐渐减小，动能增大，机械能不变
C .重力势能逐渐增大，动能减小，机械能不变
D .重力势能逐渐减小，动能增大，机械能逐渐减小
解析：空气阻力不断对飞船做负功，飞船的机械能减小；在轨道减小的过程中，除空气阻力做功外，地球对它的万有引力也做功，而且做正功，其功大于克服空气阻力做的功。所以卫星的动能增加，重力势能减小，故选项D正确。
3. 在轨运行问题
[例8] 已知飞船在离地面高度为343km的轨道做匀速圆周运动，地球半径为6400km，地球表面的重力加速度为g=9.8m/s2，求飞船的速度。（保留两位有效数字）
解析：卫星的向心力由万有引力提供，


因此 。
[例9] 飞船进入轨道绕地球做圆周运动时，宇航员处于什么状态？他对躺椅的压力有多大？65kg的宇航员在离觌面43km时的重力是多少？（已知地球半径为6400km，地球表面的重力加速度为g=10m/s2）。
解析：宇航员受到的万有引力完全用来提供做匀速圆周运动的向心力，处于完全失重状态，他对躺椅的压力为零。
重力等于万有引力

小于在地球表面的重力650N。
[例10] 2003年10月15日9时，杨利伟乘坐“神舟”五号飞船在酒泉卫星发射中心起飞，开始了这次环绕地球的太空之旅，飞船在近地的圆形轨道上飞行，离地面的高度大约340km，于16日6时许在内蒙古中部一处草原着陆。飞船环绕地球飞行的过程中杨利伟看到日出日落的次数为多少次？（已知地球半径为6400km，地球表面重力加速度g=10m/s2）
解析：可以计算出飞船绕地球运行的周期为T=90min，宇宙飞船每绕地球转一周，就看一次日出日落，21小时内，假如杨利伟一直在观看日出日落，看到的次数为

4．返回问题
[例11] “神舟”五号飞船绕地球飞行14圈后，于2003年10月6日5时35分受到返回信号，5时38分发动机制动点火，通过喷气使飞船做减速运动，飞船应该向什么方向喷气？减速过程中飞船的高度怎样变化？
解析：根据反冲原理，应向飞船前行方向喷气；速度减小后，所需向心力变小，在万有引力的作用下高度降低。
[例12] “神舟”五号载人飞船返回过程中，在距地1.2m时，返回舱的底部4个反推发动机点火工作，主伞使返回舱约以7m/s的速度着陆，反推发动机工作以后，速度会降到2m/s左右，保证了航天员的安全着陆，计算体重为65kg的杨利伟在这个过程中受到座椅的平均冲击力。
解析：当返回舱离地面1.2m时反冲发动机点火，可以看作向下的匀减速运动，根据公式，
得。
由牛顿第二定律，可以计算出F=1869N，这个数值大约为体重的3倍，处于超重状态。
点评：“神舟”号系列飞船的成功发射与物理知识密切相关，特别是万有引力定律、匀速圆周运动、超失重等，在分析与此有关的综合题时，要注意将实际问题转化为理想化的物理模型，然后运用合适的物理规律去处理。
阅读探究——“黑洞”天体
黑洞，是一种神气玄妙的天体，它的密度极大，对靠近它的物质（包括光线）有非常强大的万有引力，使得一切物体（包括以的高速度行进的光线）都没有足够的能量从它的表面逃逸。
我们可以利用前面学过的知识加以说明。理论计算表明，人造卫星脱离地球的速度等于第一宇宙速度的倍，即。由此可知，天体的质量越大，半径越小，其表面的物体就越不容易脱离它的束缚。质量与太阳相近、半径只有10km左右的中子星，其脱离速度竟达；质量与太阳相近，而半径与地球差不多的白矮星，其脱离速度也达。
设想如果某天体质量非常大，半径非常小，则其脱离速度有可能超过光速，即。爱因斯坦相对论指出，任何物体的速度都不可能超过光速。由此可推断，对这种天体来说，任何物体都不能逃脱它的束缚，甚至连光也不能射出。这种天体就是近代引力理论所预言的一种特殊的天体——黑洞。
[例13] 已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度），式中G 、m′、R分别表示引力常量、地球质量、地球的半径。已知
，求：
（1） 逃逸速度大于真空中光速c的天体叫做黑洞。设黑洞的质量等于太阳的质量1.98，它的最大半径（这个半径叫Schwarzchild半径）可能为多少？
（2） 在目前天文观测范围内，宇宙的平均密度为。如果认为宇宙是这样的一个均匀的大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的光速c，因此任何物体都不能脱离宇宙,宇宙的半径至少多大?
特别提示：“光年”不是时间单位，而是长度单位。1光年：
。
解析：由题知，任何天体（包括黑洞）均存在其对应的逃逸速度。
对于黑洞，其逃逸速度大于光速c，
即 ，
得
（2）设宇宙的密度为，半径为R。
则其质量为 ①
对应的逃逸速度为，由题知 。 ②
由 ① ② 解得
则宇宙的半径至少为光年。
答案： （1） （2） 光年。
[综合拓展]
一、 研究天体运动的基本思路
无论是行星绕太阳的运动，还是卫星绕行星的运动，均把它们的运动看作是匀速圆周运动。向心力由万有引力提供，可计算天体的密度，还可分析、比较天体运动的相关物理量，有时还需利用在地面上，R是地球半径，g是地面上重力加速度，这是本单元的关键点，也是高考热点。
二、 万有引力定律主要应用
（1） 计算天体的密度、质量；
（2） 研究人造卫星的线速度、角速度、周期等；
（3） 研究有关同步卫星的知识；
（4） 研究重力与加速度的变化；
（5） 发现未知天体和黑洞。
[例14] “黑洞”是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊天体，它的密度极大，对周围的物质（包括光子）有极强的吸引力，根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面时也有被吸入，恰能绕黑洞表面做圆周运动。根据天文观测，银河系中心可能有一个黑洞，距该黑洞m的星体正以的速度绕它旋转，据此估算该黑洞的最大半径是多少？（保留一位有效数字）
[思路分析]：根据爱因斯坦理论，光子有质量，所以黑洞对光子的引力就等于它做圆周运动时的向心力，则：
①
其中M为黑洞质量，m为光子质量，c为光速，r为轨道半径，即黑洞的最大可能半径。
银河系中的星体绕黑洞旋转时，也可认为做的是匀速圆周运动， 其向心力为二者之间的万有引力，所以有：
②
其中m′为星体质量，R为星体的轨道半径。
由① ②式可得黑洞的可能最大半径为：
。
[答案]：
[方法总结]：分析本题要抓住黑洞之“黑“因：光子也逃不出它的引力；光子绕黑洞做圆周运动的半径，即为黑洞的最大可能半径。
[活学活练]
[基础达标]
1、人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是r，则卫星的速度v与r的关系和周期T与r的关系分别是（　　　　）
A .v与r成正比，T与r成正比
B .v与成正比，T与成正比
C .v与r成反比，T与r成反比
D .v与r成反比，T与r成正比
2、关于第一宇宙速度，下列说法错误的是（ ）
A .它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
B .它是人造地球卫星在近地圆形轨道上的运行速度
C .它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度
D .它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度
3、关于绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，以下判断正确的是（　　　　）
Ａ.同一轨道上，质量大的卫星线速度大
Ｂ.同一轨道上，质量大的卫星向心加速度大
Ｃ.离地面越近的卫星线速度越大
Ｄ.离地面越远的卫星线速度越大
４、下面关于同步卫星的说法正确的是（　　　　）
Ａ.同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率被确定
Ｂ.同步卫星的角速度已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率越大；高度降低，速率减小，仍同步
Ｃ.我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是114min，比同步卫星的周期短，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低。
D.同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小
5、地球半径为R，地面的重力加速度为g，一卫星做匀速圆周运动，距地面的高度R，则该卫星的（ ）
A. 线速度为 B.角速度为
C. 加速度为 D. 周期为
6、下列关于地球同步通讯卫星的说法中，正确的是（ ）
A. 为避免通讯卫星在轨道上相撞，必须使它们运行在不同的轨道上
B. 通讯卫星定点在地球上空某处，各个通讯卫星的角速度相同，但线速度可以不同
C. 不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星轨道不一定在同一平面内
D. 通讯卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上
7、同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则以下正确的是（ ）
A B
C D .
8、若航天飞机在一段时间内保持绕地心做圆周运动，则（ ）
A. 它的速度的不便
B. 它不断克服克服地球对它的万有引力做功
C. 它的动能不变
D. 它的速度的大小不变，加速度等于零
9、两颗人造地球卫星A、B绕地球作圆周运动，周期之比为TA：TB=1：8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ）
A. RA：RB=4：1，vA ：vB=1：2
B. RA：RB=4：1，vA ：vB=2：1
C. RA：RB=1：4，vA ：vB=1：2
D. RA：RB=1：4，vA ：vB=2：1
10、地球同步卫星到地心的距离r可由求出。已知式中a的单位为m，b的单位是s，c的单位是m/s2。则（ ）
A. a是地球半径，b是地球自转周期，c是地球表面处的重力加速度
B. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C. a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度
D. a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处重力加速度
11、我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦蛾1号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已经月球的质量约为地球质量的1/81，月球繁荣半径约为地球半径的1/4，地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为（ ）
A . 0.4km/s B . 1.8km/s
C .11km/s D 36km/s
12、试图发射一颗绕地球做圆周运动的卫星，设地球半径为6400km，地球表面的重力加速度为9.8m/s2，下列设想中可以实现的是（ ）
A.环绕速度为9.7km/s B.环绕速度为6.5km/s
C.周期为12h D.周期为1h
13、美国在2003年6月发射的火星探测器“勇气号”和“机遇号”于2004年1月相继在火星表面着陆成功。下面关于火星探测器的发射原理，正确的说法有（ ）
A. 发射速度只要大雨第一宇宙速度即可
B. 发射速度要达到第三宇宙速度才可以
C. 发射速度要大于第二宇宙速度，但不需要达到第三宇宙速度
D. 发射后应使探测器进去一个椭圆轨道的人造行星轨道，它的远日点轨道和火星的运行轨道相切，且和火星同时到达轨道上的切点附近位置
14、地球和月球的质量之比为81：1，半径之比为4：1，求在地球上和月球上发射卫星所需最小速度之比。







15、两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T。求两星的总质量。






基础达标答案
1、 解析：地球质量为M，卫星质量为m，卫星绕地球做匀速圆周运动



可判断出B对，A、C、D错
答案：B
2、 解析：地球第一宇宙速度是发射卫星的最小发射速度，同时也是卫星绕地球运行的最大线速度。BC说法正确，AD说法错误。
3、 解析：设地球质量为M，卫星质量为m，轨道半径为r，线速度为v，向心加速度为a



同一轨道上，r相同，线速度、向心加速度都相同。故A、B错
r越小，v越大，C对，D错。
4、解析：同步卫星和地球自转同步，即他们的周期T相同，设同步绕地心近似做圆周运动所需向心力由卫星m和地球M间的万有引力提供。设地球半径为R，同步卫星高度为h，因为，
所以
得
所以，h一定
由
得
可见v一定，所以A项正确
由于同步卫星的周期确定，即角速度确定，则h和v均随之确定，不能改变，否则不同步，所以B错。
由可知，T变小时，h降低，所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低，故C正确。
因为同步卫星离地面高度更高，由得：同步卫星的线速度小于第一颗卫星的线速度，D正确。
答案：ACD
5、解析：卫星绕地球做圆周运动所受万有引力作为向心力，轨道半径r=2R
①
又在地球表面的重力等于万有引力：
②
由 ①②得卫星的角速度，则B对；线速度，则A对；
周期：，则D错，加速度，则C错。
答案：AB
6、解析：地球同步卫星T、、v、都一定，并且都在同一轨道、赤道平面、同一高度上。
答案：D
7、解析：同步卫星与赤道上的物体做圆周运动有相同的角速度，故由，有，A对；
第一宇宙速度等于物体沿近表面运行的速度，它与同步卫星一样都是万有引力充当向心力，故有，，所以，D对。
答案：AD
8、解析：航天飞机在一段时间内保持绕地心做匀速圆周运动，速度大小不变，但方向时刻在变，加速度为向心加速度，方向时刻在变化，则A、D错误。航天飞机运动的半径不变，万有引力不做功，则航天飞机的动能不变，则B错误，C正确。航天飞机绕地心做匀速猿猴走运动，其速度大小不变，而速度方向时刻改变，所以动量在改变，这是非常容易选错的地方。另一方面匀速圆周运动的物体，其加速度不为零，应该是向心加速度，它不等于匀速直线运动，匀速直线运动物体的加速度为零。
答案：C
9、解析：人造地球卫星绕地球做圆周运动，其向心力就是地球对它的万有引力，若设M为地球的质量，m为卫星的质量，R为运动半径，则有

由上面三式联立可得 ①
卫星运动周期 ②
由①②式得 ③
把已知条件代入①③可得

答案：D
10、解析：设地球的质量为M，地球半径为R，地球自转周期（即同步卫星绕地球运动的周期）T，地球自转的角速度为，地球表面的重力加速度g，同步卫星的质量为，它到地心的距离r，则

同步卫星做圆周运动的向心力为
。
式中采用了线速度与角速度的关系史。卫星所受到的万有引力充当了它做圆周运动所需的向心力，设卫星和地球的质量分别为m和M，因此有
。
∴ ，在地球表面上物体的重力加速度，即。
代入上式得。
因此，A、D命题是正确的，而B、C命题是错误的，原式中的a是地球半径R，b是地球自转周期（也是同步卫星绕地心运动的周期）T，c是地球表面处的重力加速度g，单位也是一致的，c虽是加速度但不是同步卫星的加速度，而是g，因此选B是错误的，a虽是长度，但不是地球赤道周长，故选C也是错误的。
答案：AD
11、解析：由第一宇宙速度公式有，，；已知，，，则解得 ，故选B。
答案：B
12、解析：卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力是地球对卫星的引力，有
和
得，
由上述表达式看出，r越小，v越大，T越小。当r近似为地球的半径R时，v最大，T最小。在地球表面，有
，即
所以

即绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度为7.9km./s，最短周期为85min，故A、D错，B、C对。
答案：BC
13、解析：探测器从地面升空后依靠万有引力的作用
沿相应的圆轨道或椭圆轨道运动。又由于探测器要抵达火
1
2
3
太阳
地球
火星
星就必须摆脱地球的束缚，因此其发射速度必须大于第二
宇宙速度才有可能；同时火星也位于太阳系内，探测器不
可能达到摆脱太阳的束缚速度，故其发射速度应小于第三
宇宙速度。假设火星一直处于动力飞行状态，要克服引力
做功而消耗大量的能量，实际发射时，可采用变轨的方式
逐级点火，想将卫星送至近地轨道，通过转移轨道进入远
地轨道，再加速使其摆脱地球的吸引而绕日沿椭圆轨道运
动。如图，当其运动到火星的上空时恰好与火星的高轨卫
星轨道相切就可以采用减速的方法使之绕火星运转，再适
时减速下低轨而实现成功着陆。
答案：CD
14、解析：在星球表面附近，物体绕星球做圆周运动所需的向心力均来源于星球的万有引力，讨论问题时一般忽略星球自转及其他星球对物体的影响。
解：本题要求发射卫星的最小速度，其实就是第一宇宙速度，即该卫星做近地运动，故有：
①
②
由①②式得
代入数据，有
故最小发射速度之比为9/2。
答案：。
15、解析：设两星质量分别M1、M2，都绕连线上O点做周期T的匀速圆周运动，星球1和星球2到O点的距离分别为、，由万有引力定律和几何条件可得
， ，。
联立可解得。
答案：两星的总质量为。
[能力提升]
1、某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球的轨道会慢慢改变。每次测量出的卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2，r2 A. Ek1T2
C. Ek1>Ek2 ，T1Ek2 ，T1>T2
2、“神舟”号飞船在离地面870km的高空轨道上运转十几圈，进行科学实验，已知地球的半径是6400km，则这时的卫星运行速度是多少？





3、一宇宙飞船飞近某一行星并进入靠近行星表面的圆形轨道，绕行数圈后着陆在该行星上。宇宙飞船上备有以下实验仪器：秒表、弹簧测力计、天平、砝码、刻度尺。已知宇航员在绕行时和着陆后各做了一次测量，依据测量的数据可以求出该星球的质量M、密度及半径R（已知万有引力常量G），则两次测量所选用的器材是_________________________，两次测量的物理量分别是_________________________和_____________________________，由测量的量可得该星球的质量M=_______________，该星球的密度=_________________，该星球的半径R=__________________。


4、设想有一个宇航员在某行星的极地上着陆时，
发现物体在当地的重力是同一物体在地球上的重力的
0. 01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体
在它的赤道上时恰好完全失重。若存在这样的星球，
它的半径有多大？






5、1986年2月20日发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在南太平洋。“和平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章。
“和平号”空间站总质量137吨，工作容积超过400m3，是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称。在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确坠落在预定海域，这在人类历史上还是第一次。“和平号”空间站正常运行时，距离地面的平均高度大约为350km。为保证空间站最终安全坠落，俄罗斯航天局地面控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制。在坠落前空间站已经顺利进入了指定低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240km。在“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7km。
设“和平号”空间站正常运转时沿高度为350km圆形轨道运行，在坠落前沿高度为240km的指定圆形低空轨道运行，而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站的高度变化很小，因此计算时对空间站的每一周的运动都可以看做匀速圆周运动处理。
（1） 空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值多大？计算结果保留2位有效数字。
（2） 空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大？计算中取地球半径，计算结果保留1位有效数字。







［能力提升答案］
1、解析：（1）由，可得卫星在半径为r的圆轨道上做圆周运动的动能为
。
（2）由，可知卫星在半径为r的圆轨道上做圆周运动的周期为

（3）已知r2T2
答案：B
2、解析：地球的质量未知，引力常量G也没给出，但是已知地球的半径R，可由第一宇宙速度v1=7.9km/s，来求飞船的速度大小。
由可得，
即，
所以。
答案：7.4km/s
3、解析：宇航员用秒表测出宇宙飞船在近行星表面的圆形轨道上运行的周期T,着陆后用弹簧测力计测出砝码在行星表面的重力F（砝码质量为m是已知的）。
宇宙飞船在近行星表面轨道上运行时，万有引力提供向心力，而万有引力约等于重力，故，可得该星球的半径
①
再由可得
②
将①代入②式可得该星球的质量；再由②式及密度公式可得该星球的密度。
答案：秒表、弹簧测力计；飞船在星球表面运行的周期；砝码在星球表面的重力；
，，
4、解析：设行星的半径为R，在赤道上质量为m的物体随星体自转，物体受力如图所示，根据牛顿第二运动定律得

依题意FN＝0，得
在极地地区物体重力仅为地球重力的0.01倍，可知。
自转周期与地球相同，即，
可知该星球半径为

答案：
5、解析：（1）间站沿正常轨道运行，还是沿指定低空轨道运行时，都是万有引力恰好提供空间站运行时所需的向心力。由万有引力定律和牛顿第二定律有

空间站运行时向心加速度是
空间站沿正常轨道运行时加速度与沿指定的低空轨道时加速度大小的比值是

（2）万有引力提供空间站运行时的向心力，有
不计地球自转的影响，根据，有

则空间站在指定的低空轨道空间站运行的周期为

设一昼夜时间为t，则每昼夜空间站在指定的低空轨道上绕地球运行圈数为

空间站沿指定低空轨道运行时，每运行一周空间站高度平均减小
。
答案：0.97 0.2
［真题再现］
1、可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道（ ）
A. 与地球表面上某一纬度（非赤道）是共面的同心圆
B. 与地球表面上某一经线所决定的是圆共面的同心圆
C. 与地球表面上的赤道是共面的同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D. 与地球表面上的赤道是共面的同心圆，且卫星相对于地球表面是运动的
思路分析：人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力是地球对它的万有引力，也就是地球的球心是人造地球卫星作圆周运动的圆心，地球只有纬度为零的赤道的圆心与地球的球心是重合的，其他纬线所在平面的圆心与地球的球心不重合，故不可能发射与非赤道的纬线共面的人造地球卫星；由于地球的自转，地球上每一条经线所决定的圆都在绕地轴转动，而发射的人造地球卫星若是通过南北极，它与某一经线在某一时刻可能共面，但是这条经线马上就会与人造地球卫星所在的平面成一定角度；同步卫星就是定点在赤道上空，且相对地球的表面是静止的；人造地球卫星的轨道可以是与赤道共面的同心圆，只要其高度不是同步卫星的高度，则卫星相对地球表面是运动的。综上所述，C、D两选项正确。
答案：CD
2、一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行。认为行星是密度均匀的球体。要确定该行星的密度，只要测量（ ）
A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度
C.飞船的运行周期 D.行星的质量
思路分析：由万有引力定律对飞船在该行星表面飞行有，又，故，显然若已知飞船的运行周期，则行星密度可求，C项对。不难推证，其他各项均无法求解行星密度。
答案：C
3、宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）。根据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为（ ）
A. B. C. D.
思路分析：令月球表面的重力加速度为g′，由题知得。将飞船在月球表面附近的绕月匀速圆周运动与地球表面第一宇宙速度相类比可得，故B项对。
O
R

A

B

答案：B
4、如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的
圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，已知地球半
径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度
为g，O为地球中心。
（1） 求卫星Bde运动周期
（2） 如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时
刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上）。则至
少经过多长时间，他们再一次相距最近？
思路分析：由万有引力定律和向心力公式得 ①
②，联立①②得 ③。
（2）由题意得 ④ ，由③得，代入④得
。
答案：（1） （2）
5、神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示 。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
（1） 可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2。试求m′（用m1、m2表示）。
（2） 求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式。
（3） 恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将来可能成为黑洞。
若可见星A的速率，运行周期，质量，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（）
思路分析：（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω。由牛顿运动定律，有。
设A、B之间的距离为r，又r1＋r2＝r，由上述各式得 ①，将①代入得，令
比较可得 ②
（2）由牛顿第二定律，有 ③
又可见星A的轨道半径 ④ ，由②③④式解得 ⑤
（3）将代入⑤式，得，代入数据得
⑥ ，
设，将其代入⑥式，得
⑦
可见，的值随n的增大而增大，试令n=2，得
⑧，若使⑦式成立，则n比大于2，即暗星B的质量m2比大于2ms,由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。
答案：（1） （2） （3）暗星B有可能是黑洞
6、宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式。一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。
（1） 试求第一种情况下，星体运动的线速度和周期。
（2） 假设两种形式星体的运动周期相同，第二种情况下星体之间的距离应为多少？















R
R
1
2
3
思路分析：（1）依题意画出三星同线的示意图如下，令此情景下的周期为T，由万有引力定律及牛顿第二定律对星1或星3有：





得 。
星1或星3的线速度。
（2）三星构成等边三角形时，必绕三角形的重心做等速旋转，令此时三星之间的距离为d，画出情景图如下：



3
2
1


F



O
F










对任一星体，所受其他二星体万有引力的合力必指向旋转中心O点，大小为 。
由几何关系知旋转半径，
由牛顿第二定律得，
代入上式中T得。
答案：（1） （2）
7、某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星。试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落后12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转的周期为T，不考虑大气对光的折射。
思路分析：设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离，有
①
春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示。图中原E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O点表示地心。由图可看出卫星S绕地心O转到图示位值以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它，据此再考虑到对称性，有
E
O
R
A

S
E
②
③
④
由以上各式可解得

答案：。
8、在“勇气号”火星探测器着陆的最后阶段，探测器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设探测器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0。求它第二次落到火星表面时速度的大小。计算时不计火星大气阻力，已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。活性可视为半径为r0的均匀球体。
思路分析：以表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
①
②
设v表示探测器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分速度为v1，水平分速度仍为v0，有
③
④
由以上各式解得。
答案：