2020-2021年湖南省长沙市九年级上学期数学第三次月考试卷

这是一份2020-2021年湖南省长沙市九年级上学期数学第三次月考试卷，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学第三次月考试卷
一、单项选择题
1.在实数 ，-3.14，0， ， 中，无理数有〔   〕
A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
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A.                      B.                      C.                      D. 
〔3， 〕与Q〔a，b〕关于y轴对称，那么a+b的值为〔  〕
A. 1                                         B.                                          C. 5                                         D. 
4.以下说法：①假设一个数的倒数等于它本身，那么这个数是1或－1；②假设2a2与3ax＋1的和是单项式，那么x＝1；③假设|x|＝|－7|，那么x＝－7；④假设a，b互为相反数，那么〔  〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
5.一种饮料有两种包装，2大盒、4小盒共装88瓶，3大盒、2小盒共装84瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，那么可列方程组〔  〕
A.                  B.                  C.                  D. 
6.抛物线 ，以下说法正确的选项是〔  〕
A. 开口向下，顶点坐标〔2，3〕                            B. 开口向上，顶点坐标〔2， 〕
C. 开口向下，顶点坐标〔 ，3〕                      D. 开口向上，顶点坐标〔2， 3 〕
7.如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为〔  〕

A.                                           B.                                           C.                                           D. 
8.抛物线 与x轴没有交点，那么函数 的大致图象是〔    〕
A.      B.      C.      D. 
9.如图，点E是 的边 上的一点，且 ，连接 并延长交 的延长线于点F，假设 ，那么 的周长为〔    〕

A. 21                                         B. 28                                         C. 34                                         D. 42
10.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为〔2，4〕．点A在 轴的正半轴上，点C在 轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1 ， 那么P1的坐标为〔  〕

A. 〔3，3〕                                                            B. 〔3，2〕或〔 ， 〕
C. 〔3，3〕或〔 ， 〕                              D. 〔2，3〕或〔 ， 〕
11.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为 ，AC=2，那么树高BC为〔用含 的代数式表示〕〔  〕

A.                                   B.                                   C.                                   D. 
12.如图，直线y＝ x＋1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D〔3，0〕向以P为圆心， AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，那么四边形PEDF面积的最小值为〔    〕

A.                                      B.                                      C.                                      D. 
二、填空题
13.小明用 计算一组数据的方差，那么 ________．
14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，那么AE=________cm．

15.如图，第一象限内的点A在反比例函数y＝ 上，第二象限的点B在反比例函数y＝ 上，且OA⊥OB， ，BC、AD垂直于x轴于C、D，那么k的值为________．

16.如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝ BE，DF＝ ，那么BE＝________．

三、解答题
17.计算： ．
18.先化简，再求值： ，其中 满足方程 ．
19.解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．

局部学生开展庆“五·四〞演讲比赛，赛后对全体参赛学生成绩按A、B、C、D四个等级进行整理，得到以下不完整的统计图表．

等级
频数
频率
A
4

B
20
a
C
b

D
11

请根据所给信息，解答以下问题：
〔1〕参加此次演讲比赛的学生共有________人，a=________，b=________．
〔2〕请计算扇形统计图中B等级对应的扇形的圆心角的度数；
〔3〕A等级四名同学中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加县级比赛，请用列表法或树状图，求甲、乙两名同学都被选中的概率．
21.为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建.如图，A、B两地之间有一座山。汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶。BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°。
 
〔1〕开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
〔2〕开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？(结果精确到0.1千米)(参考数据： ≈1.41， ≈1.73)
22.如图，在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 〔 〕相交于点A、B，点B〔a， 〕，点C在 轴正半轴上，点D〔2， 〕，连接OA，OD，DC，AC，四边形AODC为菱形．

〔1〕求k和m的值；
〔2〕请直接写出：当 取何值时，反比例函数值大于一次函数值？
〔3〕设P是 轴上一动点，且△OAP的面积等于菱形OACD的面积，求点P的坐标．
23.如图，以 的边 为直径作 的外接圆的 平分线 交 于D，交 于 ，过E作 交 的延长线于F.

〔1〕求证： 是 切线；
〔2〕假设 求 的长.
24.定义：假设一次函数 与反比例函数 同时经过点P〔 ， 〕那么称二次函数 为一次函数与反比例函数的“关联函数〞，称点P为关联点．例如：一次函数 与反比例函数 ，都经过〔2，4〕，那么 就是两个函数的“关联函数〞．
〔1〕判断 与 是否存在“关联函数〞，如果存在，请求出“关联点〞和相应“关联函数〞．如果不存在，请说明理由；
〔2〕：整数a，b，c满足条件 ，并且一次函数 与反比例函数 存在“关联函数〞 ，求a的值．
〔3〕假设一次函数 和反比例函数 在自变量 的值满足 的情况下．其“关联函数〞的最小值为6，求其“关联函数〞的解析式．
25.在平面直角坐标系中，抛物线 〔 〕与 轴的两个交点分别为A、B，与 轴相交于点C，点A〔 ，0〕， ，连接BC，tan∠OCB=2．

〔1〕求该抛物线的解析式；
〔2〕设点P是抛物线上在第一象限内的动点〔不与C、B重合〕，过点P做PD⊥BC，垂足为点D．
①点P在运动过程中，线段PD的长度是否存在最大值？假设存在，请求出点D的坐标；假设不存在，请说明理由；
②以P、D、C为顶点的三角形与△COA相似时，求出点P的坐标．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解： =4，
所给数据中无理数有： ，π，共2个.
故答案为：B.
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可.
2.【解析】【解答】解：30.81亿=3081000000=3.081×109 ．
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n ， 其中1≤|a|＜10，n为整数.当原数的绝对值大于10时，n为原数的整数位数减去1.
3.【解析】【解答】∵点M〔3， -2 〕与Q〔a，b〕关于y轴对称，
∴a=-3，b=-2，
∴a+b=-5．
故答案为：D．
【分析】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变.
4.【解析】【解答】①假设一个数的倒数等于它本身，那么这个数只有1和-1，说法符合题意；
②假设两个单项式2a2与3ax+1的和是单项式，那么2=x+1，解得x=1，说法符合题意；
③假设|x|=|-7|，那么x=7或-7，说法不符合题意；
④假设a、b互为相反数，那么a、b的商为-1，不符合题意，例如0和0互为相反数，但0不能为分母，故此说法不符合题意，
综上可得共2个符合题意，
故答案为：B．
【分析】①根据倒数的定义判断；②根据单项式的定义可得2=x+1，求解可得x的值；③根据绝对值为正数的数有两个进行判断；④根据互为相反数的和为1进行判断.
5.【解析】【解答】解：设大盒装x瓶，小盒装y瓶，根据题意可列方程组为： ，
故答案为：A．
【分析】根据“大盒的数量×x+小盒的数量×y=总瓶数〞分别列方程，联立可得方程组.
6.【解析】【解答】二次函数 的顶点坐标为 ，
因为二次项的系数为 ，小于0，
所以抛物线的开口向下，
故答案为：A．
【分析】根据二次项系数的符号可判断出开口方向，直接根据解析式可写出顶点坐标.
7.【解析】【解答】∵共4个数，数字为偶数的有2个，
∴指针指向的数字为偶数的概率为 ．
故答案为：D．
【分析】找出转盘中所有数字的数量，再找出其中偶数的个数，用偶数的个数除以总数量即可求得指向偶数的概率.
8.【解析】【解答】解：∵抛物线 与x轴没有交点，
∴方程 没有实数根，
∴△=4﹣4×1×〔﹣m﹣2〕=4m+12＜0，
∴m＜﹣3，
∴函数 的图象在二、四象限.
故答案为：C.

【分析】抛物线与x轴没有交点，那么对应的一元二次方程没有实数根，根据根的判别式即可得到m的范围，进而判断出反比例函数的图象.
9.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，AB=CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴ ，
∵ ，
∴AE=6，AB=8，
∴AD=AE+DE=6+3=9，
∴ 的周长为：〔8+9〕×2=34．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
10.【解析】【解答】∵矩形OABC的顶点B的坐标为〔2，4〕，点P是BC的中点，
∴点P的坐标为〔2，2〕，
以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，
那么P1的坐标为〔〕或〔〕，即〔3，3〕或〔−3，−3〕，
故答案为：C．
【分析】根据点B的坐标即可写出点P的坐标，由于以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，那么分别给P点的横、纵坐标乘1.5，即可得到对应点P1的坐标.
11.【解析】【解答】由题意得： 是直角三角形，且 ，
那么 ，即 ，
解得 ，
故答案为：B．
【分析】根据三角函数概念可得， 代入条件计算即可.
12.【解析】【解答】解：如图，连接DP，

∵直线y＝x＋1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝−2，
∴A〔−2，0〕，B〔0，1〕，
∴AB＝

∵过点D〔3，0〕向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，
∴DE＝DF，PE⊥DE，
∵PE＝PF，PD＝PD，
∴△PED≌△PFD〔SSS〕，
∵⊙P的半径为=,
∴DE=
当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×=
∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝ED,
∴四边形PEDF面积的最小值为.
故答案为：A。
【分析】连接DP，根据直线与坐标轴交点的坐标特点，求出点A、B的坐标，进而求得AB的长，即可得出⊙P的半径，利用SSS判断出△PED≌△PFD，根据全等三角形的面积相等，可得四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE，当DP⊥AP时，四边形PEDF面积的最小，利用锐角三角函数求出DP的长，即可得出四边形PEDF面积的最小值。
二、填空题
13.【解析】【解答】由题意得：这组数据的平均数为6，
那么 ，
解得 ，
故答案为：60．
【分析】根据方差的计算公式可得这组数据的平均数为6，进而求得这组数的和.
14.【解析】【解答】∵AB⊥CD，AB是直径，
∴CE=ED=4cm，
在Rt△OEC中，OE= =3〔cm〕，
∴AE=OA+OE=5+3=8〔cm〕，
故答案为：8．
【分析】根据垂径定理可得CE=ED=4cm，在Rt△OEC中利用勾股定理进行求解.
15.【解析】【解答】解：如图，

∵第一象限内的点A在反比例函数y＝ 上，BC、AD垂直于x轴于C、D，
∴S△AOD＝ ×4＝2，
∵OA⊥OB，
∴∠AOD+∠BOC＝90°，
∴∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
∵∠BCO＝∠ODA＝90°，
∴Rt△AOD∽Rt△OBC，
∵ ，
∴
∴S△OBC＝ S△AOD＝ ×2＝ ，
∴ •|k|＝ ，
而k＜0，
∴k＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【分析】首先可证明△AOD∽△OBC，即可得到两个三角形的相似比，进而得到两个三角形的面积比，根据反比例函数的几何意义可得△BCO的面积，进而可计算出△AOD的面积，再次利用反比例函数的几何意义求得k的值.
16.【解析】【解答】如以下列图，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，那么∠G＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴FG＝ EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
设EC＝x，那么DG＝x，FG＝ x，
∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2 ，
∴〔 x〕2+x2＝〔 〕2 ，
解得x2＝9，
即CE2＝9，
∴Rt△BCE中，BE＝ ＝ ＝3 ，
故答案为：3 ．
【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，易证△BCE∽△EGF，那么有＝ ＝ ， 即可求得GE=2，从而推出CE=DG，设EC＝x，在Rt△FDG中，根据勾股定理可得FG2+DG2＝DF2 ， 求出x的值，再在直角△BCE中利用勾股定理求解.
三、解答题
17.【解析】【分析】根据a-n=〔a≠0，n为正整数〕，sin45°=， 开立方的方法和绝对值的定义求解.
18.【解析】【分析】先对括号里的式子进行通分，然后将除法转化为乘法，并把分子、分母中能因式分解的局部进行因式分解，再通过约分进行化简，利用因式分解法解方程，求得x的值，注意x的值要满足使原式有意义，即各分母都不为零，且除数不为零，最后将满足题意的x的值代入化简后的式子计算.
19.【解析】【分析】先分别求解两个不等式，然后找出两个不等式解集的公共局部，即为不等式组的解集，最后将不等式组的解集在数轴上表示即可.
 
20.【解析】【解答】解：〔1〕参加演讲比赛的学生人数为4÷0.08＝50人，a＝20÷50＝0.4，b＝50×0.3＝15，
故答案为：50、0.4、15；
【分析】〔1〕用A等级的频数除以对应的频率，即可求得总人数，用B等级的频数除以总人数可得a的值，用总人数乘C等级的频率可得c的值；
〔2〕用360°乘B等级对应的频率，即可求得B等级对应扇形的圆心角的度数；
〔3〕将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D， 画出树状图表示出所有的可能性，再找出甲、乙两名同学都被选中的情况 数，最后利用概率公式计算.
21.【解析】【分析】(1)、开通隧道前，汽车从A地到B地的距离=AC+BC，过点C作AB的垂线CD，分别在Rt△ACD中利用正弦值求得AC；在Rt△BCD中利用正弦值求得BC值即可；
(2)、开通隧道后，汽车从A地到B地的少走距离=AC+BC-〔AD+BD〕，首先在Rt△BCD中利用余弦值求得BD；在Rt△ACD中利用正切值求得AD值即可.
22.【解析】【分析】〔1〕连接AD，与x轴交于点E，根据菱形的性质和点D的坐标，即可求得点A的坐标，分别将点A的坐标代入两个函数解析式，即可求得m、k的值；
〔2〕联立两个解析式，求解可得点B的坐标，要使反比例函数大于一次函数，那么反比例函数图象在一次函数图象的上方，通过观察图象，即可得到x的范围；
〔3〕先计算出菱形的面积，进而推出△OAP的面积， 设P〔0，p〕，S△OAP=  ×|p|×2＝12，求出p的值，即可得到点P的坐标.
23.【解析】【分析】〔1〕要证EF是 的切线，只要连接OE，再证∠FEO=90°即可；
〔2〕证明△FEA∽△FBE，得出 ，从而得到AF的值，进而得到 ，结合勾股定理得到关于AE的方程，即可求出AE的长.
24.【解析】【分析】〔1〕联立两个函数求解，假设有解，那么说明存在“关联函数〞，根据解即可得到关联点；
〔2〕联立两个函数解析式，整理即可得到关联函数，再根据对应项系数相等结合可求得a的范围，最后求出a的整数解；
〔3〕先求得关联函数，再求出关联函数的对称轴，当m＋6≤−  m时，x＝m＋6，函数取得最小值，即可得到关于m的方程；
当m＜−  m＜m＋6，函数在x＝−  m处取得最小值，同样可得到关于m的方程，根据m的值即可得到“关联函数〞.

 
25.【解析】【分析】〔1〕根据点A的坐标和BO=4AO，即可得到点B的坐标，再根据tan∠OCB=2可求得点C的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式；
〔2〕①根据B、C点的坐标利用待定系数法求出直线BC的解析式， 过点P作PG⊥x轴于点G，PG交CB于点E， 在Rt△PDE中，PD=PE·sin∠PED=PE·sin∠OCB， 那么线段PE最长时，PD的长度最大，设  即可表示出点E的坐标，进而表示出PG、EG的长，进而表示出PE，根据二次函数的最值求出此时P的坐标，根据点P的坐标求出直线PD的解析式，再求出PD与BC的交点，即为点D的坐标；
②先利用勾股定理逆定理证明∠ACB=90°，那么有Rt△COA∽Rt△BOC，即可推出Rt△PDC与Rt△BOC相似，那么可得∠PCD＝∠CBO或∠PCD＝∠BCO；
 〔i〕当∠PCD=∠CBO时，Rt△PDC∽Rt△COB，即可得到点P的纵坐标，再根据点P在抛物线上，即可求出点P的横坐标；
〔ii〕当∠PCD=∠BCO时，即Rt△PDC∽Rt△BOC，过点P作PG⊥x轴于G，与直线BC交于F，过点P作y轴的垂线，垂足为N， 证明PF=PC，设  ，表示出PF的长， 在Rt△PNC中， ， 那么可推出PF2=PC2， 求出n的值，即可得到点P的坐标.