2020-2021学年4.1 因式分解精品复习练习题

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4.1因式分解同步练习浙教版初中数学七年级下册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列从左到右的变形，是分解因式的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为

A.  B.
C.  D.

4. 下列各式由左到右是分解因式的是

A.  B.
C.  D.

5. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

6. 下列式子从左到右变形是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

7. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

8. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

9. 下列多项式能分解因式的是

A.  B.  C.  D.

10. 下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是

A.
B.
C.
D.

11. 下列由左到右的变形中，属于因式分解的是

A.
B.
C.
D.

12. 下列从左到右的变形属于因式分解的是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 把一个多项式化成几个__________________的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解．
14. 一个多项式分解因式的结果是，则这个一多项式是      ．
15. 多项式分解因式后有一个因式是，则另一个因式是      ．
16. 如果是多项式的一个因式，则______．
17. 已知，被除后余数为，则________．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 阅读材料
    小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．
    小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．
    他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：
    
    也就是说，只需用中的一次项系数乘以中的常数项，再用中的常数项乘以中的一次项系数，两个积相加，即可得到一次项系数．
    延续上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数，可以先用的一次项系数，的常数项，的常数项，相乘得到；再用的一次项系数，的常数项，的常数项，相乘得到；然后用的一次项系数，的常数项的常数项，相乘得到最后将，，相加，得到的一次项系数为．
    参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
    计算所得多项式的一次项系数为______．
    计算所得多项式的一次项系数为______．
    若是的一个因式，求、的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 仔细阅读下面例题，解答问题：
    例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
    解：设另一个因式为，则，
    即，
    解得
    故另一个因式为，的值为．
    仿照上面的方法解答下面问题：
    已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 仔细阅读下面的例题，并解答问题：
    例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
    解法一：设另一个因式为，得
    则，
    解得，．
    另一个因式为，的值为．
    解法二：设另一个因式为，得
    当时，
    即，解得
    
    另一个因式为，的值为．
    问题：仿照以上一种方法解答下面问题．
    若多项式分解因式的结果中有因式，则实数______．
    已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如果，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知关于的多项式分解因式后有一个因式是，求的值，并把该多项式分解因式．
    
    
    
    
    
    
     
23. 在对多项式进行因式分解时，小芳看错了的值，分解的结果为小王看错了的值，分解的结果为，求，的值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 阅读下列材料：
    将一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形，叫做这个多项式的因式分解：例如；
    我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法；
    配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
    例如：分解因式
    ；
    再例如求代数式的最小值可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
    分解因式：；
    当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
    已知，，为的三边，且满足，试判断此三角形的形状．
    
    
    
    
    
    
     
25. 仔细阅读下面的例题，解答问题．
    例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
    解：设另一个因式为，得
    ，
    则，
    解得
    另一个因式为，的值为．
    仿照以上方法解答下面问题：
    已知二次三项式有一个因式为，求另一个因式以及的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是多项式的因式分解定义分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．
据此对各项进行判断即可．
【解答】
解：是单项式乘多项式的运算，不符合题意；
B.右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解；
C.属于因式分解，符合题意；
D.右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解．
故选C．  

2.【答案】
 

【解析】解：、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
B、符合因式分解的意义，是因式分解，故本选项正确；
C、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
D、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误．
故选：．
根据因式分解的意义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．根据把整式变成几个整式的积的过程叫因式分解进行分析即可．

【解答】

A、是整式的乘法运算，不是因式分解，故A不正确；

B、是积的乘方，不是因式分解，故B不正确；

C、右边不是整式乘积的形式，故C不正确；

D、是按照平方差公式分解的，符合题意，故D正确；

故选D．

4.【答案】
 

【解析】解：等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
B.等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C.等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D.等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：．
根据分解因式的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了因式分解，正确掌握因式分解的定义是解题关键．直接利用因式分解的意义逐项分析即可．
【解答】
解：．，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；
B.，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；
C.，是因式分解，故此选项符合题意；
D.，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；
故选C．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．
【解答】
解；、，不是因式分解，故A选项错误；
B、，是因式分解，故B选项正确；
C、，不是因式分解，故C选项错误；
D、，不是因式分解，故D选项错误；
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】解：、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．

【解答】

解：是整式的乘法运算，故本选项错误； 

B. ，不完全是整式乘积的形式，故本选项错误； 
C. ，是几个因式的乘积的形式，是因式分解，故本选项正确； 
D.结果不是几个因式乘积的形式，是整式的乘法运算，故本选项错误．

故选C．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查因式分解的条件。在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，两项考虑用平方差公式，三项用完全平方公式，当然符合公式才可以如果项数较多，要分组分解，分解到每个因式不能再分为止因此，根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】

解：不能分解因式，故A错误；

不能分解因式，故B错误；

是完全平方式，故C正确；

不能分解因式，，故D错误．

故选C．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查因式分解的概念，解题的关键是正确理解因式分解的概念，属于基础题．
根据因式分解的定义即可判断．
【解答】
解：该变形为去括号，故A不是因式分解；
B.该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
C.符合因式分解定义，故C是因式分解；
该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解．
故选：．  

11.【答案】
 

【解析】解：把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，选项符合题意；
B.结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项不合题意；
C.是整式乘法，不是因式分解，选项不合题意；
D.是整式乘法，不是因式分解，选项不合题意．
故选：．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断．
本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．
 

12.【答案】
 

【解析】解：从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的意义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的意义，能熟记因式分解的意义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
 

13.【答案】整式的积
 

【解析】

【分析】

本题考查了因式分解的定义，属于基础题．
解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义．

【解答】

解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解．
故答案为整式的积．
 

14.【答案】
 

【解析】  ，能分解成的多项式是．
 

15.【答案】 
 

【解析】，所以另一个因式是．
 

16.【答案】
 

【解析】解：把代入方程中得，
解得：．
故答案为：．
是多项式的一个因式，即方程的一个解是，代入方程求出的值．
一元二次方程可以利用因式分解法，分解成两个因式相乘值为的形式，每一个因式为，即可求出其中一个解，本题用的是逆向思维求的值．
 

17.【答案】解：令，代入原式得：

，

被除后余数为，

．

【解析】

【分析】

此题考查多项式除以多项式，多项式被除后余，令，代入原多项式，所得结果即为余数．

【解答】

解：令，代入原式得：

，

被除后余数为，

．

故答案为．

18.【答案】 
 

【解析】解：所得多项式的一次项系数为，
故答案为：；

所得多项式的一次项系数为，
故答案为：；

由中次项系数为、常数项为可设另一个因式为，
则，
，
解得：．
根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；
根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；
由中次项系数为、常数项为可设另一个因式为，根据三次项系数为、二次项系数为、一次项系数为列出方程组求出、的值，据此可得答案．
本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
 

19.【答案】解：设另一个因式为，则，
即，
解得
故另一个因式为，的值为．
 

【解析】见答案
 

20.【答案】
 

【解析】解：设另一个因式为，得
则，
，解得，．
故答案为：．
设另一个因式为，得
则
，
解得，，
另一个因式为，的值为．
将展开，根据所给出的二次三项式即可求出和的值；
展开，可得出一次项的系数，继而即可求出和的值．
本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
 

21.【答案】解：，
，．
．
 

【解析】本题主要考查求代数式的值的知识，解答本题的关键是知道，求出、，然后再求的值．
 

22.【答案】解：设另一个因式为，则，即，

所以解得
所以原多项式是，它可以分解因式为．

【解析】略
 

23.【答案】解：由小芳的结果可得，所以
由小王的结果可得，所以．
 

【解析】略
 

24.【答案】解：



；


，
当，时，有最小值；
，
，
，
，
，，
，
为等边三角形．
 

【解析】根据完全平方公式把原式变形，根据平方差公式进行因式分解；
根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；
先根据单项式乘多项式把原式化简，根据完全平方公式变形，根据偶次方的非负性得到，，根据等边三角形的概念解答即可．
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
 

25.【答案】解：设另一个因式为，得，
则，

解得
故另一个因式为，的值为．
 

【解析】本题考查因式分解的应用，掌握因式分解与整式乘法是互逆的运算是解题关键设另一个因式为，然后得到，根据多项式与多项式的乘法计算后得到关于和的二元一次方程组，解方程求解即可．