2021年江苏省苏州九年级上学期数学期中考试试卷含答案

这是一份2021年江苏省苏州九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共20页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.一元二次方程 的二次项系数是〔  〕
A. 2                                          B. 1                                          C.                                           D. 0
2. ，那么 的值是〔  〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
3.如图，点A，B，C在⊙O上，D是 的中点，假设 ，那么 的度数是〔  〕

A. 20°                                       B. 25°                                       C. 30°                                       D. 35°
4.假设 且周长之比1：3，那么 与 的面积比是〔  〕
A. 1：3                                    B.                                     C. 1：9                                    D. 3：1
5.关于x的一元二次方程 有一个根为 ，那么另一个根是〔  〕
A.                              B.                              C.                              D. 
6.如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，且 ，EC交对角线BD于点F，那么 等于〔  〕

A.                                           B.                                           C.                                           D. 
7.一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，那么可列方程〔  〕
A.                      B. 
C.                  D. 
8.正三角形内切圆与外接圆的半径的比值是〔  〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 1
9.定义运算： .假设a，b是方程 的两根，那么 的值是〔  〕
A. 0                                         B.                                          C. 2                                         D. 2m
10.如图，⊙O的半径为3， 是⊙O的内接三角形，过点A作AD垂直BC于点D.假设 ， ，那么 长是〔  〕

A.                                         B. 4                                        C.                                         D. 
二、填空题
11.〔x+       〕2
12.在比例尺为1：100000的地图上，测量得到甲乙两座城市的距离为27cm，那么甲乙两座城市的实际距离为      千米.
13.如图，在半径为4的⊙O中， 的长为 ，那么阴影局部的面积为      .

14.关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是      .
15.将一个面积为 的半圆围成一个圆锥，那么该圆锥的底面半径为      .
16.如图，在矩形ABCD中， ， ，点P从点A出发沿AB以 的速度向点B移动，假设出发t秒后， ，那么       秒.

17.如图，小明站在距地面5.1m的路灯OP下点A处，此时他的影长 ，小明沿直线向前走了2m到达了点B处，此时他的影长 ，那么小明的身高为      m.

18.线段 ，C是平面内任意一点，假设 ，那么 面积的最大值是      .
三、解答题
19.解方程：
〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
20.如图，在 中， 垂足为 ，且 .求证： .

21.如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，且 ，假设 ，求 的度数.

22.关于x的一元二次方程 .
〔1〕求证：不管m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
〔2〕假设方程有两个实数根为 ， ，且 ，求m的值.
23.如图在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，请按如下要求画图：

〔1〕以坐标原点O为旋转中心，将 按顺时针方向旋转90°，得到 ，请画出 ，在旋转过程中点B所经过的路径长为  ▲  ；
〔2〕以坐标原点O为位似中心，在x轴下方画出 的位似图形 ，使它与 的相似比为2：1
24.如图，在矩形 中，E是 的中点， ，垂足为F.

〔1〕求证： ；
〔2〕假设 ， ，求 的长.
25.如图，在 中， ，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E是BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.

〔1〕求证：DE是⊙O的切线；
〔2〕假设 ， ，求⊙O半径的长.
26.某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y〔千克〕与每千克售价x〔元〕满足一次函数关系，其局部对应数据如下表所示：
每千克售价x/元
…
25
30
35
…
日销售量y/千克
…
110
100
90
…
〔1〕该超市要获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
〔2〕该超市日销售利润能否到达2000元，假设能，求出每千克樱桃的售价；假设不能，请说明理由.
27.思考探索：

〔1〕如图①在 中， ， ，点P为BC上一点，连接AP，假设 ，那么 ________；
〔2〕在 中， ，假设 ，且AP把 分成两个三角形，其中一个与 相似，求 的度数；
〔3〕如图②，在 中， ， ， ，点Q为EF上一点，点F关于直线DQ的对称点 恰好落在线段DE上，求线段DE的长.
28.如图， ，OT是 的平分线，A是射线OM上一点， ，动点P从点A出发，以 的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以 的速度沿ON竖直向上作匀速运动.连接PQ，交OT于点B.经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC.设运动时间为 ，其中 .

〔1〕求 的值；
〔2〕是否存在实数t，使得线段OB的长度为 ？假设存在，求出t的值；假设不存在，说明理由；
〔3〕点P、Q在运动过程中，求证四边形OPCQ的面积是一定值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 A
【解析】【解答】解：由一元二次方程 可知二次项系数是2；
故答案为：A.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0〔a，b，c是常数且a≠0〕，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此解答.
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 设x=3k，y=5k ，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】根据比例的性质可设x=3k，y=5k ，然后代入进行化简即可.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：连接OD，

∵D是 的中点， ，
∴∠BOD= ，
∴ = ，
故答案为：B.
【分析】连接OD，根据等弧所对的圆周角相等得∠BOD=50°，然后根据同弧所对的圆周角相等进行求解.
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵ 且周长之比1：3，
∴ 与 的相似比=1：3，
∴ 与 的面积比=12：32=1：9，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可得出答案.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为t，
那么〔 〕t＝−1，解得 ，
即方程的另一个根为：.
故答案为：B.
【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系"可得( )t＝-1，求出t的值即可.
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质可得AD=BC，AD∥BC，证明△DEF∽△BFC，由AE=2ED可得AD=BC=3ED，然后根据相似三角形的性质进行求解.
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：由题意得：原两位数的十位数字为9-x，那么有，
；
故答案为：C.
【分析】由题意得：原两位数的十位数字为9-x，然后表示出原两位数以及互换后得到的两位数，根据乘积为1458就可列出方程.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，

∵△ABC是等边三角形，
∴等边三角形的外接圆与内切圆的圆心在同一个点上，即图中的点O，
∴OA为△ABC的外接圆的半径，OE为△ABC的内切圆的半径，
∴AD⊥BC，OE⊥AB，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴ ，
∴正三角形内切圆与外接圆的半径的比值是 ；
故答案为：B.
【分析】首先作出示意图，OA为△ABC的外接圆的半径，OE为△ABC的内切圆的半径，由等边三角形的性质可得∠BAD=∠CAD=30°，由30°所对的直角边为斜边的一半可得OE=OA，据此解答.
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：由题意得：
，
∵a，b是方程 的两根，
∴把a，b代入方程得： ，
∴ ，即 ，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】由定义的新运算可得， 根据方程根的概念可得a2-a+2m=0，b2-b+2m=0，然后表示出a2-a，b2-b，据此求解.
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：连接AO，OB，过点O作OM⊥AB，

∴∠AOM= ∠AOB，AM=BM= AB，
又∵∠C= ∠AOB，
∴∠AOM=∠C，
∵ ， ，AD⊥BC，
∴sin∠AOM=sin∠C= ，
又∵AO=3，
∴AM= AO×sin∠AOM=3× = ，
∴AB=2× = .
故答案为：D.
【分析】连接AO，OB，过点O作OM⊥AB，由等腰三角形的性质可得∠AOM=∠AOB，AM=BM=AB，由圆周角定理可得∠C=∠AOB，推出∠AOM=∠C，然后根据等角的同名三角函数值相等可得sin∠AOM=sin∠C= ，据此即可求出答案.
 
二、填空题
11.【答案】 3
【解析】【解答】解： ；
故答案为：3.
【分析】直接根据完全平方公式进行解答.
12.【答案】 27
【解析】【解答】解：在一幅比例尺为1：100000的地图上，测量得到甲乙两座城市的距离为27cm，两座城市的实际距离为27cm×100000＝2700000cm=27千米，
故答案为：27.
【分析】根据比例尺=图上距离∶实际距离即可算出实际距离，然后将单位化为千米即可.
13.【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：.
故答案为：.
【分析】直接根据扇形的面积=×扇形的弧长×扇形的半径进行计算.
14.【答案】
【解析】【解答】解：由关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得：
，
解得： ；
故答案为： .
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根，故可列出不等式，求解即可.
15.【答案】
【解析】【解答】解：设该半圆的半径为r，由题意得：
，解得： ，
∴该半圆的周长为： ，
∵圆锥的侧面展开图可得半圆的弧长即为底面圆的周长，
∴圆锥底面圆的半径为： ；
故答案为： .
【分析】设该半圆的半径为r，由题意得：，求出r的值，进而得到该半圆的周长，由圆锥的侧面展开图可得半圆的弧长即为底面圆的周长，求出圆锥底面圆的半径.
16.【答案】 4-
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中， ， ，点P从点A出发沿AB以 的速度向点B移动，
∴PA=2t，PC= ，
∵ ，
∴2t= ，解得：t1=4- ，t2=4+ 〔舍去〕，
故答案为：4- .
【分析】由题意可得PA=2t，根据勾股定理表示出PC，由PA=2PC建立方程就可求得t的值.
17.【答案】 1.7
【解析】【解答】解：由题意得：OP=5.1，AB=2， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵CA=BD，
∴ ，
∴OA=2，
∴ ，解得：CA=1.7，
∴小明的身高为1.7m，
故答案为：1.7.
【分析】由题意得：OP=5.1，AB=2，△ACE∽△OPE，△BDF∽△OPF，由相似三角形的性质结合CA=BD可得OA、CA的值，据此解答.
18.【答案】
【解析】【解答】解：∵线段 ，C是平面内任意一点， ，
∴点C在以AB为弦，AB所对的圆心角为90°的 上，如图，

过点O作OD⊥AB，延长DO交 于点C，此时， 面积的最大，
∵OD⊥AB，AB=4，
∴AD=OD=2，
∴AO= ，
∴OC=AO= ,
∴CD=CO+OD= +2，
∴ 面积的最大值= ×4×〔 +2〕= ，
故答案为： .
【分析】易得点C在以AB为弦，AB所对的圆心角为90°的上，过点O作OD⊥AB，延长DO交于点C，此时△ABC的面积最大，由等腰三角形的性质可得AD=OD=2，由勾股定理求出AO，进而求出CD的值，然后根据三角形的面积公式进行求解.
三、解答题
19.【答案】 〔1〕解： ，
分解因式得： ，
即： 或 ，
∴ ， ；

〔2〕解： ，
移项，分解因式得： ，
即： 或 ，
∴ ， ；

〔3〕解： ，
分解因式得： ，
即： 或 ，
∴ ， ；

〔4〕解： ，
化简得： ，
分解因式得： ，
∴ .
【解析】【分析】〔1〕利用因式分解法解一元二次方程，将方程的左边利用平方差公式分解因式，根据两个因式的乘积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两一元一次方程即可求出原方程的解；
〔2〕利用因式分解法解一元二次方程，将方程的右边整体移到方程的左边，将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两一元一次方程即可求出原方程的解；
〔3〕利用因式分解法解一元二次方程，将方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两一元一次方程即可求出原方程的解；
〔4〕利用因式分解法解一元二次方程，首先去括号、移项、合并同类项将方程整理成一般形式，然后将方程的左边利用完全平方公式分解因式，进而直接利用直接开平方法求解即可.
20.【答案】 解：∵ ，
∴∠AHC=90°，
∵ ，即： ，
又∵∠A=∠A，
∴ ，
∴∠ACB=∠AHC=90°.
【解析】【分析】由AC2=AH·AB可得， 证明△ACH∽△ABC，进而根据相似三角形对应角相等即可得出答案.
21.【答案】 解：∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，由圆内接四边形的对角互补可得∠ADC+∠ABC=180°，结合条件可求出∠CBD、∠CDB的度数，据此求解.
22.【答案】 〔1〕证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴不管m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

〔2〕解：∵ ，
∴ ，
∵方程有两个实数根为 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： .
【解析】【分析】〔1〕只要证明出判别式的值恒大于0，即可得出结论；
〔2〕根据根与系数的关系可得x1+x2=2m+1，x1x2=m-2，然后结合条件进行求解就可得到m的值.
23.【答案】 〔1〕解：由题意可得如下列图：

连接OB， ，
∴ ， ，
∴点B所经过的路径长为 ；
故答案为 ；

〔2〕解：由题意可得如下列图：

【解析】【分析】〔1〕根据旋转的性质找出点A、B、C绕原点O顺时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可得到△A1B1C1 ， 连接OB，OB1 ， 根据勾股定理求出OB1的值，然后根据弧长公式进行计算；
〔2〕分别连接BO、AO、CO并延长，使A2O=2AO，B2O=2BO，C2O=2CO，然后连接A2、B2、C2即可.
24.【答案】 〔1〕证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， .
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ ，
∴ .

〔2〕解：∵ ，
∴ .
∵ ， 是 的中点，
∴ .
∴在 中， .
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】〔1〕根据矩形的性质可得， ， .再根据“两直线平行，内错角相等〞可得 ，再由垂直的定义可得 .从而得出 ，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似〞可得出结论；
〔2〕根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.
25.【答案】 〔1〕证明：连接OD，OE，如下列图：

∵点O、E分别是AC、BC的中点，
∴OE∥AB，
∴ ，
∵OA=OD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵OD=OC，OE=OE，
∴ 〔SAS〕，
∴ ，即 ，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

〔2〕解：由〔1〕可得： ，那么有 ，
∵ ， ，
∴ ，
设OD=OC=x，那么 ，
∴在Rt△ODF中， ，即 ，
解得： ，
∴ ，即⊙O半径的长 .
【解析】【分析】〔1〕连接OD，OE，由中位线的性质得OE∥AB，那么∠EOC=∠A，由等腰三角形的性质得∠A=∠ADO，由圆周角定理得∠DOC=2∠A=∠EOD+∠EOC，故∠EOC=∠EOD，证△EOC≌△EOD，得到∠ODE=∠ACB=90°，据此证明；
〔2〕由〔1〕可得△EOC≌△EOD，那么DE=EC=2，由勾股定理求出EF，设OD=OC=x，那么DF=2+， OF=4+x，由勾股定理求出x的值，进而得到○O的半径.
26.【答案】 〔1〕解：设樱桃的日销售量y〔千克〕与每千克售价x〔元〕满足一次函数的解析式为 ，由表格可得：
，解得： ，
∴一次函数解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∵每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，
∴ ；
答：每千克樱桃的售价应定为30元.

〔2〕解：不能，理由如下：
由〔1〕及题意得：
，
整理得： ，
∵ ，
∴该超市日销售利润不能到达2000元.
【解析】【分析】〔1〕设y=kx+b，将〔25，110〕、〔30，100〕代入求出k、b的值，据此可得y与x的函数关系式，然后根据日利润为1000元列出关于x的方程，求出x的值，根据每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元对x的值进行取舍；
〔2〕由〔1〕可得(x-20)(-2x+160)=2000，结合根的判别式进行解答.
27.【答案】 〔1〕
〔2〕解：由题可得：
①当△ABP∽△CBA时，如图，

∵ ， ，
∴ ，
∵△ABP∽△CBA，
∴ ；
②当△ACP∽△BCP，如图，

∵ ， ，
∴ ， ，
∵△ACP∽△BCP，
∴ ，
∴ ；
综上所述： 的度数为30°或90°；

〔3〕解：∵点F关于直线DQ的对称点 恰好落在线段DE上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，EQ=DQ，
∵∠F=∠F，
∴△DQF∽△EDF，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴EQ=DQ=5，
∴ ，
∴ .
【解析】【解答】解：〔1〕∵ ，
∴∠B=∠C，
∵ ，
∴∠BAP=∠B，
∴∠BAP=∠C，
∴△ABP∽△CBA，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
【分析】〔1〕根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，结合∠APC=2∠B可得∠BAP=∠B，证明△ABP∽△CBA，然后根据相似三角形的性质进行解答；
〔2〕①当△ABP∽△CBA时，易得∠BAP=∠B=30°，然后根据相似三角形的性质进行解答；②当△ACP∽△BCP时，同理可得∠C的度数；
〔3〕由对称的性质可得DF′=DF，∠FDQ=∠F′DQ，推出∠EDF=2∠EDQ，证明△DQF∽△EDF，由相似三角形的性质就可求出QF、DE的值.
28.【答案】 〔1〕解：由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；

〔2〕解：存在实数t，使得线段OB的长度为 ，理由如下：
过点B作BD⊥OP，垂足为D，如下列图：

∴BD∥OQ，
∵ ，OT是 的平分线，
∴ ，
∴BD=OD， ，
设线段BD的长为xcm，那么BD=OD=xcm， ，
∵BD∥OQ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ；

〔3〕解：∵ ，
∴PQ是圆的直径，
∴ ，
∵ ，
∴△PCQ是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴在Rt△POQ中， ，
∴四边形OPCQ的面积 ，
∴四边形OPCQ的面积是一定值.
【解析】【分析】〔1〕由题意可得AP=OQ=tcm，OP=(8-t)cm，据此求解；
〔2〕过点B作BD⊥OP，垂足为D，由平行线的性质以及角平分线的概念可得∠TON=∠TOM=45°，设线段BD的长为xcm，那么BD=OD=xcm，表示出OB、PD，证明△PDB∽△POQ，根据相似三角形的性质表示出x，然后根据OB=就可求得t的值；
〔3〕易得PQ是圆的直径，推出△PCQ是等腰直角三角形，表示出S△PCQ ， 根据勾股定理表示出PQ2 ， 然后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.