2021年山东省淄博市张店区中考数学二模试卷 解析版

这是一份2021年山东省淄博市张店区中考数学二模试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）下列四个数中，最大的负数是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
2．（5分）“抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）
A．确定事件B．必然事件C．随机事件D．不可能事件
3．（5分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝B．|﹣2|＝﹣C．＝±2D．（﹣）﹣1＝﹣2
5．（5分）如图，BD是四边形ABCD的对角线．若∠1＝∠2，∠ADC＝100°，则∠A等于（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
6．（5分）在使用科学计算器时，依次按键的方法如图所示，显示的结果在数轴上对应的点可以是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
7．（5分）现有两根木棒，它们的长分别是30cm和80cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（ ）
A．40cmB．50cmC．60cmD．130cm
8．（5分）化简÷的结果是（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）如图，A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，C为y轴上的一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．3C．2D．
10．（5分）如图，D为Rt△ABC的AC边上一点，∠C＝90°，∠DBC＝∠A，AC＝4，csA＝，则CD＝（ ）
A．B．C．D．4
11．（5分）将二次函数y＝x2﹣2x+a的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，若平移后得到的函数图象与直线y＝x﹣2有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜B．a＞C．a＜D．a＞
12．（5分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，F是边AD上的动点，E是边CD上的动点，满足AF+CE＝2，则△FDE的最大面积为（ ）
A．3B．C．2D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分共计20分不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
13．（4分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（4分）已知a+2b﹣3＝0，则代数式2a+4b﹣7的值是 ．
15．（4分）如图，已知AB＝CD，现在下列四个条件中再选一个①OA＝OC；②AB∥CD；③AD∥BC；④AD＝BC，使四边形ABCD为平行四边形的概率为 ．
16．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，M、N分别是AB、AC的中点，连接OM、ON，分别交BC于点F、E，若BF＝5，FE＝3，EC＝4，则△ABC的面积为 ．
17．（4分）下面是一种利用图形计算正整数乘法的方法，请根据图1～图4四个算图所示的规律，可知图5所表示的算式为 ．
三、解答题（本题共7小题，请把解答过程写在答题纸上）
18．解不等式组：．
19．如图，DE是△ABC的中位线，请判断中位线DE与边BC的关系，并说明理由．
20．某中学数学兴趣小组为了了解参加数学学科节学生的年龄情况，随机抽取了其中部分学生的年龄，经过数据整理，绘制出不完整的统计图，依据相关信息解答以下问题：
（1）写出被抽取的学生人数 ，并补全条形统计图．
（2）被抽取的学生的年龄的众数是 岁，中位数是 岁．
（3）若共有600名学生参加了本次数学学科节活动，请估计活动中年龄在15岁及以上的学生人数．
21．中国移动某套餐推出了如下两种流量计费方式：
（1）设一个月内用移动电话使用流量为xG（x＞0），方式一总费用y1元，方式二总费用y2元（总费用不计通话费及其它服务费）．写出y1和y2关于x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）如图为在同一平面直角坐标系中画出（1）中的两个函数图象的示意图，记它们的交点为点A，求点A的坐标，并解释点A坐标的实际意义；
（3）根据（2）中函数图象，结合每月使用的流量情况，请直接写出选择哪种计费方式更合算．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）若AC＝3，AE＝4．
①求AD的值；②求图中阴影部分的面积．
23．（1）问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE．
则线段AD，BE之间的位置关系是 ，数量关系是 ；
（2）类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断线段AD，BE之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段BE的长．
24．如图①，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（x1，0）、点C（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝2，x1•x2＝﹣3，与y轴交于点B，E（m，0）是x轴上一动点，过点E作EP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．
（1）求抛物线解析式．
（2）如图②，直线EP交直线AB于点D，连接PB．
①点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标；
②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°，请求出m的值．
（3）如图③，点Q是直线EP上的一动点，连接CQ，将线段CQ绕点Q逆时针旋转120°，得到线段QF，当m＝1时，请直接写出PF的最小值．
2021年山东省淄博市张店区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上.
1．（5分）下列四个数中，最大的负数是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
【分析】先排除不是负数的选项，再根据负数比较大小，绝对值大的反而小比较大小即可得出答案．
【解答】解：2是正数，0既不是正数也不是负数，
∵1＜2，
∴﹣1＞﹣2，
∴选项中最大的负数是﹣1，
故选：B．
2．（5分）“抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）
A．确定事件B．必然事件C．随机事件D．不可能事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：“抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是随机事件，
故选：C．
3．（5分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看共有两层，底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：B．
4．（5分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝B．|﹣2|＝﹣C．＝±2D．（﹣）﹣1＝﹣2
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A.﹣＝，故此选项不合题意；
B．|﹣2|＝，故此选项不合题意；
C.＝2，故此选项不合题意；
D．（﹣）﹣1＝﹣2，故此选项符合题意；
故选：D．
5．（5分）如图，BD是四边形ABCD的对角线．若∠1＝∠2，∠ADC＝100°，则∠A等于（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝100°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°，
故选：C．
6．（5分）在使用科学计算器时，依次按键的方法如图所示，显示的结果在数轴上对应的点可以是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【分析】由图知，计算器上计算的是﹣的值，再由2＜＜3知，﹣3＜﹣＜﹣2，据此可得答案．
【解答】解：由图知，计算器上计算的是﹣的值，
∵＜＜，
即2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
故选：D．
7．（5分）现有两根木棒，它们的长分别是30cm和80cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（ ）
A．40cmB．50cmC．60cmD．130cm
【分析】根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于两边之差，即80﹣30＝50；而小于两边之和，即30+80＝110．
下列答案中，只有60符合条件．
故选：C．
8．（5分）化简÷的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把分式的分子、分母因式分解，再根据分式的除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝，
故选：B．
9．（5分）如图，A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，C为y轴上的一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．3C．2D．
【分析】连接OA，得到△ABC和△OAB的面积相等，然后结合反比例函数的比例系数k的几何意义求得△ABC的面积．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥x轴，
∴AB∥y轴，S△OAB＝＝，
∴S△ABC＝S△OAB＝，
故选：D．
10．（5分）如图，D为Rt△ABC的AC边上一点，∠C＝90°，∠DBC＝∠A，AC＝4，csA＝，则CD＝（ ）
A．B．C．D．4
【分析】由题意求出AB＝5，根据勾股定理求出BC＝3，证明△DCB∽△BCA，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．
【解答】解：∵Rt△ABC，AC＝4，csA＝，
∴，
∴AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∵∠DBC＝∠A，∠DCB＝∠BCA，
∴△DCB∽△BCA，
∴，
∴BC2＝CD•AC，
∴CD＝．
故选：A．
11．（5分）将二次函数y＝x2﹣2x+a的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，若平移后得到的函数图象与直线y＝x﹣2有两个交点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜B．a＞C．a＜D．a＞
【分析】先利用配方法将y＝x2﹣2x+a化为顶点式，再根据左加右减，上加下减的平移规律得出平移后抛物线的解析式，将y＝x﹣2代入得到一元二次方程，然后根据判别式Δ＞0列出不等式，求出a的取值范围．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣1）2﹣1+a，
∴将二次函数y＝x2﹣2x+a的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x﹣1+1）2﹣1+a﹣1，即y＝x2+a﹣2，
将y＝x﹣2代入，得x﹣2＝x2+a﹣2，即x2﹣x+a＝0，
由题意，得△＝1﹣4a＞0，解得a＜，
故选：A．
12．（5分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，F是边AD上的动点，E是边CD上的动点，满足AF+CE＝2，则△FDE的最大面积为（ ）
A．3B．C．2D．
【分析】连接BD．首先证明△BDF≌△BCE（ASA），即可得出S四边形DEBF＝S△DBC＝3，进一步证得△BEF是等边三角形，由S△FDE＝S四边形DEBF﹣S△BEF＝3﹣S△BEF可知，当S△BEF取得最小值时，S△BEF的值最大，根据垂线段最短即可求得△BFE的面积的最小值，从而求得△FDE的最大面积．
【解答】解：连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠BDF＝∠C＝∠DBC＝60°，BD＝BC，
∵AF+DF＝DE+CE＝2，
∴DE＝AF，
在△BDF和△BCE中，
，
∴△BDF≌△BCE（ASA），
∴BE＝BF，∠DBF＝∠CBE，
∴∠EBF＝∠DBC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴S四边形DEBF＝S△DBC＝×2＝3，
∴S△FDE＝S四边形DEBF﹣S△BEF＝3﹣S△BEF，
∴当S△BEF取得最小值时，S△BEF的值最大，
根据垂线段最短可知，当BE⊥AD时，BE的长最短，此时△BFE的面积最小，
BE的最小值＝×＝3，
∴△FDE的面积的最大值＝3﹣×＝，
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分共计20分不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
13．（4分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
14．（4分）已知a+2b﹣3＝0，则代数式2a+4b﹣7的值是 ﹣1 ．
【分析】已知条件可化为a+2b＝3，代数式2a+4b﹣7可化为2（a+2b）﹣7，把a+2b＝3代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵a+2b﹣3＝0，
∴a+2b＝3，
∴2a+4b﹣7
＝2（a+2b）﹣7
＝2×3﹣7
＝6﹣7
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（4分）如图，已知AB＝CD，现在下列四个条件中再选一个①OA＝OC；②AB∥CD；③AD∥BC；④AD＝BC，使四边形ABCD为平行四边形的概率为 ．
【分析】由四个条件中再选一个，共有4种等可能结果，其中使四边形ABCD为平行四边形的有②④这2种，根据概率公式计算可得．
【解答】解：∵在四个条件中再选一个，共有4种等可能结果，其中使四边形ABCD为平行四边形的有②④这两种，
∴使四边形ABCD为平行四边形的概率为＝，
故答案为：．
16．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，M、N分别是AB、AC的中点，连接OM、ON，分别交BC于点F、E，若BF＝5，FE＝3，EC＝4，则△ABC的面积为 24 ．
【分析】连接AE、AF，由题意得AF＝BF，AE＝EC，可证AEF＝90°，根据三角形的面积公式可得出答案．
【解答】解：连接AE、AF，
∵⊙O是△ABC的外接圆，M、N分别是AB、AC的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
∴AF＝BF，AE＝EC，
∵BF＝5，EC＝4，
∴AF＝5，AE＝4，
∵EF＝3，
∴EF2+AE2＝AF2，
∴∠AEF＝90°，
∵BC＝BF+EF+EC＝12，
∴S△ABC＝×BC•AE＝24．
故答案为：24．
17．（4分）下面是一种利用图形计算正整数乘法的方法，请根据图1～图4四个算图所示的规律，可知图5所表示的算式为 321×123＝39483 ．
【分析】由图形可知：图1中标的数字的个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的两组交点个数逆时针排列为11，右下方的两组交点个数逆时针排列为11，它们为两个因数，即11×11＝121；图2中标的数字的个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的两组交点个数逆时针排列为21，右下方的两组交点个数逆时针排列为11，它们为两个因数，即21×11＝231；图3中标的数字的个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的两组交点个数逆时针排列为21，右下方的两组交点个数逆时针排列为12，它们为两个因数，即21×12＝252；图4中标的数字的个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的两组交点个数逆时针排列为31，右下方的两组交点个数逆时针排列为12，它们为两个因数，即31×12＝372；由此得出图5中标的数字个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的三组交点个数逆时针排列为321，右下方的三组交点个数逆时针排列为123，它们为两个因数，即321×123＝39483．
【解答】解：图5中标的数字个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的三组交点个数逆时针排列为321，右下方的三组交点个数逆时针排列为123，它们为两个因数，即321×123＝39483．
故答案为：321×123＝39483．
三、解答题（本题共7小题，请把解答过程写在答题纸上）
18．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4x﹣7＞5（x﹣1），得：x＜﹣2，
解不等式≤3﹣，得：x≤4.8，
则不等式组的解集为x＜﹣2．
19．如图，DE是△ABC的中位线，请判断中位线DE与边BC的关系，并说明理由．
【分析】延长DE到F，使DE＝EF，连接CF，证明△ADE≌△CEF，根据全等三角形的性质得到AD＝CF，∠ADE＝∠F，根据平行四边形的性质证明即可．
【解答】解：DE∥BC且DE＝BC．
理由如下：延长DE到F，使DE＝EF，连接CF，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CEF中，
，
∴△ADE≌△CEF（SAS），
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，
∴AB∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴BD∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC且DE＝BC．
20．某中学数学兴趣小组为了了解参加数学学科节学生的年龄情况，随机抽取了其中部分学生的年龄，经过数据整理，绘制出不完整的统计图，依据相关信息解答以下问题：
（1）写出被抽取的学生人数 50 ，并补全条形统计图．
（2）被抽取的学生的年龄的众数是 15 岁，中位数是 14 岁．
（3）若共有600名学生参加了本次数学学科节活动，请估计活动中年龄在15岁及以上的学生人数．
【分析】（1）根据12岁的人数和所占的百分比，可以计算出本次被抽查的学生人数，然后即可计算出户14岁和16岁的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据，可以得到被抽取的学生的年龄的众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出活动中年龄在15岁及以上的学生人数．
【解答】解：（1）被抽取的学生人数：6÷12%＝50，
故答案为：50，
14岁的学生有：50×28%＝14（人），
16岁的学生有50﹣6﹣10﹣14﹣18＝2（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）由条形统计图可知，
被抽取的学生的年龄的众数是15岁，中位数是14岁，
故答案为：15，14；
（3）600×＝240（人），
即估计活动中年龄在15岁及以上的学生有240人．
21．中国移动某套餐推出了如下两种流量计费方式：
（1）设一个月内用移动电话使用流量为xG（x＞0），方式一总费用y1元，方式二总费用y2元（总费用不计通话费及其它服务费）．写出y1和y2关于x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）如图为在同一平面直角坐标系中画出（1）中的两个函数图象的示意图，记它们的交点为点A，求点A的坐标，并解释点A坐标的实际意义；
（3）根据（2）中函数图象，结合每月使用的流量情况，请直接写出选择哪种计费方式更合算．
【分析】（1）根据表格的数据即可得出y1和y2关于x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）根据）（2）的结论结合图象解答即可．
【解答】解：（1）y1＝x+8，；
（2）由题意得，
解之，得
即点A的坐标为（40，48）．
点A的坐标的实际意义为当每月使用的流量为40G时，两种计费方式的总费用一样多，都为48元．
（3）当每月使用的流量少于40G时，选择方式一更省钱；
当每月使用的流量等于40G时，两种方式的总费用都一样；
当每月使用的流量大于40G时，选择方式二更省钱．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）若AC＝3，AE＝4．
①求AD的值；②求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接DE，OD．利用弦切角定理，直径所对的圆周角是直角，等角的余角相等证明∠DAO＝∠CAD，进而得出结论；
（2）由三角形相似可以算出AD，阴影部分的面积等于扇形的面积﹣三角形的面积．
【解答】（1）证明：连接DE，OD．
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠CDA＝∠AED．（1分）
AE为直径，∠ADE＝90°，
AC⊥BC，∠ACD＝90°，
∴∠DAO＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
（2）解：①∵AE为直径，
∴∠ADE＝∠C＝90°．
又由（1）知∠DAO＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
∵AC＝3，AE＝4，
∴，
∴．
②在Rt△ADE中，，
∴∠DAE＝30°．
∴∠AOD＝120°，DE＝2．
∴＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝．
23．（1）问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE．
则线段AD，BE之间的位置关系是 AD⊥BE ，数量关系是 AD＝BE ；
（2）类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断线段AD，BE之间的位置关系和数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段BE的长．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，可得AC＝BC，CD＝CE，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，即可求解；
（2）通过证明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE＝∠CAD＝60°，即可求∠DBE的度数；
（3）分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证CM＝BM＝，即可求DE＝2，由相似三角形的性质可得∠ABE＝90°，BE＝AD，由勾股定理可求BE的长．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：AD⊥BE，AD＝BE；
（2）BE＝AD，AD⊥BE；
理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°，
∴tan∠ABC＝tan30°＝＝，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，
∴Rt△ACB∽Rt△DCE，
∴，
∴，且∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°，
∴BE＝AD，∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴AD⊥BE；
（3）若点D在线段AB上，如图，
由（2）知：＝，∠ABE＝90°，
∴BE＝AD，
∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°，
∴AB＝4，BC＝2，
∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，
∴CM＝BM＝DE，
∵△CBM是直角三角形，
∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，
∴BM＝CM＝，
∴DE＝2，
∵DB2+BE2＝DE2，
∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24，
∴AD＝+1，
∴BE＝AD＝3+，
若点D在线段BA延长线上，如图
同理可得：DE＝2，BE＝AD，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（4+AD）2+（AD）2＝24，
∴AD＝﹣1，
∴BE＝AD＝3﹣，
综上所述：BE的长为3+或3﹣．
24．如图①，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（x1，0）、点C（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝2，x1•x2＝﹣3，与y轴交于点B，E（m，0）是x轴上一动点，过点E作EP⊥x轴于点E，交抛物线于点P．
（1）求抛物线解析式．
（2）如图②，直线EP交直线AB于点D，连接PB．
①点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标；
②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°，请求出m的值．
（3）如图③，点Q是直线EP上的一动点，连接CQ，将线段CQ绕点Q逆时针旋转120°，得到线段QF，当m＝1时，请直接写出PF的最小值．
【分析】（1）根据韦达定理可以求出b，c，即可求出解析式；
（2）①△PBD是等腰三角形，分三种情况：PD＝PB，PB＝BD和PD＝BD，然后设点P（m，﹣m2+2m+3），根据前面的等量关系列出相应的方程即可求解；
②当点P在x轴上方时，连接BC，延长BP交x轴于N，求出N的坐标，然后求出PB的解析式，然后联立方程组即可求出P的坐标；
当点P在x轴下方时，连接BC，设BP与x轴交于点H，求出H的坐标，然后求出PB的解析式，然后联立方程组即可求出P的坐标；
（3）在PE上取一点G，使得∠CGE＝60°，在PE上取一点H（在G的下方）使得GH＝CG，可证△QCG∽△FCH，从而确定∠GHF＝30°，所以F的轨迹为一条直线，求出P到该直线的距离，即为PF的最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（x1，0）、点C（x2，0），
∴方程﹣x2+bx+c＝0的两个根为x1和x2，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）①由抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点B得，点B（0，3），
解方程﹣x2+2x+3＝0得，点A（3，0）、点C（﹣1，0），
∴直线AB解析式为：y＝﹣x+3，
∵ED⊥x 轴，
∴∠PEA＝90°，
∴∠BDP＝∠ADE＝∠EAD＝∠OBA＝45°，
由点E（m，0），可设点P（m，﹣m2+2m+3），点D（m，﹣m+3），
I、当PD＝PB时，∠PBD＝∠PDB＝45°，
∴△PBD是等腰三角形，
∴PB⊥PE，
∴m＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）
解得，m＝0（舍去），m＝2，
即点E 坐标为（2，0），
II、当PB＝BD时，∠BPD＝∠PDB＝45°，△PBD是等腰三角形，
∴PB⊥BD，
又∵B（0，3），
∴直线BP解析式为：y＝x+3，
∴解方程组，
得， （舍去），，
∴点P（1，4），
∴点E（1，0），
∴m＝1，
即点E坐标为（1，0），
III、当PD＝BD时，△PBD是等腰三角形，
∵∠OBD＝45°，
∴，
∴，
又∵PD＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3），
∴，
解得，m＝0 （舍去），，
即点E坐标为 ，
综上所述：点E的坐标为（1，0）或（2，0）或 ；
②I、当点P在x轴上方时，如图，连接BC，延长BP交x轴于N，
∵∠BAO＝∠ABO＝45°，
∴当∠CBP＝90° 时，即BP⊥CB时，∠PBD+∠CBO＝45°，
∵∠CBN＝90°，
∴∠CBO+∠OBN＝90°，
∵∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠BCO＝∠OBN，
∴△BOC∽△NOB，
∴，
又∵点 C（﹣1，0），B（0，3），
∴，
∴ON＝9，
∴N（9，0），
设直线BP解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线BP解析式为：，
∴解方程组，
得， （舍去），，
∴点P坐标为 ，
∴；
II、当点P在x轴下方时，如图，连接BC，设BP与x轴交于点H，
∵∠PBD+∠CBO＝45°，∠OBH+∠PBD＝45°，
∴∠CBO＝∠OBH，
又∵OB＝OB，∠COB＝∠BOH，
∴△BOH≌△BOC（ASA），
∴OC＝OH＝1，
∴点 H（1，0），
设直线BH解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线BH解析式为：y＝﹣3x+3，
∴解方程组 ，
得， （舍去），，
∴点P坐标为（5，﹣12），
∴m＝5，
综上所述：m＝5 或 ．
（3）在PE上取一点G，使得∠CGE＝60°，在PE上取一点H（在G的下方）使得GH＝CG，
∵∠CGE＝60，
∴∠CGH＝∠CQF＝120°，
∵，
∴△CQF∽△CGH，
∴，∠QCF＝∠GCH＝30°，
∵∠QCF+∠FCG＝∠GCH+∠FCG，
∴∠QCG＝∠FCH，
∴△QCG∽△FCH，
∴∠CHF＝∠CGQ＝180°﹣∠CGH＝60°，
∴∠GHF＝∠CHF﹣∠CHG＝30°
∴当∠PFH＝90°，PF最小，
∵PH＝PE+EH＝，
∴PF的最小值为：＝．
月租费/元
流量费（元/G）
方式一
8
1
方式二
28
0.5
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