2021-2022学年上学期杭州市初中数学七年级期中典型试卷3

这是一份2021-2022学年上学期杭州市初中数学七年级期中典型试卷3，共27页。
A．向东走5米和向北走5米
B．身高增加2厘米和体重减少2千克
C．胜1局和亏本70元
D．收入50元和支出40元
2．（2021秋•余杭区期中）一个数a在数轴上表示的点是A，当点A在数轴上向左平移了3个单位长度后到点B，点A与点B表示的数恰好互为相反数，则数a是（ ）
A．﹣3B．﹣1.5C．1.5D．3
3．（2021秋•西湖区期中）我市某天的最高气温为8℃，最低气温为零下2℃，则计算温差列式正确的是（ ）
A．（+8）﹣（+2）B．（+8）﹣（﹣2）C．（+8）+（﹣2）D．（﹣8）﹣（﹣2）
4．（2021秋•西湖区期中）据统计，全国每小时约有510000000吨污水排入江海，510000000用科学记数法表示为（ ）
A．5.1B．0.51×109C．5.1×108D．5.1×109
5．（2021秋•杭州期中）下列变形或计算正确的是（ ）
A．（﹣a）2＝﹣a2B．﹣2（x﹣1）＝﹣2x+1
C．x﹣＝2x﹣x+1＝x﹣1D．m3n﹣2m3n＝﹣m3n
6．（2021秋•余杭区期中）下列运算正确的是（ ）
A．2x2﹣x2＝2B．（x+2）2＝x2+4
C．（2x2y）3＝6x6y3D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
7．（2021秋•余杭区期中）在计算式子4×25×（﹣+）＝100×（﹣+）＝50﹣30+40的过程中，用的运算律是（ ）
A．乘法结合律及分配律
B．乘法交换律及分配律
C．乘法交换律及乘法结合律
D．加法结合律及分配律
8．（2021秋•下城区校级期中）某粮食店购进杂交米的吨数是籼米的，是香米的9倍，设购进杂交米a吨，籼米b吨，香米c吨，那么该粮食店共购进三种米的总吨数可表示为（ ）
A．31aB．13cC．aD．b
9．（2021秋•杭州期中）已知m2+2mn＝384，2n2+3mn＝560，则代数式2m2+13mn+6n2﹣430的值是（ ）
A．2021B．2021C．2021D．2022
10．（2021秋•下城区校级期中）如图，将1、，三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与（100，100）表示的两个数的积是（ ）
A．1B．C．D．
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•西湖区期中）＝ ，若＝4，则x＝ ．
12．（2021秋•余杭区期中）定义a*b＝3a﹣b，则1*（2*3）＝ ．
13．（2021秋•西湖区期中）近似数7.5精确到 位，它表示大于或等于7.45而小于 的数．
14．（2021秋•下城区校级期中）在①﹣，②3.14，③π，④，⑤1.，⑥中，无理数是 ，分数是 （填序号）．
15．（2021秋•下城区校级期中）在下列说法中：①6的平方根是±；②﹣6是36的一个平方根；③﹣6没有立方根；④0.04的算术平方根是0.2；⑤＝a，其中正确的是 （填正确的序号）．
16．（2021秋•余杭区期中）某女装店经销一批外套，每件进价为a元，零售价比进价高m%，后因市场变化，该商店把零售价调整为原来零售价的n%出售．那么调整后每件外套的零售价是 元．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•余杭区期中）计算：
（1）﹣﹣+0.5；
（2）﹣22÷×（1﹣）2；
18．（2021秋•西湖区期中）计算下列各题：
（1）5+（﹣6）﹣（﹣2）；
（2）|﹣4|﹣12×（﹣）；
（3）+；
（4）（﹣1）2016﹣8×（）2﹣（﹣2）3．
19．（2021秋•下城区校级期中）计算
（1）﹣20+14﹣18+13
（2）|﹣2|×÷（﹣）×2﹣（﹣32）
（3）（﹣+﹣）÷（﹣）
（4）﹣16+8÷（﹣2）2﹣（+）
20．（2021秋•西湖区期中）已知|m|＝3，|n|＝2，且m＜n，求m2+2mn+n2的值．
21．（2021秋•余杭区期中）如图两个4×4网格都是由16个边长为1的小正方形组成．
（1）图①中的阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影正方形的面积为 ，若这个正方形的边长为a，则a＝ ；
（2）请在图②中画出面积是5的正方形，使它的顶点在网格的格点上，若这个正方形的边长为b，则b＝ ；
（3）请你利用以上结论，在图③的数轴上表示实数a，b和﹣a，﹣b，并将它们用“＜”号连接．
22．（2021秋•西湖区期中）如图，已知数轴上有A、B两点（点A在点B的左侧），且两点距离为8个单位长度，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）图中如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点A表示的数是 ；
（2）当t＝3秒时，点A与点P之间的距离是 个长度单位；
（3）当点A表示的数是﹣3时，用含t的代数式表示点P表示的数；
（4）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，请直接写出t的值．
23．（2021秋•下城区校级期中）求下列各代数式的值．
（1）已知A＝2a2﹣a，B＝a2﹣2a+1．当a＝﹣时，求A﹣2（A﹣B）+3的值．
（2）已知a、b是有理数，且满足：a的立方根是﹣2，b的平方是25，求a2+2b的值．
（3）已知当x＝﹣1时，代数式2ax3﹣3bx+8值为18，求代数式9b﹣6a+2的值
24．（2021秋•余杭区期中）我们自从有了用字母表示数，发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，从而更助于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试．
（1）用代数式表示：
①a与b的差的平方；②a与b两数平方和与a、b两数积的2倍的差；
（2）当a＝3，b＝﹣2时，求第（1）题中①②所列的代数式的值；
（3）由第（2）题的结果，你发现了什么等式？
（4）利用你发现的结论：求20212﹣4036×2021+20212的值．
2021-2022学年上学期杭州市初中数学七年级期中典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•余杭区期中）下列是具有相反意义的量的是（ ）
A．向东走5米和向北走5米
B．身高增加2厘米和体重减少2千克
C．胜1局和亏本70元
D．收入50元和支出40元
【考点】正数和负数．
【专题】常规题型．
【分析】根据相反意义的量的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、向东走5米和向北走5米，不是具有相反意义的量，故本选项错误；
B、身高增加2厘米和体重减少2千克，不是具有相反意义的量，故本选项错误；
C胜1局和亏本70元、不是具有相反意义的量，故本选项错误；
D、收入50元和支出40元，是具有相反意义的量，故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2．（2021秋•余杭区期中）一个数a在数轴上表示的点是A，当点A在数轴上向左平移了3个单位长度后到点B，点A与点B表示的数恰好互为相反数，则数a是（ ）
A．﹣3B．﹣1.5C．1.5D．3
【考点】数轴．
【分析】根据题意得出a﹣3＝b，a＝﹣b，求出即可．
【解答】解：设B点表示的数是b，
根据题意得：a﹣3＝b，a＝﹣b，
解得：a＝1.5，b＝﹣1.5．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值，相反数的应用，关键是能根据题意得出方程a﹣3＝b，a＝﹣b．
3．（2021秋•西湖区期中）我市某天的最高气温为8℃，最低气温为零下2℃，则计算温差列式正确的是（ ）
A．（+8）﹣（+2）B．（+8）﹣（﹣2）C．（+8）+（﹣2）D．（﹣8）﹣（﹣2）
【考点】有理数的加减混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】最高气温为8℃，表示为：+8，最低气温为零下2℃，表示为：﹣2，两数相减即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：
最高气温为8℃，表示为：+8，
最低气温为零下2℃，表示为：﹣2，
温差为：（+8）﹣（﹣2），
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，正确掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键．
4．（2021秋•西湖区期中）据统计，全国每小时约有510000000吨污水排入江海，510000000用科学记数法表示为（ ）
A．5.1B．0.51×109C．5.1×108D．5.1×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于510000000有9位，所以可以确定n＝9﹣1＝8．
【解答】解：510 000 000＝5.1×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
5．（2021秋•杭州期中）下列变形或计算正确的是（ ）
A．（﹣a）2＝﹣a2B．﹣2（x﹣1）＝﹣2x+1
C．x﹣＝2x﹣x+1＝x﹣1D．m3n﹣2m3n＝﹣m3n
【考点】有理数的乘方；整式的加减．
【专题】计算题；整式．
【分析】根据积的乘方法则判断A；根据乘法分配律判断B；根据合并同类项法则判断C与D．
【解答】解：A、（﹣a）2＝a2，故本选项计算错误；
B、﹣2（x﹣1）＝﹣2x+2，故本选项计算错误；
C、x﹣＝x+，故本选项计算错误；
D、m3n﹣2m3n＝﹣m3n，故本选项计算正确；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的加减，去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．也考查了积的乘方．
6．（2021秋•余杭区期中）下列运算正确的是（ ）
A．2x2﹣x2＝2B．（x+2）2＝x2+4
C．（2x2y）3＝6x6y3D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据整式的加减运算法则、乘法运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝x2，故A不符合题意．
B、原式＝x2+4x+4，故B不符合题意．
C、原式＝8x6y3，故C不符合题意．
D、原式＝x2﹣1，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查整式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，乘法运算法则，本题属于基础题型．
7．（2021秋•余杭区期中）在计算式子4×25×（﹣+）＝100×（﹣+）＝50﹣30+40的过程中，用的运算律是（ ）
A．乘法结合律及分配律
B．乘法交换律及分配律
C．乘法交换律及乘法结合律
D．加法结合律及分配律
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据有理数的运算律求解即可．
【解答】解：在计算式子4×25×（﹣+）＝100×（﹣+）＝50﹣30+40的过程中，用的运算律是乘法结合律及分配律，
故选：A．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算律．
8．（2021秋•下城区校级期中）某粮食店购进杂交米的吨数是籼米的，是香米的9倍，设购进杂交米a吨，籼米b吨，香米c吨，那么该粮食店共购进三种米的总吨数可表示为（ ）
A．31aB．13cC．aD．b
【考点】列代数式．
【专题】整式．
【分析】根据题意可以含a的代数式表示出该粮食店共购进三种米的总吨数，本题得以解决．
【解答】解：∵某粮食店购进杂交米的吨数是籼米的，是香米的9倍，
∴b＝3a，c＝a，
该粮食店共购进三种米的总吨数为：a+b+c＝a+3a+a＝，
故选：C．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
9．（2021秋•杭州期中）已知m2+2mn＝384，2n2+3mn＝560，则代数式2m2+13mn+6n2﹣430的值是（ ）
A．2021B．2021C．2021D．2022
【考点】代数式求值．
【专题】计算题；整体思想．
【分析】先将题干中第一个式子乘以2，再将第二个式子乘以3，然后将得到的两个式子相加，即可得到2m2+13mn+6n2的值，则2m2+13mn+6n2﹣430的值便易得出．
【解答】解：∵m2+2mn＝384，
∴2（m2+2mn）＝2×384，
即2m2+4mn＝768①
又∵2n2+3mn＝560，
∴上式乘以3得：9mn+6n2＝1680②
①+②得：2m2+13mn+6n2＝2448，
∴2m2+13mn+6n2﹣430＝2021．
故选：A．
【点评】此题主要考查简单的计算能力，以及正确分析出所求式子和已知之间的联系．
10．（2021秋•下城区校级期中）如图，将1、，三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与（100，100）表示的两个数的积是（ ）
A．1B．C．D．
【考点】实数的运算；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到（8，2）与（100，100）表示的两个数，进而（8，2）与（100，100）表示的两个数的积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得：每三个数一循环，1、，，
（8，2）在数列中是第（1+7）×7÷2+2＝30个，
30÷3＝10，（8，2）表示的数正好是第10轮的最后一个，
即（8，2）表示的数是，
由题意可得：每三个数一循环，1、，，
（100，100）在数列中是第（1+99）×99÷2+100＝5050个，
5050÷3＝1683…1，（100，100）表示的数正好是第1684轮的第一个，
即（100，100）表示的数是1，
故（8，2）与（100，100）表示的两个数的积是：×1＝．
故选：C．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积．
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•西湖区期中）＝ 5 ，若＝4，则x＝ ±4 ．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据算术平方根的定义计算，利用二次根式的性质得到＝|x|＝4，然后利用绝对值的意义得到x的值．
【解答】解：＝5，
∵＝|x|＝4，
∴x＝±4．
故答案为5，±4．
【点评】本题考查了二次函数的性质与化简：熟练掌握二次函数的性质进行二次根式的化简与计算．
12．（2021秋•余杭区期中）定义a*b＝3a﹣b，则1*（2*3）＝ 0 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据a*b＝3a﹣b，可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵a*b＝3a﹣b，
∴1*（2*3）
＝1*（3×2﹣3）
＝1*（6﹣3）
＝1*3
＝3×1﹣3
＝3﹣3
＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确会用新定义解答问题．
13．（2021秋•西湖区期中）近似数7.5精确到 十分 位，它表示大于或等于7.45而小于 7.55 的数．
【考点】近似数和有效数字．
【专题】实数；数感．
【分析】似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．根据四舍五入的方法即可确定近似数所表示的原数的范围．
【解答】解：近似数7.5精确到十分位，它表示大于或等于7.45而小于7.55的数．
故答案为：十分，7.55．
【点评】考查了近似数和有效数字，近似计算时，近似值精确程度的确定是本题考查的重点．
14．（2021秋•下城区校级期中）在①﹣，②3.14，③π，④，⑤1.，⑥中，无理数是 ③、④ ，分数是 ②、⑤、⑥ （填序号）．
【考点】实数．
【专题】实数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判断．
【解答】解：在①﹣，②3.14，③π，④，⑤1.，⑥中，无理数是③、④，分数是②、⑤、⑥．
故答案为：③、④，②、⑤、⑥．
【点评】此题主要考查了有理数和无理数的定义，明确“初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数”是解题的关键．
15．（2021秋•下城区校级期中）在下列说法中：①6的平方根是±；②﹣6是36的一个平方根；③﹣6没有立方根；④0.04的算术平方根是0.2；⑤＝a，其中正确的是 ①②④ （填正确的序号）．
【考点】平方根；算术平方根；立方根．
【专题】实数．
【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义，即可解答．
【解答】解：①6的平方根是±，正确；
②﹣6是36的一个平方根，正确；
③﹣6有立方根，故错误；
④0.04的算术平方根是0.2，正确；
⑤＝|a|，故错误，
其中正确的是①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记立方根、平方根、算术平方根的定义．
16．（2021秋•余杭区期中）某女装店经销一批外套，每件进价为a元，零售价比进价高m%，后因市场变化，该商店把零售价调整为原来零售价的n%出售．那么调整后每件外套的零售价是 a（1+m%）n% 元．
【考点】列代数式．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】根据每件进价为a元，零售价比进价高m%表示出零售价，再结合商店把零售价调整为原来零售价的n%出售得出等式．
【解答】解：∵每件进价为a元，零售价比进价高m%，
∴零售价为：a（1+m%）元，要零售价调整为原来零售价的n%出售．
∴调整后每件外套的零售价是a（1+m%）n%元．
故答案为：a（1+m%）n%．
【点评】此题主要考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的关系．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•余杭区期中）计算：
（1）﹣﹣+0.5；
（2）﹣22÷×（1﹣）2；
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）先通分，转化为同分母分数，然后再加减即可；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法计算即可．
【解答】解：（1）﹣﹣+0.5
＝﹣
＝﹣；
（2）﹣22÷×（1﹣）2
＝﹣4×3×（）2
＝﹣4×3×
＝﹣．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算顺序和运算法则．
18．（2021秋•西湖区期中）计算下列各题：
（1）5+（﹣6）﹣（﹣2）；
（2）|﹣4|﹣12×（﹣）；
（3）+；
（4）（﹣1）2016﹣8×（）2﹣（﹣2）3．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可求出值；
（2）原式利用绝对值的代数意义，乘法分配律计算即可求出值；
（3）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；
（4）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝5﹣6+2＝1；
（2）原式＝4﹣8+9＝5；
（3）原式＝﹣3+4＝1；
（4）原式＝1﹣18+8＝﹣9．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2021秋•下城区校级期中）计算
（1）﹣20+14﹣18+13
（2）|﹣2|×÷（﹣）×2﹣（﹣32）
（3）（﹣+﹣）÷（﹣）
（4）﹣16+8÷（﹣2）2﹣（+）
【考点】实数的运算．
【专题】整式．
【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则得出答案；
（2）直接利用有理数肚饿乘除运算法则计算得出答案；
（3）直接利用乘法分配律进而得出答案；
（4）直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣6﹣18+13
＝﹣11；
（2）原式＝1×（﹣2）×2+9
＝5；
（3）原式＝﹣×（﹣36）+×（﹣36）﹣×（﹣36）
＝27﹣21+20
＝26；
（4）原式＝﹣1+2+2﹣4
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．（2021秋•西湖区期中）已知|m|＝3，|n|＝2，且m＜n，求m2+2mn+n2的值．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用绝对值的性质结合乘法公式计算得出答案．
【解答】解：∵|m|＝3，|n|＝2，且m＜n，
∴m＝﹣3，n＝2或﹣2，
原式＝（m+n）2＝1或25．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确得出m，n的值是解题关键．
21．（2021秋•余杭区期中）如图两个4×4网格都是由16个边长为1的小正方形组成．
（1）图①中的阴影正方形的顶点在网格的格点上，这个阴影正方形的面积为 10 ，若这个正方形的边长为a，则a＝ ；
（2）请在图②中画出面积是5的正方形，使它的顶点在网格的格点上，若这个正方形的边长为b，则b＝ ；
（3）请你利用以上结论，在图③的数轴上表示实数a，b和﹣a，﹣b，并将它们用“＜”号连接．
【考点】算术平方根；实数与数轴；三角形的面积．
【专题】三角形；运算能力．
【分析】（1）用大正方形的面积分别减去4个直角三角形的面积得到阴影部分的面积，然后根据正方形的面积公式得到a的值；
（2）仿照图①画出面积是5的正方形，利用正方形的面积公式得到b的值；
（3）利用无理数的估算在数轴上表示实数a，b和﹣a，﹣b，从而得到它们的大小关系．
【解答】解：（1）这个阴影正方形的面积＝4×4﹣4××1×3＝10，
若这个正方形的边长为a，则a＝；
（2）如图②，若这个正方形的边长为b，则b＝；
故答案为10；；；
（3）如图③，﹣a＜﹣b＜b＜a．
【点评】本题考查了三角形面积公式：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半．也考查了正方形的面积和实数与数轴．
22．（2021秋•西湖区期中）如图，已知数轴上有A、B两点（点A在点B的左侧），且两点距离为8个单位长度，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）图中如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点A表示的数是 ﹣4 ；
（2）当t＝3秒时，点A与点P之间的距离是 6 个长度单位；
（3）当点A表示的数是﹣3时，用含t的代数式表示点P表示的数；
（4）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，请直接写出t的值．
【考点】数轴；相反数；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）由AB的长度结合A、B表示的数互为相反数，即可得出A，B表示的数；
（2）由AP＝点P运动的时间×速度，即可得出结论；
（3）由点A表示的数结合AP的长度，即可得出点P表示的数；
（4）设点A表示的数为a，则点B表示的数为a+8，结合点P表示的数，即可得出AP，BP的长度，由AP＝2BP，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A、B两点间的距离为8个单位长度，且点A、B表示的数是互为相反数，点A在点B的左侧，
∴点A表示的数是﹣4，点B表示的数是4．
故答案为：﹣4．
（2）AP＝2t＝2×3＝6．
故答案为：6．
（3）∵点A表示的数为﹣3，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴AP＝2t，
∴点P表示的数为2t﹣3．
（4）设点A表示的数为a，则点B表示的数为a+8，
∴当运动时间为t秒时，点P表示的数为a+2t，
∴AP＝2t，BP＝|（a+8）﹣（a+2t）|＝|8﹣2t|．
∵AP＝2BP，
∴2t＝2|8﹣2t|，即2t＝16﹣4t或2t＝4t﹣16，
解得：t＝或t＝8．
∴当点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍时，t的值为或8．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及相反数，解题的关键是：（1）由AB的长度结合A、B表示的数互为相反数，找出点A、B表示的数；（2）利用路程＝速度×时间，求出AP的长；（3）由点A表示的数结合AP的长度，找出点P表示的数；（4）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
23．（2021秋•下城区校级期中）求下列各代数式的值．
（1）已知A＝2a2﹣a，B＝a2﹣2a+1．当a＝﹣时，求A﹣2（A﹣B）+3的值．
（2）已知a、b是有理数，且满足：a的立方根是﹣2，b的平方是25，求a2+2b的值．
（3）已知当x＝﹣1时，代数式2ax3﹣3bx+8值为18，求代数式9b﹣6a+2的值
【考点】平方根；立方根；实数的运算；整式的加减—化简求值．
【专题】整式．
【分析】（1）首先根据去括号法则，去掉原式的括号，再合并同类项，然后，把A，B所表示的代数式代入，经过去括号，合并同类项进行化简，最后把a的值代入化简后的代数式即可求出结果；
（2）利用立方根与平方根的定义求出a与b的值，即可确定出原式的值；
（3）首先根据当x＝﹣1时，代数式2ax3﹣3bx+8的值为18，求出3b﹣2a的值是多少；然后应用代入法，求出算式9b﹣6a+2的值是多少即可．
【解答】解：（1）∵A＝2a2﹣a，B＝a2﹣2a+1，
当a＝﹣时，
原式＝﹣A+2B+3
＝﹣3a﹣1+6
＝﹣3×（﹣）+5
＝6；
（2）∵a的立方根是﹣2，b的平方是25，
∴a＝﹣8，b＝±5，
∴当a＝﹣8，b＝5时，a2+2b＝64+10＝74，
当a＝﹣8，b＝﹣5时，a2+2b＝64﹣10＝54，
∴a2+2b的值为74或54；
（3）∵当x＝﹣1时，代数式2ax3﹣3bx+8的值为18，
∴﹣2a+3b+8＝18，
∴3b﹣2a＝10，
∴9b﹣6a+2
＝3（3b﹣2a）+2
＝3×10+2
＝30+2
＝32
【点评】本题主要考查整式的化简求值，合并同类项，去括号法则等知识点，关键在于认真、正确地进行计算．
24．（2021秋•余杭区期中）我们自从有了用字母表示数，发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，从而更助于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试．
（1）用代数式表示：
①a与b的差的平方；②a与b两数平方和与a、b两数积的2倍的差；
（2）当a＝3，b＝﹣2时，求第（1）题中①②所列的代数式的值；
（3）由第（2）题的结果，你发现了什么等式？
（4）利用你发现的结论：求20212﹣4036×2021+20212的值．
【考点】有理数的混合运算；列代数式；代数式求值．
【专题】计算题；运算能力．
【分析】（1）根据a、b的关系分别列式即可；
（2）把a、b的值代入代数式进行计算即可得解；
（3）根据计算结果相等写出等式；
（4）利用（3）的等式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）①（a﹣b）2；
②a2+b2﹣2ab；
（2）当a＝3，b＝﹣2时，
（a﹣b）2＝25；
a2+b2﹣2ab＝25；
（3）（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab；
（4）20212﹣4036×2021+20212
＝20212﹣2×2021×2021+20212
＝（2021﹣2021）2
＝1．
【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，读懂题目信息，准确把文字语言转化为数学语言是解题的关键．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
5．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
6．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
7．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
8．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
9．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
10．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
11．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
12．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
13．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
14．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
15．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
16．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
17．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
18．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
19．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
20．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
21．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
22．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
23．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．