2021年江苏省南通市九年级上学期数学期中考试试卷含答案

这是一份2021年江苏省南通市九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共22页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.抛物线 的顶点坐标为〔   〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
2.与点 在同一反比例函数图象上的点是〔   〕
A.                            B.                            C.                            D. 
3.一个圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，这个圆锥的侧面积为〔   〕
A.                             B.                             C.                             D. 
4.将抛物线 平移得到抛物线 的步骤可以是〔   〕
A. 向左平移4个单位，再向上平移1个单位              B. 向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C. 向右平移4个单位，再向上平移1个单位              D. 向右平移4个单位，再向下平移1个单位
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，那么∠A的大小为〔   〕

A. 40°                                      B. 50°                                      C. 80°                                      D. 100°
6.如图，在平面直角坐标系中，函数 与 的图象交于点 ，那么代数式 的值为〔   〕

A.                                        B.                                        C.                                        D. 
7.如图， 与 轴交于点 ， ，圆心 的横坐标为 ，那么 的半径为〔   〕

A. 3                                           B. 4                                           C. 5                                           D. 6
8.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ， ， ，函数 的图象经过点 ，那么 的长为〔   〕

A.                                      B.                                      C.                                      D. 
9. ， ，假设抛物线 与线段 恰有两个交点，那么 的取值范围为〔   〕
A.              B.              C.              D. 
10.如图， 的顶点 是 上的一个动点， ， ，边 ， 分别交 于点 ， ，分别过点 ， 作 的切线交于点 ，且点 恰好在边 上，连接 ，假设 的半径为 ，那么 的最大值为〔   〕

A.                             B.                             C.                             D. 
二、填空题
11.如图，点P是反比例函数y= 〔x＜0〕图象上一点，PA垂直于y 轴，垂足为A，PB垂直于x轴，垂足为点B，假设矩形 PBOA的面积为6，那么k的值为________.

12.如图， 是 的直径， 为 上的点，假设 ，那么 =________ .

13.过点 ， ， 的二次函数图象开口向________〔填“上〞或“下〞〕
14.如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，假设阴影局部的面积为 ，那么半圆的半径OA的长为________．

15.二次函数 在3≤ ≤5范围内的最小值为________.
16.据?汉书律历志?记载：“量者，龠〔yuè〕、合、升、斗、斛〔hú〕也〞斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜〔huán〕其外，旁有庣〔tiāo〕焉〞．意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆〞，如下列图．
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸〔即2.5尺〕，“庣旁〞为两寸五分〔即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺〕，那么此斛底面的正方形的周长为________尺．〔结果用最简根式表示〕

17.调查显示，某商场一款运动鞋的售价是销量的反比例函数〔调查获得的局部数据如下表〕.
售价 〔元/双〕
200
240
250
400
销售量 〔双〕
30
25
24
15
该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润到达2400元，那么其售价应定为________元.
18.定义：在平面直角坐标系中，假设点 满足横、纵坐标都为整数，那么把点 叫做“整点〞.如： 、 都是“整点〞.抛物线 与 轴交于点 ， 两点，假设该抛物线在 、 之间的局部与线段 所围的区域〔包括边界〕恰有 个整点，那么 的取值范围是________.
三、解答题
19.如图， 的直径 和弦 相交于点 ， ， 的半径为 ， ，求 的长.

20.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，点 ．

〔1〕求反比例函数的表达式；
〔2〕假设一次函数图象与y轴交于点C ， 点D为点C关于原点O的对称点，求 的面积．
21.如图， 是 的弦， 交 于点 ，过点 的切线交 于点 .

〔1〕求证： 是等腰三角形；
〔2〕假设 的半径为 ， ，求 的长.
22.小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地， 设小丽出发第 时， 小丽、小明离B地的距离分别为 、 ， 与x之间的数表达式 ， 与x之间的函数表达式是 .
〔1〕.小丽出发时，小明离A地的距离为   1    .
〔2〕.小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
23.  
〔1〕如图1，四边形 内接于 ， .求证 .

〔2〕在 中， ，点 在以 为直径的半圆内，请你用无刻度的直尺分别按以下要求画图〔保存画图痕迹〕，

①在图2中，作弦 ，使 ；
②在图3中，以 为边作一个 的圆周角.
24.定义： 叫做函数 的“反函数〞.比方 就是 的“反函数〞.数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数 〔 的常数〕，假设点 在函数 的图象上，那么点 也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于 轴对称.

根据上面的定义和提示，解答以下问题：
〔1〕的图象的对称轴是________；
〔2〕①直接写出函数 的“反函数〞的表达式为________；
②在如下列图的平面直角坐标系中画出 的“反函数〞的大致图象；________
〔3〕假设直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与 的“反函数〞图象交于 、 两点〔点 的横坐标小于点 的横坐标〕，过点 作 轴，垂足为点 ，假设 ，求 的值.
25.如图，直线 ， 为垂足.以 圆心， 的半径作圆，交 于点 ， ，交 于点 ， .在 上任取一点 ，作 ，使 ， ，顶点 ， ， 按顺时针方向分布，点 落在射线 上，且不在 内.假设 的某一边所在直线与 相切，我们称该边为 的“相伴切边〞.

〔1〕.如图1， 为 的“相伴切边〞， 平分 .求 的长；
〔2〕.是否存在 三边中两边都是 的“相伴切边〞的情形？假设存在，请求出 的长；假设不存在，请说明理由.
26.点 为二次函数 图象的顶点，直线 分别交 轴正半轴， 轴于点 ， .

〔1〕判断顶点 是否在直线 上，并说明理由.
〔2〕如图1，二次函数图象与直线相交于 ， 两点，假设 时， ，求 点的坐标；
〔3〕如图2，点 坐标为 ，点 在 内，假设点 ， 都在二次函数图象上，请直接写出 的取值范围，并结合 的取值范围确定 与 大小关系.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：二次函数y＝x2的图象的顶点坐标为〔0，0〕.
故答案为：D.
【分析】形如(a≠0〕的函数顶点坐标为〔0，0〕.
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵点
∴k=2×〔-3〕=-6
∴只有A选项：-1.5×4=-6.
故答案为：A.
【分析】由反比例函数解析式为〔k≠0〕代入即可.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：这个圆锥的侧面积＝π×3×5＝15πcm2 ，
故答案为：B.
【分析】圆锥侧面积公式S=πrl代入即可，其中r为圆锥的底面半径 ，l为母线长.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：抛物线 向右平移4个单位得到 ，再向下平移1个单位得到 ，
故答案为：D.
【分析】抛物线的平移规律：自变量左加右减，函数值上加下减可得结果.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵OB＝OC
∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝ ∠BOC＝50°
故答案为：B．
【分析】由等腰三角形的性质与三角形内角和定理可得∠BOC的度数，再根据圆周角定理求∠A。
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：由题意得，函数y＝ 〔x＞0〕与y＝x−1的图象交于点P〔a，b〕，
∴ab＝3，b＝a−1，
∴ ＝ = ，
故答案为：C.
【分析】把点P代入直线和双曲线可得ab＝3，b＝a−1，再计算分式的加减，代入即可.
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如下列图：

∵⊙P与y轴交于M〔0，−4〕，N〔0，−10〕两点，
∴OM＝4，ON＝10，
∴MN＝6，
∵PD⊥MN，
∴DM＝DN＝ MN＝3，
∴OD＝7，
∵点P的横坐标为−4，即PD＝4，
∴PM＝ ＝ ＝5，
即⊙P的半径为5，
故答案为：C.
【分析】过点P作PD⊥MN，连接PM，由题可知MN=6，PD=4，由垂径定理可得点D为MN中点，在Rt△PDM中，可得PM＝ ， 即可得半径.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，过点C作 轴于点D，

，
，
是等腰直角三角形， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设 ，那么 ，
，
将 代入 得： ，
解得 或 〔不符题意，舍去〕，
，
由两点之间的距离公式得： ，
故答案为：B.
【分析】过点C作 轴于点D，由  中OA=OB可得 为等腰直角三角形，故可得∠ABO=45°，且 ，故∠CBD=45°，故△BCD为等腰直角三角形，设点C〔3+a,a〕，且点C在反比例函数图象上可得a，由勾股定理可得AB、BC，在Rt△ABC中，AC=， 即可.
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵
∴对称轴为x=h
∵抛物线 与线段 恰有两个交点
∴1＜h＜4
当 在函数图象上时，那么有： ，解得h= 或h= 〔舍〕；
当 在函数图象上时，那么有： ，解得h=5〔舍〕或h=3；
∴当 时，抛物线 与线段 恰有两个交点.
故答案为：C.
【分析】由抛物线  可得对称轴为x=h，故1＜h＜4，分别讨论点A点B在图象上，可得h范围.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠DAE是 所对的圆周角，∠DOE是 所对的圆心角，
∴∠DOE=2∠DAE=60°，
连接OE，OD，OF，

∵过点 ， 作 的切线交于点 ，
∴∠FEO=∠FDO=90°，
∴在Rt△EFO和Rt△DFO中 ，
∴Rt△EFO≌Rt△DFO〔HL〕，
∴∠EOF=∠DOF=30°，
又∵EO=6，在Rt△EFO中，∠EOF=30°，
∴EF= ，
又∵点F恰好是边BC上的点，∠ECF=90°，
∴点C在以EF为直径的半圆上，
∴设EF中点为G，那么EG=FG=CG= EF= × = ，
∴当OC经过半圆圆心G时，OC最长，即OC的值最大，
在Rt△OEG中，OE=6，EG= ，
∴OG= = ，
∴OC=OG+CG= + ，
故答案为：A.
【分析】由圆周角定理可得∠DOE=2∠DAE=60°，连接OE，OD，OF，可证Rt△EFO≌Rt△DFO〔HL〕，易得∠EOF=∠DOF=30°，在Rt△EFO中易得EF= ， 根据圆周角定理得点C在以EF为直径的半圆上，故当OC经过半圆圆心G时，OC最长，即OC的值最大，求出OG、CG即可得结果.
二、填空题
11.【答案】 -6
【解析】【解答】解：设点P坐标为〔x， 〕，
那么PB= ，
PA=-x.
S矩形PBOA=PA×PB= ×〔-x〕=-k=6，
解得k=-6.
故答案为：-6.
【分析】由反比例函数k的几何意义可得=可得，且反比例函数图象在第二象限可得k＜0，可得结果.
12.【答案】 110°
【解析】【解答】解： 为 直径，

，
，
，
在圆内接四边形ABCD中，
.
故答案是：110°.
【分析】由直径所对的圆周角为直角可得∠ACB，根据直角三角形两内角互余可得∠B，根据圆内接四边形的对角互补可得结果.
13.【答案】 下
【解析】【解答】解：设一般式y=ax2+bx+c，
由题意得：
解得
由 ＜0，那么该函数图象开口向下.
故答案为：下.
【分析】由待定系数法求函数解析式可得二次项系数，根据二次项系数a＞0，开口向上，a＜0，开口向下即可得出答案.
14.【答案】 3
【解析】【解答】解：如图，连接

 点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，
 
 
为等边三角形，
 
 

 
 
 
解得： 〔负根舍去〕，
故答案为：3
【分析】如图，连接 证明 再证明 从而可以列方程求解半径．
15.【答案】 4
【解析】【解答】解： ，
可见该二次函数图象的对称轴是 ， ，开口向上，且在 范围内 随 的增大而增大，
∴当 时， .
故答案为： .
【分析】根据题中的函数解析式，可以得到该函数在 的取值范围内，取得的最小值，从而可以解答此题.
16.【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
∴CE为直径， =45°，
由题意得AB=2.5，
∴CE=2.5-0.25×2=2，
∴CD=CE ，
∴ =45°，
∴正方形CDEF周长为 尺．

故答案为：
【分析】根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．
17.【答案】 300
【解析】【解答】解：由题意，设 ，
将 代入得： ，解得 ，
那么 ，
设要使该款运动鞋每天的销售利润到达 元，其售价应定为 元，
那么 ，
整理得： ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，
故答案为：300.
【分析】由售价是销量的反比例函数可得售价和销量的关系式，根据销售利润=单个利润×销量可列方程，求解即可.
18.【答案】 1＜a≤2
【解析】【解答】解：抛物线y＝ax2＋2ax＋a−2〔a＞0〕化为顶点式为y＝a〔x＋1〕2−2，
∴函数的对称轴：x＝−1，顶点坐标为〔−1，−2〕，
∴M和N两点关于x＝−1对称，
根据题意，抛物线在M、N之间的局部与线段MN所围的区域〔包括边界〕恰有5个整点，这些整点是〔0，0〕，〔−1，0〕，〔−1，−1〕，〔−1，−2〕，〔−2，0〕，
如下列图：

∵当x＝0时，y＝a−2，
∴−1＜a−2≤0，
当x＝1时，y＝4a−2＞0，
即： ，
解得1＜a≤2，
故答案为：1＜a≤2.
【分析】画出图象，找到该抛物线在m、n之间的局部与线段MN所围成的区域恰好有5个整点的边界，利用与y轴交点的位置可得m的范围.
三、解答题
19.【答案】 解：作OP⊥CD于P，连接OD，如下列图：

那么CP＝PD＝ CD，
∵AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，
∴OE＝OA−AE＝2cm，
在Rt△OPE中，∠DEB＝60°，
∴∠POE＝30°，
∴PE＝ OE＝1cm，OP＝ PE＝ cm，
∴PD＝ = = 〔cm〕，
∴CD＝2PD＝2 cm.
【解析】【分析】 作OP⊥CD于P，连接OD， 由题可得OE=2，由   可得∠EOP=30°，可得EP=OE，由勾股定理可得OP，在Rt△POD中，由勾股定理可得PD=， 由垂径定理可得CD=2PD.
20.【答案】 〔1〕解：∵点 ，点 在反比例函数 的图象上，
∴ ．
解得 ．
∴ ．
∴反比例函数的表达式是 ．

〔2〕解：∵ ，
∴点A，点B的坐标分别是 ．
∵点A，点B在一次函数 的图象上，
∴
解得
∴一次函数的表达式是 ．
当 时， ．
∴点C的坐标是 ．
∴ ．
∵点D是点C关于原点O的对称点，
∴ ．
作 轴于点E，
∴ ．





【解析】【分析】〔1〕根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关于a的方程，求出a ， 即可求出反比例函数解析式；〔2〕根据点A、B都在一次函数 的图象上，运用待定系数法求出直线解析式，进而求出点C坐标，求出CD长，即可求出 的面积．
21.【答案】 〔1〕证明：连接OB

∵
∴
∴
∵
∴
∵ 是 的切线
∴
∴
∵
∴
∴
即 是等腰三角形；

〔2〕解：设
根据〔1〕的结论，得
∴
∵
∴
∵假设 的半径为
∴
∴
∴
即 的长：2.
【解析】【分析】〔1〕连接OB，由BC是   的切线可得∠OBC=∠OBP+∠C=90°，由  可得  ，根据OA=OB可得 ， 根据等角的余角相等可得∠CBP=∠APO，由对顶角相等可得∠APO=∠BPC可得结果；
〔2〕设BC=x，可得OC=PC+OP=x+1，在Rt△OBC中可得  ，代入可得结果.
22.【答案】 〔1〕250
〔2〕解：设小丽出发第 时，两人相距 ，
那么
即
其中
因此，当 时
S有最小值，
也就是说，当小丽出发第 时，两人相距最近，最近距离是
【解析】【解答】解〔1〕当x=0时， =2250， =2000
∴ - =2250-2000=250〔m〕
故答案为：250；
【分析】〔1〕小丽出发时，时间x=0，代入即可求出两人离B地的距离，它们之差即为小明离A地的距离；
〔2〕求出两人相距的表达式，根据二次函数的性质可得最值.
23.【答案】 〔1〕证明：连接AQ.

∵AP＝BQ，
∴ ，
∴∠AQP＝∠QAB，
∴PQ∥AB；

〔2〕解：①如图，线段EF即为所求.

②如图，∠DBC即为所求.

【解析】【分析】〔1〕连接AQ，根据弦、弧关系和圆周角定理可得 ∠AQP＝∠QAB ，由内错角相等，两直线平行可得结果；
〔2〕①延长CA、BA与圆相交于点E、F，连接EF即为所求；②在①的根底上延长BF、CE，相较于点M，连接AM交圆于点D，连接BD，∠DBC即为45°.
24.【答案】 〔1〕x轴
〔2〕解：①由“反函数〞的定义知，y2=2x， 故答案为y2=2x； ②函数的大致图象如下： ；解： ②函数的大致图象如下：
〔3〕解：对于y=kx-4k，令y=kx-4k=0，解得x=4，令x=0，那么y=-4k，
即点A〔4，0〕，点B〔0，-4k〕，
∵△AOB≌△AED，
∴OA=AE，DE=BO=4k，
那么点D〔8，4k〕，
将点D的坐标代入y2=2x得，〔4k〕2=2×8，
解得k=±1.
【解析】【解答】解：〔1〕假设点〔m，n〕在函数y=ax2的图象上，那么点〔m，-n〕也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于x轴对称，
故答案为：x轴；
〔2〕①由“反函数〞的定义知，y2=2x， 故答案为y2=2x；
【分析】〔1〕假设点〔m，n〕在函数     的图象上，那么点〔m,-n〕也在函数图象上，故可得对称轴；
〔2〕①由 “反函数〞 定义可得；②经过列表、描点、连线可得答题图象；
〔3〕可得 点A〔4，0〕，点B〔0，-4k〕， 根据 △AOB≌△AED 可得点D坐标，代入即可求解.
25.【答案】 〔1〕解：如图，连接OA，那么 ，

为 的“相伴切边〞，
，即 ，
， 平分 ，
，
那么在 中， ；

〔2〕解：存在，求解过程如下：
由题意，分以下三种情况：
①当边AB、BC都是 的“相伴切边〞时，那么 ，
，即 ，
点O、A、C共线，
又 点C落在射线 上，且不在 内，
点A只能在点M或点N处，
如图2-1，当点A在点N处时，

设BC与 相切于点D，连接OD，那么 ，
，
，
；
如图2-2，当点A在点M处时，

设BC与 相切于点D，连接OD，那么 ，
，
，
；
②当边AC、BC都是 的“相伴切边〞时，那么 ，
，
，即点O、A、B共线，
如图2-3，设BC与 相切于点D，连接OD，那么 ，

设 ，那么 ，
，
在 和 中， ，
，
，即 ，
解得 或 〔舍去〕，
经检验， 是所列方程的解，
那么 ；
③当边AC、AB都是 的“相伴切边〞时,
是 的“相伴切边〞，
，即 ，
，
，即点O、A、B共线，
不可能是 的“相伴切边〞，
那么边AC、AB不能同时是 的“相伴切边〞；
综上，AC的长为 或 或 .
【解析】【分析】〔1〕 连接OA ， 由圆的切线的性质得OA⊥AC，由角平分线的性质得∠OCA=∠ACB=30°，由直角三角形的性质可得结果；
〔2〕分别讨论AB、BC是圆的 “相伴切边〞， AC、BC是圆的 “相伴切边〞，AB、AC是圆的 “相伴切边〞，再根据圆的切线性质、直角三角形性质、相似三角形的判定和性质求解即可.
 
26.【答案】 〔1〕解：在，理由如下：
∵
∴点M为二次函数 图象的顶点
∴M的坐标是〔b+1，4b+5〕。
把x=b+1代入y=4x+1，得y=4b+5.
∴点M在直线y=4x+1上；

〔2〕解：如图1，二次函数图象与直线相交于C，D两点，
当-x2+2〔b+1〕x-b2+2b+4>mx+5时，