2021年湖南省张家界市九年级上学期数学期中试卷含答案

 九年级上学期数学期中试卷

一、单项选择题

1.以下函数是反比例函数的是〔     〕           

A.                               B.                               C.                               D. y=-x+5

2.反比例函数y= 的图象经过的象限是〔   〕           

A. 第一二象限                       B. 第一三象限                       C. 第二三象限                       D. 第二四象限

3.以下四条线段能成比例线段的是〔   〕           

A. 1，1，2，3                     B. 1，2，3，4                     C. 2，2，3，3                     D. 2，3，4，5

4.假设 是关于x的一元二次方程，那么a的值是〔  〕           

A. 4                                         B. 2                                         C. －2                                         D. ±2

5.如图，点 、 分别在 的边 、 上，且 与 不平行．以下条件中，能判定 与 相似的是〔　　〕 

A.                    B.                    C.                    D. 

6.一元二次方程 的根的情况是〔   〕           

A. 只有一个实数根          B. 没有实数根          C. 有两个不相等的实数根          D. 有两个相等的实数根

7.?孙子算经?是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸〔提示：1丈=10尺，1尺=10寸〕，那么竹竿的长为〔   〕

A. 五丈                                  B. 四丈五尺                                  C. 一丈                                  D. 五尺

8.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=5：2，连接AE交BD于点F，那么△DEF的面积与△BAF的面积之比为〔    〕 

A. 5：7                                 B. 10：4                                 C. 25：4                                 D. 25：49

二、填空题

9.假设反比例函数的图象经过点〔3，－1〕，那么该反比例函数的表达式为________．   

10.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC．AE=6， ，那么EC的长等于________． 

11.一元二次方程 的根是________.
   

12.假设 ，那么 =________   

13.假设x=－2是方程x2+px+2q=0的根，那么p－q的值是________．   

14.如图，平面直角坐标系中，等腰 的顶点 分别在 轴、 轴的正半轴,  轴, 点 在函数 的图象上.假设 那么 的值为________. 

三、解答题

15.用适当的方法解方程： 

16.y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=4，   

〔1〕求y关于x的函数解析式；   

〔2〕当x=6时，求y的值．   

17.如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过顶点D作DF⊥AE，垂足为F，求证：△ABE∽△DFA． 

18.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根为x1  ， x2  ， 那么两根与方程系数之间有如下关系： ，x1·x2＝ ．根据该材料解题：x1  ， x2是方程x2−2x=1的两实数根． 

求：

〔1〕

〔2〕

19.如图，在一个长10cm，宽6cm的矩形铁皮的四角各截去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方形盒子．假设长方形盒子的底面〔图中阴影局部〕面积是32cm2  ， 求截去的小正方形的边长． 

20.如图，A〔−4，2〕，B〔n，−4〕是一次函数 的图象与反比例函数 的图像的两个交点． 

〔1〕求反比例函数和一次函数的解析式；   

〔2〕求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；   

〔3〕求不等式 的解集〔请直接写出答案〕．   

21.关于x的一元二次方程x2－3x+k＝0有实数根．   

〔1〕求k的取值范围；   

〔2〕如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程 与方程 有一个相同的根，求此时m的值．   

22.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是2cm/秒，点Q的速度是1cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒． 

〔1〕用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；   

〔2〕当t＝2秒时，P，Q两点之间的距离是多少？   

〔3〕当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【答案】 C  

【解析】【解答】A.当 时不是反比例函数，故该选项不符合题意.

B. 是正比例函数，故该选项不符合题意.

C. 是反比例函数，故该选项符合题意.

D.y=-x+5是一次函数，故该选项不符合题意.

故答案为：C

 
【分析】根据反比例函数的含义和性质分别进行判断即可。

2.【答案】 B  

【解析】【解答】∵4＞0，∴反比例函数y 的图象经过第一、三象限．

故答案为：B．

 
【分析】根据反比例函数的解析式以及性质，判断其象限即可。

3.【答案】 C  

【解析】【解答】A.因为1：1 2：3，所以A中的四条线段不是成比例线段；

B.因为1：2 3：4，所以B中的四条线段不是成比例线段；

C.因为2：2=3：3，所以C中的四条线段是成比例线段；

D.因为2：3 4：5，所以D中的四条线段不是成比例线段.

故答案为：C.

【分析】先将四条线段从小到大排列，假设第一条与第二条的比值与第三条与第四条的比值相等，那么称这四条线段是成比例线段。据此一一判断即可。

4.【答案】 C  

【解析】【解答】解：∵ 是关于x的一元二次方程

∴ ，解得x=-2．

故答案为C．

 
【分析】由一元二次方程的含义可知，x的系数不为0，x的指数为2，即可得到a的值。

5.【答案】 A  

【解析】【解答】解:在 与 中，

∵ ，且 ，

∴ ．

故答案为：A．

【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．

6.【答案】 D  

【解析】【解答】解：把一元二次方程 化为一般形式为：

∵△=122-4×4×9=0，

∴方程有两个相等的实数根．

故答案为：D．

 
【分析】将一元二次方程化为一般形式，根据根的判别式进行判断即可得到答案。

7.【答案】 B  

【解析】【解答】设竹竿的长度为x尺，

∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，

∴ ，

解得x=45〔尺〕，

故答案为：B．

【分析】根据物高：影长=物高：影长，列方程求解即可。

8.【答案】 D  

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ．

故答案为：D．

 
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案。

二、填空题

9.【答案】

【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为 〔k≠0〕，函数的图象经过点〔3，-1〕，

∴-1= ，得k=-3，

∴反比例函数解析式为 ．

故答案为： ．

 
【分析】设反比例函数的解析式，将点的坐标代入解析式，即可得到k的值，继而得到反比例函数的解析式。

10.【答案】 8  

【解析】【解答】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴ ， ∴ ， 解得：EC=8．
【分析】根据题意，即可证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可得到EC的长度。

11.【答案】 x1=1，x2=2  

【解析】【解答】解： ，
移项得 ,
∴〔x-2〕〔x-1〕=0，
∴x-2=0，或x-1=0，
解得： x1=1，x2=2。
故答案为： x1=1，x2=2。
【分析】将方程的右边整体移到方程的左边，然后利用提公因式法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解。

12.【答案】

【解析】【解答】解： ，

即 ，

即 ，

即 ．

故答案为： ．

 
【分析】将分式进行化简，即可得到答案。

13.【答案】 2  

【解析】【解答】∵x=﹣2是方程x2+px+2q=0的解，∴4﹣2p+2q=0，∴p﹣q=2．

故答案为：2．

 
【分析】将x=-2代入方程，化简式子即可得到p-q的值。

14.【答案】 4  

【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，AB=2

∴BC=2，

∵

∴

解得：OA=

∴点C的坐标为

又点C在反比例函数图象上

∴

故答案为：4.

【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC的值，根据等面积法求出OA的值，OA和AC分别是点C的横纵坐标，又点C在反比例函数图象上，即可得出答案.

三、解答题

15.【答案】 解：

(5x+1)〔x-1〕=0

5x+1=0，x-1=0

．

【解析】【分析】根据题意，利用十字相乘法解一元二次方程即可。

16.【答案】 〔1〕解：∵y是x的反比例函数， 

∴设 ，

∵当 时， ，

∴ ，

解得 ，

故y关于x的函数解析式为 ；

〔2〕解：将 代入 得： ，  

即 的值为 ．

【解析】【分析】〔1〕设出反比例函数的解析式，将点的坐标代入，即可得到反比例函数的解析式；
〔2〕将x=6代入求出的反比例函数的解析式，即可得到y的值。

17.【答案】 解：∵矩形ABCD 

∴AD//BC，∠ABE=90°

∴∠FAD=∠AEB，∠FAD+∠BAE=90°

∵DF⊥AE

∴∠AFD=90°，∠FAD+∠ADF=90°

∴∠ADF=∠BAE

∴△ABE∽△DFA．

【解析】【分析】根据直线平行的性质，即可得到∠FAD=∠AEB，继而由直角三角形的性质，证明得到三角形相似即可。

18.【答案】 〔1〕解：∵x2−2x=1 

∴x2−2x-1=0

∵x1、x2是方程x2−2x-1=0的两实数根，

∴x1+x2=2，x1•x2=-1，

x12+x22

=〔x1+x2〕2-2x1x2

=4+2

=6；

〔2〕解：

=

=

=-6．

【解析】【分析】〔1〕根据材料中两根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到答案；
〔2〕将分式通分，根据两根与系数的关系，将式子化简即可。

19.【答案】 解：设截去的小正方形边长是xcm，那么盒子的底面为长为〔10-2x〕cm和宽为〔6-2x〕cm 

由题意得：〔10−2x〕〔6−2x〕＝32

解得： 〔舍去〕．

答：截去的小正方形边长是1cm．

【解析】【分析】 设截去的小正方形边长是x，根据矩形的面积公式，列出关于x的一元二次方程，求出答案即可。

20.【答案】 〔1〕解：∵A〔－4，2〕在 上，  

∴m=－8．

∴反比例函数的解析式为 ．

∵B〔n，﹣4〕在 上，    ∴n=2．    ∴B〔2，－4〕．

∵y=kx+b经过A〔﹣4，2〕，B〔2，﹣4〕，

，解得

∴一次函数的解析式为 ．

〔2〕解：∵C是直线AB与x轴的交点， 

∴当y=0时，x=－2．∴点C〔－2，0〕．

∴OC=2．

∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=

〔3〕解：不等式 的解集为0＜x＜2或x＜－4．  

【解析】【分析】〔1〕将点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m的值，继而求出其解析式；根据点A和点B的坐标，根据待定系数法即可得到一次函数的解析式；
〔2〕根据直线AB的解析式，令y=0，即可得到其C的坐标，根据三角形的面积公式计算得到答案即可；
〔3〕根据题意，由直线和反比例函数的解析式，根据不等式写出x的范围即可。

21.【答案】 〔1〕解：根据题意得△=〔-3〕2-4k≥0， 

解得k≤ ；

〔2〕解：k的最大整数为2， 

方程x2-3x+k=0变形为x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，

∵一元二次方程〔m-1〕x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，

∴当x=1时，m-1+1+m-3=0，解得m= ；

当x=2时，4〔m-1〕+2+m-3=0，解得m=1，

而m-1≠0，

∴m的值为 ．

【解析】【分析】〔1〕根据一元二次方程根的判别式，即可得到k的取值范围；
〔2〕根据〔1〕中k的最大取值范围，即可得到k的值，继而计算得到m的值即可。

22.【答案】 〔1〕解：设运动的时间为t秒，那么AP=2t，CQ=t， CP=8﹣2t， 

所以Rt△CPQ的面积为 〔0≤t≤4〕；

〔2〕解：当t=2时，那么AP=2t，CQ=t， 

那么CP=8－2t，当t=2秒时，CP=8－2t=4cm，CQ=2cm．

在Rt△CPQ中，由勾股定理得：PQ=

〔3〕解：由题意得：AP=2t，CQ=t，那么CP=8－2t． 

分两种情况讨论：

当Rt△CPQ∽Rt△CAB时， ，即 ，解得 秒；

当Rt△CPQ∽Rt△CBA时， ，即 ，解得 秒；

因此t= 秒或t= 秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

【解析】【分析】〔1〕设运动的时间为t，即可表示出AP、CQ和CP，根据直角三角形的面积公式计算得到答案即可；
〔2〕根据题意，计算得到t=2时，AP和CQ的长度，继而在直角三角形CPQ中，根据勾股定理即可得到PQ；
〔3〕根据题意，由三角形相似的判定和性质求出t即可。