江苏省南通市崇川区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南通市崇川区2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共33页。试卷主要包含了我国传统文化中的“福禄寿喜”图，若点，如图等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省南通市崇川区九年级第一学期期中数学试卷
一．选择题
1．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝x2 C．y＝ D．y＝
3．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（　　）
A．水满则溢 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D＝85°，则∠B的度数为（　　）

A．95° B．105° C．115° D．125°
5．四张扑克牌分别是红桃A，黑桃A，方块A，梅花A，将它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的扑克牌的图案为红桃A的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
6．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
7．若点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2022的坐标为（　　）

A．（1，﹣1） B．（0，） C．（，0） D．（﹣1，1）
9．如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝6，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B．3π C． D．
10．如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点C的纵坐标为4，则k1+k2＝（　　）

A．32 B．30 C．28 D．26
二．填空题
11．在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标为 　 　．
12．反比例函数的图象经过点（m，﹣3），则m＝　 　．
13．如图是康康的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为10cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 　 　cm2．

14．如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且，∠A＝36°，则且∠CEB的度数为 　 　．

15．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0），从1，﹣2，3，﹣4这四个数中任取一个数作为k的值，得到的反比例函数中，其图象位于第二、四象限内的概率为 　 　．
16．一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为　 　．
17．如图，A，B，C，D四给点的坐标分别为A（﹣2，2），B（2，0），C（4，2），D（2，﹣2）．若线段AB绕某点旋转一个角度后可以得到线段CD，则这个旋转中心的坐标是 　 　．

18．如图，矩形ABCD对角线交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，点P为△OCD内的一个动点，且∠CPD＝120°，PE⊥OC于点E，PF⊥OD于点F，则PE+2PF的最小值为 　 　．

三．解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点都在格点上，坐标分别为O（0，0），A（﹣3，4），B（﹣2，0）请解答下列问题：
（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1，并写出点A1的坐标 　 　；
（2）求点A旋转过程中所经过的路径长．

20．为庆祝党的二十大的胜利召开，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加某市组织的中学生“党史知识竞赛”．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是 　 　；
（2）用列表法或画树状图法，求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
21．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．

22．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）求这两个函数的表达式．
（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围．
（3）若点P在y轴上，使得S△ABP＝10，请直接写出点P的坐标．

23．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为100件．
（1）写出该商品上市以后日销售量y件与上市的天数x天之间的表达式；
（2）广告合同约定，当日销售量不低于80件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？

24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F，连接BD．
（1）求证△ADE≌△BDF；
（2）连接GB，EF，求证：∠BGD＝∠DEF；
（3）若BF＝，DE＝，求OE的长．

25．将正方形ABCD的边CD绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜90）至CP，连接PB，PD．
（1）如图1，当α＝40°时，直接写出∠BPD的大小；
（2）如图2，过点B作BE⊥PD交PD延长线于点E，连接AE．
①求∠BPD的大小；
②探究AE，PD之间的数量关系，并证明你的结论；


26．在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y），A（a，b），Q（x，b），由勾股定理可得PA2＝AQ2+PQ2＝（x﹣a）2+（y﹣b）2，若PA2＝r2，则称点P是点A的“r倍圆点”，
例如，P（3，0），A（3，1）满足PA2＝（3﹣3）2+（0﹣1）2＝12，则称点P是点A的“1倍圆点”．
（1）已知点O（0，0），则P1（﹣5，0），P2（3，2），P3（3，4），P4（，﹣）四点中，　 　是点O的“5倍圆点”，由此结论：点O的所有“5倍圆点”组成个的图形是 　 　．
（2）若点P（x，y）是点O（0，0）的“6倍圆点”，且点P不在反比例函数的图象上，求k的取值范围．
（3）若点P为△BCD上的一动点，其中B（a﹣，﹣），C（a+，﹣），D（a，），点Q是
点O（0，0）的“倍圆点”，且PQ的最小值为，直接写出a的值．


参考答案
一．选择题
1．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解：A．不是中心对称图形；
B．是中心对称图形；
C．不是中心对称图形；
D．不是中心对称图形；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
2．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝ B．y＝x2 C．y＝ D．y＝
【分析】根据反比例函数的定义判断即可．
解：A．y＝，是正比例函数，故A不符合题意；
B．y＝x2是二次函数，故B不符合题意；
C．y＝﹣，y是x的反比例函数，故C符合题意；
D．y＝，y不是x的反比例函数，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
3．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（　　）
A．水满则溢 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、水满则溢是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D＝85°，则∠B的度数为（　　）

A．95° B．105° C．115° D．125°
【分析】直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠B＝180°，
∵∠D＝85°，
∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣85°＝95°．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
5．四张扑克牌分别是红桃A，黑桃A，方块A，梅花A，将它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的扑克牌的图案为红桃A的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】利用概率公式计算即可得．
解：∵从4张纸牌中任意抽取一张牌有4种等可能结果，其中抽到红桃A的只有1种结果，
∴抽到红桃A的概率为，
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
6．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
7．若点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】先确定函数图象经过的象限，然后利用反比例函数的增减性解决问题．
解：∵点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，
∴（﹣3，y1），（﹣2，y2）分布在第二象限，（1，y3）在第四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．
8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2022的坐标为（　　）

A．（1，﹣1） B．（0，） C．（，0） D．（﹣1，1）
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．
解：∵点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠OAB＝90°，AB＝OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，如图：
由勾股定理得：OB＝＝，
由旋转的性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），B5（0，﹣），B6（1，﹣1），…，
发现是8次一循环，则2022÷8＝252…6，
∴点B2022的坐标为（1，﹣1），
故选：A．

【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
9．如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝6，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B．3π C． D．
【分析】根据翻折的性质，可得到AD＝OD＝OA，进而求出∠OCD，∠AOC，再根据S阴影部分＝S扇形AOC﹣S△AOC进行计算即可．
解：由翻折的性质可知，AD＝OD＝OA，AC＝OC，
在Rt△COD中，OD＝OC＝3，
∴∠OCD＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∴CD＝OD＝3，
∴S阴影部分＝S扇形AOC﹣S△AOC
＝﹣×6×3
＝6π﹣9，
故选：C．

【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，翻折的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
10．如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点C的纵坐标为4，则k1+k2＝（　　）

A．32 B．30 C．28 D．26
【分析】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，C（a，4），根据BD∥y轴，可得B（a+m，4+m），A（a+2m，4），D（a+m，4﹣m），即知k1＝4（a+2m）＝（4+m）（a+m），从而m＝4﹣a，B（4，8﹣a），由B（4，8﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（4，a）在y＝（k2＞0）的图象上，得k1＝4（8﹣a）＝32﹣4a，k2＝4a，即得k1+k2＝32．
解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝BE＝CE＝DE，
设AE＝BE＝CE＝DE＝m，C（a，4），
∵BD∥y轴，
∴B（a+m，4+m），A（a+2m，4），D（a+m，4﹣m），
∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，
∴k1＝4（a+2m）＝（4+m）（a+m），
∵m≠0，
∴m＝4﹣a，
∴B（4，8﹣a），
∵B（4，8﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（4，a）在y＝（k2＞0）的图象上，
∴k1＝4（8﹣a）＝32﹣4a，k2＝4a，
∴k1+k2＝32﹣4a+4a＝32；
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数及应用，涉及正方形性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标．
二．填空题
11．在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标为 　（﹣2，﹣3）　．
【分析】根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得答案．
解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
故点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
12．反比例函数的图象经过点（m，﹣3），则m＝　﹣2　．
【分析】把点代入即可得出m的值．
解：∵反比例函数的图象经过点（m，﹣3），
∴﹣3m＝6，
∴m＝﹣2；
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握用待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键．
13．如图是康康的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为10cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 　65　cm2．

【分析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，可得点落入黑色部分的概率为0.65，根据边长为10cm的正方形的面积为100cm2，进而可以估计黑色部分的总面积．
解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.65，
∵边长为10cm的正方形的面积为100cm2，
由此可估计阴影部分的总面积约为：100×0.65＝65（cm2），
故答案为：65．
【点评】本题考查了用频率估计概率，解题关键是明确频率估计概率的方法及应用．
14．如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且，∠A＝36°，则且∠CEB的度数为 　72°　．

【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠C＝36°，然后利用三角形的外角性质进行计算即可解答．
解：∵，∠A＝36°，
∴∠A＝∠C＝36°，
∵∠CEB是△ACE的一个外角，
∴∠CEB＝∠A+∠C＝72°，
故答案为：72°．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
15．已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0），从1，﹣2，3，﹣4这四个数中任取一个数作为k的值，得到的反比例函数中，其图象位于第二、四象限内的概率为 　　．
【分析】要使图象在第二、四象限，则k＜0，找出满足条件的个数，即可得出概率．
解：依题意共有4种，
要使图象在二、四象限，则k＜0，满足条件的有2种，
因此概率为：＝．
故答案为：．
【点评】本题综合考查函数图象上点的坐标特征与概率的确定．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为　160°　．
【分析】根据圆锥的底面直径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用告诉的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可．
解：∵圆锥的底面直径是80cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd＝80π，
∵母线长90cm，
∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr＝×80π×90＝3600π，
∴＝3600π，
解得：n＝160．
故答案为：160°．
【点评】本题考查了圆锥的有关计算，解决此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的关系．
17．如图，A，B，C，D四给点的坐标分别为A（﹣2，2），B（2，0），C（4，2），D（2，﹣2）．若线段AB绕某点旋转一个角度后可以得到线段CD，则这个旋转中心的坐标是 　（2，2）或（1，﹣1）　．

【分析】根据旋转中心的定义，通过作图即可确定．
解：通过作图可知，旋转中心为M（2，2）或M′（1，﹣1），如图所示：

故答案为：（2，2）或（1，﹣1）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，理解旋转中心的定义是解题的关键．
18．如图，矩形ABCD对角线交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，点P为△OCD内的一个动点，且∠CPD＝120°，PE⊥OC于点E，PF⊥OD于点F，则PE+2PF的最小值为 　4﹣4　．

【分析】在CD的左边作等边三角形DCN，作△CDN的外接圆I，延长PE，交直线BD与G，则点P在上运动，当PE与⊙O相切时（图P′E′），PE+PG最小，即：PE+2PE最小，连接IP′，IC，求出圆I的直径，进而求得CE′，进一步可求得结果．
解：如图，

在CD的左边作等边三角形DCN，作△CDN的外接圆I，延长PE，交直线BD与G，
则点P在上运动，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，BD＝AC，OD＝，OC＝AC，
∴OD＝OC，
∵∠COD＝∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝CD＝4，
∵PG＝，
∴PG＝PF，
∴PE+2PF＝PE+PG，
∴当PE与⊙O相切时（图P′E′），PE+PG最小，即：PE+2PE最小，
连接IP′，IC，
可得四边形P′E′CI是正方形，
∵⊙I的直径为：＝，
∴CE′＝IC＝，
∴OE′＝OC﹣CE′＝4﹣，
∴E′G′＝OE′＝4﹣，
∴PE+2PF最小值为：4﹣4，
故答案为：4﹣4．
【点评】本题考查了矩形的性质，确定圆的条件，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造2PF．
三．解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点都在格点上，坐标分别为O（0，0），A（﹣3，4），B（﹣2，0）请解答下列问题：
（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1，并写出点A1的坐标 　（4，3）　；
（2）求点A旋转过程中所经过的路径长．

【分析】（1）根据旋转的性质即可画出△OA1B1，从而得出点A1的坐标；
（2）利用勾股定理求出OA的长，再代入弧长公式计算即可．
解：（1）如图，△OA1B1即为所求，点A1（4，3），

故答案为：（4，3）；
（2）由勾股定理得，OA＝＝5，
∴点A旋转过程中所经过的路径长为＝．
【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换，勾股定理，弧长公式等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
20．为庆祝党的二十大的胜利召开，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加某市组织的中学生“党史知识竞赛”．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是 　　；
（2）用列表法或画树状图法，求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
【分析】（1）已经确定女生甲参加，其余的候选人还有3人，即女生乙，男生丙，男生丁，每人被选中的可能性是均等的，因此可求出女生乙被选中的概率；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果，再根据规律的定义进行计算即可．
解：（1）从剩余的女生乙，男生丙，男生丁3名候选人中，任意选择1人，则女生乙被选中的概率为，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有12种可能出现的结果，其中恰好为1名女生和1名男生的有8种，
所以恰好为1名女生和1名男生的概率为＝．
【点评】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．
21．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．

【分析】连接AO，根据垂径定理求得AC＝BC＝9，设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x，OC＝27﹣x，根据勾股定理即可求得x．
解：连接AO，
∵CD过圆心，C为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵AB＝18，C为AB的中点，
∴AC＝BC＝9，
设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x分米，
∵CD＝27，
∴OC＝27﹣x，
在Rt△OAC中，AC2+OC2＝OA2，
∴92+（27﹣x）2＝x2，
∴x＝15（分米），
答：拱门所在圆的半径是15分米．

【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线，根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．
22．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）求这两个函数的表达式．
（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围．
（3）若点P在y轴上，使得S△ABP＝10，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点B（4，n）代入求得的反比例函数的解析式求得n，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）直接由A、B的坐标根据图象可求得答案；
（3）求得直线与y轴的交点，然后根据S△ABP＝S△APC+S△BPC列出关于n的方程，解方程即可求得P的坐标．
解：（1）把点A（﹣1，4）代入反比例函数y＝得，4＝，
∴k2＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
将点B（4，n）代入y＝﹣得，n＝﹣＝﹣1，
∴B（4，﹣1），
将A、B的坐标代入y＝k1x+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3；
（2）由图象可知：k1x+b＞的x的取值范围是0＜x＜4或x＜﹣1．
（3）在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3，
∴直线AB与y轴的交点C为（0，3），
设P（0，n），
∴PC＝|n﹣3|，
∵S△ABP＝10，
∴S△ABP＝S△APC+S△BPC＝|n﹣3|×（4+1）＝10，
∴|n﹣3|＝4，
∴n＝7或n＝﹣1，
∴P（0，7）或（0，﹣1）．

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为100件．
（1）写出该商品上市以后日销售量y件与上市的天数x天之间的表达式；
（2）广告合同约定，当日销售量不低于80件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？

【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可；
（2）分别求得销量不低于80件的天数，相加后大于等于10天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．
解：（1）当0＜x≤20时，设y＝k1x，把（20，100）代入得k1＝5，
∴y＝5x；
当x≥20时，设y＝，把（20，100）代入得k2＝2000，
∴y＝；
（2）当0＜x≤20时，又5x≥80得，x≥16，即16≤x≤20，有5天；
当x＞20时，由≥80，
解得：x≤25，即20＜x≤25，有5天，
共有5+5＝10（天），
因此设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，难度不大．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F，连接BD．
（1）求证△ADE≌△BDF；
（2）连接GB，EF，求证：∠BGD＝∠DEF；
（3）若BF＝，DE＝，求OE的长．

【分析】（1）证明∠EDA＝∠FDB，进而求解；
（2）证明△EDF是等腰直角三角形，得到∠G＝∠DEF，则GB∥EF，即可求解；
（3）由△DEF等腰直角三角形，得到EF＝DE＝×＝，而在Rt△BEF中，BE＝＝＝2，进而求解．
【解答】（1）证明：连接BD．如图，

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝45°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，
∴BD＝AD＝CD，∠CBD＝∠C＝45°，
∵DF⊥DG，∠FDG＝90°，
∴∠FDB+∠BDG＝90°，
又∵∠EDA+∠BDG＝90°，
∴∠EDA＝∠FDB，
在△AED和△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（ASA）；

（2）证明：如图，由（1）知△AED≌△BFD，
∴DE＝DF，AE＝BF
∵∠EDF＝90°．
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴∠DEF＝45°，
∵∠G＝∠A＝45°．
∴∠G＝∠DEF，
∴GB∥EF，
∴∠BGD＝∠DEF；

（3）解：∵AE＝BF，AE＝，
∴BF＝．
∵△DEF等腰直角三角形，∠EDF＝90°，
∴EF＝DE＝×＝，
在Rt△BEF中，BE＝＝＝2，
∴AB＝AE+BE＝+2＝3，
∴OE＝OA﹣AE＝AB﹣AE＝﹣＝．
【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理等，熟练掌握各自的性质是解本题的关键
25．将正方形ABCD的边CD绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜90）至CP，连接PB，PD．
（1）如图1，当α＝40°时，直接写出∠BPD的大小；
（2）如图2，过点B作BE⊥PD交PD延长线于点E，连接AE．
①求∠BPD的大小；
②探究AE，PD之间的数量关系，并证明你的结论；


【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CPD＝70°，∠CPB＝25°，可得结论；
（2）①作∠DCP＝α，用α表示出∠CPD，∠CPB，可得结论；
②结论：PD＝AE．过A作AF⊥AE交BE于点F．证明△ABF≌△ADE（ASA），推出BF＝DE，AF＝AE，再证明△EBP，△AEF都是等腰直角三角形，可得结论．
解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，CB＝CD，
由旋转的性质可知，CD＝CP，
∵∠DCP＝40°，
∴∠CPD＝∠CDP＝（180°﹣40°）＝70°，
∵CB＝CD，CD＝CP，
∴CB＝CP，
∵∠BCP＝∠BCD+∠DCP＝130°，
∴∠CPB＝∠CBP＝（180°﹣130°）＝25°，
∴∠BPD＝∠CPD﹣∠CPB＝70°﹣25°＝45°；

（2）解：①∵CD绕顶点C顺时针旋转α°至CP，
∴CD＝CP，∠DCP＝α，
∴∠DPC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝CP，∠BCD＝90°，
∴∠BCP＝90°+α，
∴∠BPC＝[180°﹣（90°+α）]＝45°﹣α，
∴∠BPD＝∠DPC﹣∠BPC＝（90°﹣α）﹣（45°﹣α）＝45°；

②结论：PD＝AE．
理由：过A作AF⊥AE交BE于点F．

∵ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠BAD﹣∠FAD＝∠EAF﹣∠FAD，即∠BAF＝∠DAE，
又∵BE⊥PE，
∴∠BED＝90°＝∠BAD，
∴∠ABF＝∠ADE，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴BF＝DE，AF＝AE，
由①知∠BPD＝45°，∠BED＝90°，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴BE＝PE，
∴BE﹣BF＝PE﹣DE 即EF＝PD，
又∵AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴EF＝PD＝AE．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26．在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y），A（a，b），Q（x，b），由勾股定理可得PA2＝AQ2+PQ2＝（x﹣a）2+（y﹣b）2，若PA2＝r2，则称点P是点A的“r倍圆点”，
例如，P（3，0），A（3，1）满足PA2＝（3﹣3）2+（0﹣1）2＝12，则称点P是点A的“1倍圆点”．
（1）已知点O（0，0），则P1（﹣5，0），P2（3，2），P3（3，4），P4（，﹣）四点中，　点P1，P3，P4　是点O的“5倍圆点”，由此结论：点O的所有“5倍圆点”组成个的图形是 　圆　．
（2）若点P（x，y）是点O（0，0）的“6倍圆点”，且点P不在反比例函数的图象上，求k的取值范围．
（3）若点P为△BCD上的一动点，其中B（a﹣，﹣），C（a+，﹣），D（a，），点Q是
点O（0，0）的“倍圆点”，且PQ的最小值为，直接写出a的值．
【分析】（1）根据题意，可先算出给出的四点到点O的距离，再进一步判断即可；
（2）根据反比例函数的对称性可知，以点O为圆心，6为半径的圆与反比例函数的图象没有交点，临界点为两个图形刚好相切，结合图形可知，点E的坐标为（3），点F的坐标为（﹣3），由此可得出k的值，进而可得出k的取值范围；
（3）根据题意可知，△BCD是等边三角形，根据题意画出图形，再进行解答即可．
解：（1）根据题意可知，PO2＝x2+y2，
∴P1O2＝（﹣5）2+02＝52，P2O2＝32+22≠52，P3O2＝32+42＝52，P4O2＝（）2+（﹣）2＝52，
∴点P1，P3，P4是点O的“5倍圆点”，由此结论：
∵PO2＝x2+y2＝52，
∴点O的所有“5倍圆点”组成个的图形是圆．
故答案为：P1，P3，P4，圆；
（2）根据题意可知，以点O为圆心，6为半径的圆与反比例函数的图象没有交点，临界点为两个图形刚好相切，
如图，当反比例函数在第一、三象限时，
设反比例函数y＝与圆的交点为点E，且由圆和反比例函数的对称性可知，点E在直线y＝x的图象上，

过点E作EM⊥x轴于点M，
则OM＝EM，且OM2+EM2＝OE2＝36，
∴OE＝EM＝3，
∴点E的坐标为（3），
∴k+2＝3×＝18，
∴k＝16．
当反比例函数过第二、四象限时，设当反比例函数在第一、三象限时，
同理可得，点F的坐标为（﹣3），
∴k+2＝﹣3×＝﹣18，
∴k＝﹣20．
结合图象可知，k的取值范围为：k＞16或k＜﹣20．
（3）∵B（a﹣，﹣），C（a+，﹣），D（a，），
∴BC＝12，AD＝12，BC＝12，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠DBC＝∠DCB＝∠BDC＝60°，
如图，设BD，CD与x轴分别相交于点H，I，则△DHI是等边三角形，
过点D作DD′⊥x轴于点D′，则HD′＝D′I＝4．
根据题意需要分以下三种情况：
①当圆O在△BCD内部，如图所示，

过点O作OO′⊥CD于点O′，
若OO′＝2，则OI＝4，即点与点D′重合，
此时a＝0；
②当圆O在△BCD左侧，如图所示，

过点O作OG⊥BD于点G，
∵OG＝2，
∴OH＝4，
∴OD′＝8，即a＝8；
③当圆O在△BCD右侧，如图所示，

过点O作OI⊥CD于点J，
∵OJ＝2，
∴OI＝4，
∴OD′＝8，即a＝﹣8；
综上，满足题意的a的值为0或8或﹣8．
【点评】本题属于新定义问题，涉及考查反比例函数的性质，圆的性质，等边三角形的性质与判定，含30°角的直角三角形的三边关系，数形结合思想等相关知识，关键是理解给出新定义．