2021年辽宁省鞍山市九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年辽宁省鞍山市九年级上学期数学期中试卷含答案，共22页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.以下汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是 ( )

A. B. C. D.
2.以下方程中，①2x2﹣1＝0；②ax2+bx+c＝0；③〔x+2〕〔x﹣3〕＝x2﹣3；④2x 0．是一元二次方程的有〔 〕
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'的位置，使得CC′∥AB，那么∠BAB′＝〔 〕
A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°
4.如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，错误的选项是〔 〕
A. ∠ABD=∠C B. ∠ADB=∠ABC C. D.
5.如图中的两个三角形是位似图形，点M的坐标为 ，那么它们位似中心的坐标是〔 〕
A. B. C. D.
6.飞机着陆后滑行的距离y〔单位：m〕关于滑行时间t〔单位：s〕的函数解析式是y＝60t﹣ t2 ， 飞机着陆至停下来共滑行〔 〕
A. 25米 B. 50米 C. 625米 D. 750米
7.假设关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0〔p≠0〕的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，那么 + 的值是〔 〕
A. 3 B. ﹣3 C. 5 D. ﹣5
8.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下列图．以下结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④〔a+c〕2＜b2其中正确的个数有〔 〕
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
9.一元二次方程y2﹣y 0配方后可化为 ．
10.如图，△ABC中，∠BAC＝40°，把△ABC绕点A逆时针旋转60°，得△ADE，那么∠EAC的度数为 ．
11.如图，在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路〔图中阴影局部〕，余下局部种植草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的 ，设道路的宽为x米，那么可列方程为 ．
12.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为〔3，2〕、〔﹣1，0〕，假设将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，那么点A′的坐标为 ．
13.当 时，二次函数 有最大值4，那么实数m的值为 ．
14.如图，以矩形ABOD的两边OD、OB所在直线为坐标轴建立直角坐标系．假设E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交OD于F点，假设OF＝1，FD＝2，那么G点的坐标为 ．
15.抛物线y＝x2﹣〔4m+1〕x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点〔0， 〕的下方，那么m的取值范围是 ．
16.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如下列图，点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，延长CB交x轴于点 ，作正方形 ，延长 交x轴于点 ，作正方形 按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为 ．
三、解答题
17.
〔1〕.x2﹣3x+2＝0；
〔2〕.3x2+5〔2x+1〕＝0〔公式法〕．
18.每个小方格都是边长为1个单位长度，正方形ABCD在坐标系中的位置如下列图．
〔1〕.画出正方形ABCD关于原点中心对称的图形；
〔2〕.画出正方形ABCD绕点D点顺时针方向旋转90°后的图形；
〔3〕.求出正方形ABCD的点B绕点D点顺时针方向旋转90°后经过的路线长．
19.关于x的方程x2﹣〔4﹣2m〕x+3﹣6m＝0．
〔1〕.求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
〔2〕.是否存在非负整数m，使方程的两个根均为正数？假设存在，请求出m的值，并求出此时方程的两个根；假设不存在，请说明理由．
20.如图，学校为了照明，在墙BC上方安装一个小型灯杆AB〔点A为灯泡的位置，A、B、C三点在一直线上〕，当小明站在E处时，他在地面上的影长EF＝1m，小亮站在H处时，他在地面上的影长HM＝1.6m．小亮和小明之间的距离HE＝4m，小明的身高DE为1.5m．小亮的身高CH为1.6m，灯杆AB的高为1.8m，求墙BC的高．
21.在疫情影响下，口罩的需求量猛增，某口罩厂从2021年1月口罩生产数量2万个增长到2021年3月口罩生产数量2.88万个．
〔1〕.求该口罩厂这两个月生产数量的月平均增长率？
〔2〕.按照这样的月平均增长速度，4月份的口罩生产数量能到达多少万个？
22.如图〔1〕，平行四边形ABCD中，∠B＝45°，连接AC，AC＝AB＝5cm；△ABC不动，将△ACD绕点A顺时针旋转α度〔0°＜α＜135°〕，旋转后点C的对应点为点E，点D的对应点为点F，AF、AE〔或它们的延长线〕交直线BC于点H、G，如图〔2〕．
〔1〕.如图〔2〕，找出图中与△AGC相似的三角形〔不添加字母〕，并证明；
〔2〕.在旋转过程中，当△AGH是等腰三角形时，求CG的长．
23.某公司的商品进价每件60元，售价每件130元，为了支持“抗新冠肺炎〞，每销售一件捐款4元．且未来30天，该商品将开展每天降价1元〞的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，市场调查发现，设第x天〔1≤x≤30且x为整数〕的销量为y件，y与x满足一次函数数关系，其对应数据如表：
〔1〕.直接写出y与x的函数关系式；
〔2〕.在这30天内，哪一天去掉捐款后的利润是6235元？
〔3〕.设第x天去掉捐款后的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？
24.：∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD．〔OC OA〕
〔1〕.如图1：连AC、BD，判断：AC与BD之间的关系；并说明理由．
〔2〕.假设将△COD绕点O逆时针旋转，
①如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、OC之间数量关系；并说明理由．
②当点B、D、C在同一条直线上时，假设OB＝6，OC＝5，求AC的长．
25.如图，抛物线y＝ax2+bx+2〔a≠0〕与x轴交于A〔﹣1，0〕、B〔4，0〕两点，与y轴交于点C．
〔1〕.求抛物线的解析式；
〔2〕.当点P是直线BC下方的抛物线上一点，且S△PBC＝2S△ABC时，求点P的坐标；
〔3〕.点P〔﹣2，﹣3〕，点E是抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出点F的坐标；假设不存在，请说明理由．
答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 A
【解析】【解答】解：A.是中心对称图形，故符合题意；
B. 不是中心对称图形，故不符合题意；
C.不是中心对称图形，故不符合题意；
D.不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，对各选项逐一判断可得答案。
2.【答案】 A
【解析】【解答】①2x2﹣1＝0符合一元二次方程的定义，故符合题意；
②ax2+bx+c＝0中，当a＝0时，它不是一元二次方程，故不符合题意；
③由〔x+2〕〔x﹣3〕＝x2﹣3得到：﹣x﹣3＝0，属于一元一次方程，故不符合题意；
④2x2 0不是整式方程，故不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义对每个方程一一判断即可。
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠C′CA＝∠CAB＝65°．
∵由旋转的性质可知；AC＝AC′，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝65°．∠BAB′=∠CAC′
∴∠CAC′＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
∴∠BAB′＝50°．
故答案为：D．
【分析】根据平行的性质求出∠C′CA＝∠CAB＝65°，再求出∠CAC′＝50°，最后求解即可。
4.【答案】 C
【解析】【解答】∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC〔有两角对应相等的三角形相似〕，故A与B不符合题意要求；
当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC〔两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似〕，故D不符合题意要求；
AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C符合题意要求，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。
5.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，点O为两个三角形的位似中心，
∵点M的坐标为〔3，2〕，
∴位似中心O的坐标为〔0，2〕，
故答案为：A.
【分析】利用位似图形的性质，可得到位似中心O的坐标.
6.【答案】 D
【解析】【解答】∵y=60t﹣ t2=﹣ 〔t﹣25〕2+750，∴当t=25时，y取得最大值750，即飞机着陆后滑行750米才能停下来．
故答案为：D．
【分析】先求出y=60t﹣ t2=﹣ 〔t﹣25〕2+750，再计算求解即可。
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0〔p≠0〕的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=〔a+b〕2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=〔﹣3〕2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+ = = = ﹣2= ﹣2=﹣5．
应选D．
【分析】此题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用，解题的关键是求出p=﹣3．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b=3、ab=p，利用完全平方公式将a2﹣ab+b2=18变形成〔a+b〕2﹣3ab=18，代入数据即可得出关于p的一元一次方程，解方程即可得出p的值，经验证p=﹣3符合题意，再将 + 变形成 ﹣2，代入数据即可得出结论．
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴x= ＜0，∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，〔故①符合题意〕；
∵﹣1＜ ＜0，∴2a﹣b＜0，〔故②符合题意〕；
∵当x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，〔故③符合题意〕；
∵当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，
∵当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，
∴〔a﹣b+c〕〔a+b+c〕＜0，即〔a+c﹣b〕〔a+c+b〕＜0，∴〔a+c〕2﹣b2＜0，〔故④符合题意〕．
综上所述，正确的个数有4个．
故答案为：D．
【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴、与y轴的交点判断a，b，c的符号，即可判断abc＞0；
②根据﹣1＜ ＜0，即可求出2a﹣b＜0；
③根据图象可知，当x=﹣2时，y＜0，即可求出4a﹣2b+c＜0；
④根据图象可知，当x=﹣1时，y＞0，得出a﹣b+c＞0，当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，从而求出〔a﹣b+c〕〔a+b+c〕＜0，即可求得〔a+c〕2﹣b2＜0，即可求解.
二、填空题
9.【答案】 〔y 〕2＝1
【解析】【解答】解：∵y2﹣y 0，
∴y2﹣y 1，
∴〔y 〕2＝1，
故答案为：〔y 〕2＝1．
【分析】先求出y2﹣y 1，再利用配方法求解即可。
10.【答案】 60°
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°，得△ADE，
∴∠EAC＝60°．
故答案为：60°．
【分析】根据旋转的性质求出∠EAC＝60°即可。
11.【答案】 〔18﹣x〕〔24﹣x〕＝ ×18×24
【解析】【解答】解：设道路的宽为x，根据题意得：〔18﹣x〕〔24﹣x〕＝ ×18×24．
故答案是：〔18﹣x〕〔24﹣x〕＝ ×18×24．
【分析】根据 草坪的面积为整个矩形面积的 ， 列方程求解即可。
12.【答案】 〔1，﹣4〕
【解析】【解答】解：作AC⊥x轴于C，
∵点A、B的坐标分别为〔3，2〕、〔﹣1，0〕，
∴AC=2，BC=3+1=4，
把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，
∴BC′=BC=4，A′C′=AC=2，
∴点A′的坐标为〔1，﹣4〕．
故答案为〔1，﹣4〕．
【分析】作AC⊥x轴于C，利用点A、B的坐标得到AC=2，BC=4，根据旋转的定义，可把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，利用旋转的性质得BC′=BC=4，A′C′=AC=2，于是可得到点A′的坐标．
13.【答案】 2或
【解析】【解答】解：二次函数 的对称轴为直线x=m，且开口向下，
①m＜-2时，x=-2取得最大值，-〔-2-m〕2+m2+1=4，
解得 ，
，
∴不符合题意，
②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，
解得 ，
所以 ，
③m＞1时，x=1取得最大值，-〔1-m〕2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m=2或 时，二次函数有最大值．
故答案为：2或 ．
【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可。
14.【答案】 〔 ， 〕
【解析】【解答】连接EF，作GH⊥x轴于H，如图，
∵四边形ABOD为矩形，
∴AB＝OD＝OF+FD＝1+2＝3，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴BA＝BG＝3，EA＝EG，∠BGE＝∠A＝90°，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∴GE＝DE，
在Rt△DEF和Rt△GEF中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△GEF〔HL〕，
∴FD＝FG＝2，
∴BF＝BG+GF＝3+2＝5，
在Rt△OBF中，OF＝1，BF＝5，
∴OB 2 ，
∵GH∥OB，
∴△FGH∽△FBO，
∴ ，即 ，
∴GH ，FH ，
∴OH＝OF﹣HF＝1 ，
∴G点坐标为〔 ， 〕．
故答案为：〔 ， 〕．
【分析】先求出GE＝DE，再求出△FGH∽△FBO，最后利用相似三角形的性质求解即可。
15.【答案】 m
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣〔4m+1〕x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，
∴当 ， 即4﹣2〔4m+1〕+2m﹣1＜0，
解得：m＞ ，
又∵抛物线与y轴的交点在点〔0， 〕的下方，
∴当 ， ，即
解得：m＜ ，
综上可得： ＜m＜ ，
故答案为： ＜m＜ .
【分析】先求出m＞ ，再求出m＜ ，最后求解即可。
16.【答案】
【解析】【解答】解： 正方形ABCD的点A的坐标为 ，点D的坐标为 ，
， ， ， ，
延长CB交x轴于点 ，作正方形 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∽ ，
，
，
，
∴第1个正方形的面积为： ；
第2个正方形的面积为： ；
同理可得，
第3个正方形的面积为：
……
∴第n个正方形的面积为：
第2021个正方形的面积为： ．
故答案为： ．
【分析】先求出∽ ，再求出第n个正方形的面积为： ， 最后求解即可。
三、解答题
17.【答案】 〔1〕解：∵x2﹣3x+2＝0，
∴〔x﹣1〕〔x﹣2〕＝0，
那么x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝1，x2＝2；
〔2〕解：方程整理为一般式，得：3x2+10x+5＝0，
∵a＝3，b＝10，c＝5，
∴△＝102﹣4×3×5＝40＞0，
那么x ，
即x1 ，x2 ．
【解析】【分析】〔1〕利用因式分解法解方程即可；
〔2〕利用公式法解方程即可。
18.【答案】 〔1〕解：如图，正方形A′B′C′D′为所作；

〔2〕解：如图，正方形CFED为所作；

〔3〕解：BD ，
所以正方形ABCD的点B绕点D点顺时针方向旋转90°后经过的路线长 π．
【解析】【分析】〔1〕根据中心对称图形的定义作图即可；
〔2〕根据旋转的性质作图即可；
〔3〕利用勾股定理求出 BD ， 再利用弧长公式计算求解即可。
19.【答案】 〔1〕证明：∵a＝1，b＝﹣〔4﹣2m〕，c＝3﹣6m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣〔4﹣2m〕]2﹣4×1×〔3﹣6m〕＝4m2+8m+4＝4〔m+1〕2 ．
∵〔m+1〕2≥0，
∴△≥0，
∴无论m取何值时，方程总有实数根．
〔2〕解：设方程x2﹣〔4﹣2m〕x+3﹣6m＝0的两根分别为x1 ， x2〔x1≤x2〕，
那么x1+x2＝4﹣2m，x1x2＝3﹣6m．
∵x1 ， x2均为正数，
∴ ，
∴m ．
又∵m为非负整数，
∴m＝0，此时原方程为x2﹣4m+3＝0，
即〔x﹣1〕〔x﹣3〕＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
∴存在非负整数m，使方程的两个根均为正数，此时m的值为0，方程的两个根分别为1和3．
【解析】【分析】〔1〕利用一元二次方程根的判别式求解即可；
〔2〕先求出 x1+x2＝4﹣2m，x1x2＝3﹣6m ，再求出 x1＝1，x2＝3 ，最后求解即可。
20.【答案】 解：∵DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴ ，
∴ ，
∴
∵GH∥AC．
∴△GHM∽△ACM，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ m，
∴AC＝13.8m，
∴BC＝AC﹣AB＝12m，
∴墙的高BC为12m．
【解析】【分析】先求出 △DEF∽△ACF， 再利用相似三角形的性质求解即可。
21.【答案】 〔1〕解：设该口罩厂这两个月生产数量的月平均增长率为x，由题意得，
2〔1+x〕2＝2.88．
解方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2〔不合题意，舍去〕．
答：该口罩厂这两个月生产数量的月平均增长率为20%．
〔2〕解：按照〔1〕中的月平均增长速度，4月份的口罩生产数量能到达2.88〔1+20%〕＝3.456〔万个〕．
答：4月份的口罩生产数量能到达3.456万个.
【解析】【分析】〔1〕根据题意求出 2〔1+x〕2＝2.88 ，再计算求解即可；
〔2〕求出 2.88〔1+20%〕＝3.456 即可作答。
22.【答案】 〔1〕△HGA和△HAB与△AGC相似，
证明：∵∠B＝45°，AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CAD＝∠CDA＝45°，
∵△AEF由△ACD旋转得到，
∴∠EAF＝∠CAD＝45°，
∴∠ACB＝∠EAF＝45°，
∵∠AGC＝∠AGH，
∴△AGC∽△HGA，
∴∠GAC＝∠H，
∵∠B＝∠ACG＝45°，
∴△AGC∽△HAB，
〔2〕解：①当CG BC时，那么有∠GAC＝∠H＜∠HAG，
∴AC＜CH，
∵AG＜AC，
∴AG＜CH＜GH，
∵AH＞AG，AH＞GH，
∴△AGH不可能是等腰三角形，
②当GC BC时，G为BC的中点，H与C重合，
∴△AGH是等腰三角形，此时GC ，
③当GC BC时，由〔1〕△AGC∽△HGA，
∴假设△AGH是等腰三角形只可能存在AG＝AH，
假设AG＝AH，那么AC＝GC，此时GC＝5，
如图，当CG＝BC时，
此时B，E，G重合，
∠AGH＝∠GAH＝45°，
∴△AGH为等腰三角形，
∴CG ，
综上所述：CG＝5或 或 ．
【解析】【分析】〔1〕根据平行四边形的性质求出 ∠CAD＝∠CDA＝45°， 再求出 △AGC∽△HGA， 最后计算求解即可；
〔2〕分类讨论，结合图形，根据等腰三角形的性质求解即可。
23.【答案】 〔1〕解：设y与x满足的一次函数数关系式为y＝kx+b〔k≠0〕，
将〔1，35〕，〔3，45〕分别代入y＝kx+b中，得： ，
解得： ，
∴y与x的函数关系式为y＝5x+30；
〔2〕解：设第x天去掉捐款后的利润为6235元
根据题意得：〔130﹣x﹣60﹣4〕〔5x+30〕＝6235，
整理得：x2﹣60x+851＝0，
解得：x＝23或x＝37〔舍〕，
∴在这30天内，第23天去掉捐款后的利润是6235元；
〔3〕解：由题意得：W＝〔130﹣x﹣60﹣4〕〔5x+30〕＝﹣5x2+300x+1980
即W与x之间的函数关系式为W＝﹣5x2+300x+1980
∵W＝﹣5x2+300x+1980＝﹣5〔x﹣30〕2+6480，且a＝﹣5＜0，
∴当x＝30时，W有最大值，最大值为6480元．
∴W与x之间的函数关系式是W＝﹣5x2+300x+1980，第30天的利润最大，最大利润是6480元．
【解析】【分析】〔1〕利用待定系数法求函数解析式即可；
〔2〕先求出 x2﹣60x+851＝0， 再计算求解即可；
〔3〕根据题意求出W ＝﹣5〔x﹣30〕2+6480， 再求解即可。
24.【答案】 〔1〕解：AC＝BD，AC⊥BD，
理由如下：
设AC与BO交于N，交BD于E，如图1，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD〔SAS〕，
∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，
又∵∠BNE＝∠ANO，
∴∠DBO+∠BNE ＝∠CAO+∠ANO＝90°，
∴∠BEN＝∠AON＝90°，
∴AC⊥BD；

〔2〕解：①BC2+AC2＝2OC2 ，
理由如下：
如图2，连接BD，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠AOC＝∠BOD，∠BAO＝∠ABO＝45°，CD OC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD〔SAS〕，
∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO＝45°，
∴∠CBD＝∠ABO+∠DBO= 90°，
∴在Rt△DBC中，由勾股定理得： BC2+BD2＝CD2 ，
∴BC2+AC2＝2OC2；
②如图3，当点C在BD上时，过点O作OH⊥CD于H，
∵OC＝OD＝5，∠COD＝90°，
∴CD＝5 ，
又∵OH⊥CD，
∴OH＝CH＝DH ，
∴BH ，
∴BD＝BH+DH ，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD〔SAS〕，
∴AC＝BD ；
如图4，当点D在BC上时，过点O作OH⊥CD于H，
同理可求AC＝BD ；
综上所述：AC 或 ．
【解析】【分析】〔1〕利用SAS证明 △AOC≌△BOD ，再求出 ∠BEN＝∠AON＝90°， 最后求解即可；
〔2〕①根据题意求出 △AOC≌△BOD ，再求出 ∠CBD＝∠ABO+∠DBO= 90°， 最后证明求解即可；
②分类讨论，结合图形，利用勾股定理和全等三角形的判定与性质求解即可。
25.【答案】 〔1〕解：∵y＝ax2+bx+2〔a≠0〕与x轴交于A〔﹣1，0〕、B〔4，0〕，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为：y x2 x+2．
〔2〕解：∵A〔﹣1，0〕、B〔4，0〕，
∴AB＝5，
由抛物线的解析式可得，C〔0，2〕，
∴OC＝2，lBC：y x+2．
∴S△PBC＝2S△ABC＝2 •AB•OC＝5×2＝10．
在x轴上取点M〔﹣6，0〕，那么MB＝10，
∴S△MBC •MB•OC 10．
过点M作BC的平行线MN，交抛物线于点P1 ， P2 ，
∴lMN：y x﹣3．
联立 ，
解得 ，或 ，
∴P1〔2 ，﹣4 〕，P2〔2 ，﹣4 〕．

〔3〕解：由抛物线解析式可得，抛物线对称轴为直线x ．
∵点F是抛物线对称轴上一点，
∴设点F的坐标为〔 ，t〕．
假设以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形，需要分以下两种情况：
①当BP为边时，如图，
由平行四边形的性质可知，E1〔 6，t+3〕，E2〔 6，t﹣3〕，
∵点E在抛物线y x2 x+2上，
∴t+3 〔 6〕2 〔 6〕+2，解得t ，
t﹣3 〔 6〕2 〔 6〕+2，解得t ，
∴F的坐标为〔 ， 〕或〔 ， 〕．
②当BP为对角线时，BP的中点为〔1， 〕，
∵F〔 ，t〕，
∴E〔 ，﹣t﹣3〕，
∴﹣t﹣3 〔 〕2 〔 〕+2，解得t ，
∴F〔 ， 〕．
综上，点F的坐标为〔 ， 〕或〔 ， 〕或〔 ， 〕．
【解析】【分析】〔1〕利用待定系数法求函数解析式即可；
〔2〕先求出 AB＝5， 再利用三角形的面积公式，结合图象求解即可；
〔3〕分类讨论，结合图象，根据平行四边形的性质求解即可。X〔天〕
……
1
3
5
7
……
Y〔件〕
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35
45
55
65
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