2021年山东省潍坊市潍城区中考数学二模试卷 解析版

这是一份2021年山东省潍坊市潍城区中考数学二模试卷 解析版，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2021﹣1的倒数是（ ）
A．B．C．2021D．﹣2021
2．（3分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱柱
3．（3分）据相关资料表示，目前发现的一种新型病毒的直径约为120纳米（1纳米＝10﹣9米），用科学记数法表示该病毒的直径是（ ）
A．120×10﹣9米B．1.20×10﹣9米
C．1.20×10﹣7米D．0.12×10﹣6米
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a3•3a2＝6a6B．a8÷a4＝a2（a≠0）
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（﹣a3）2＝a6
5．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
6．（3分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且点C为优弧的中点，连接CD，CB，OD，CD与AB交于点F．若∠ABC＝20°，则∠AOD的度数为（ ）
A．95°B．100°C．110°D．120°
8．（3分）将从1开始的连续自然数按图表所示规律排列：规定位于第a行，第b列的自然数记为（a，b）．例如，自然数10记为（3，2），自然数14记为（4，3）…按此规律，自然数2021记为（ ）
A．（505，1）B．（505，4）C．（506，1）D．（506，4）
9．（3分）下列命题是真命题的是 ．
A．正八边形的外角和为360°
B．圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．三角形的内心到该三角形三个顶点的距离相等
10．（3分）如图是一个运行程序，从“输入整数x”到“结果是否＞19”为一次操作程序，若输入x后程序操作仅进行了二次就停止，则输入整数x的值可能是 ．
A.7
B.9
C.11
D.13
11．（3分）为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入．小莹同学通过登陆国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对28个省份的分配额度（亿元），并对数据进行整理和分析．图1是反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图，且在20≤x＜40这一组分配的额度分别是：25，28，28，30，37，37，38，39，39．图2是反映2016﹣2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化折线图．则下列说法中正确的是 ．
A.2020年，中央财政脱贫专项资金对各省份的分配额度的中位数为37.5亿元
B.2020年，某省获得的分配额度为95亿元，该额度在28个省份中由高到低排第六名
C.2016﹣2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区A的分配额度逐年增加
D.2016﹣2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区A的分配额度比对自治区B的稳定
12．（3分）如图，矩形ABCD中，边AD＞AB，E为边AD上任意一点，点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位．设P，Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为y．则下列反映y与t的函数关系的大致图象可能正确的是 ．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）分解因式：3（x2+1）﹣6x＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）．
15．（3分）已知关于x的方程kx2+2（k﹣1）x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
16．（3分）2020年的圣诞节初三年级的一名同学用一张半径为24cm的扇形纸做一个如图所示的圆锥形的圣诞帽侧面（接缝处忽略不计），如果做成的圆锥形圣诞帽的底面半径为8cm，那么这张扇形纸的面积是 cm2．（结果保留π）
17．（3分）如图，某建筑楼顶立有广告牌DE，小亮准备利用所学的数学知识估测该主楼AD的高度．由于场地有限，不便测量，所以小亮沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行15米到达C处，此时，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为60°（身高忽略不计），已知广告牌DE＝10米，则该主楼AD的高度约为 米（结果保留根号）．
18．（3分）如图，在矩形AOBC中，OB＝8，OA＝6，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 ．
四、解答题（本题共7小题，共66分.解答应写岀文字说明、证明过程或推演步骤.）
19．（9分）先化简，再求值：（﹣ ）÷（x+2﹣），其中x是不等式组的整数解．
20．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校随机抽取了部分学生参加党史知识竞赛，参赛学生均获奖，获奖结果分为四个等级：A级为一等奖，B级为二等奖，C级为三等奖，D级为参与奖，现将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题
（1）求表示B级的扇形圆心角的度数和获得D级的人数，并补全条形统计图；
（2）若全校有2100名学生参赛，请估计该校能获得一、二等奖的学生共有多少人？
（3）本次竞赛获前五名的甲、乙、丙、丁、戊五位同学要通过演讲比赛推选出1位参加区级竞赛的选手，现抽签决定演讲顺序（顺序号为1，2，3，4，5号）．甲、乙两人先抽，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人抽到的演讲顺序恰好相邻的概率．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（4，m）．
（1）求k，m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝ （x＞0）的图象于点N．
①当n＝2时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F．
（1）求证：点F是BC的中点；
（2）过点F作⊙O的切线，交AB于点G，依题意补全图形．若AC＝6，BC＝8，求FG的长．
23．（10分）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”．某公司研发生产了一款废气处理设备，固定成本800（万元），每生产一件成本为10（万元），该设备销售量m件与销售单价x（万元/件）满足函数m＝﹣2x+120．
（1）试求利润y（万元）与售价x（万元/件）之间的函数关系式；
（2）当销售价x（万元/件）定为多少时，使得利润最大，最大利润是多少？
（3）在让购买者得到实惠的前提下，公司还要获利250万元，那么销售单价应该定为多少？
24．（10分）在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，D，E分别是边AB，AC上靠近点B，C的三等分点．
（1）如图1，将△ADE平移至△GMN，点M与点A重合，连接EG，求证：EG⊥MN；
（2）在（1）的条件下，求四边形MGNE的面积；
（3）如图2，将△ADE旋转至△AMN，若C，M，N三点共线，求证：四边形ABCN为平行四边形．
25．（12分）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线W1：y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点为A，与y轴交于点D，与x轴交于点B（3，0），C（﹣1，0）．P是W1上的动点，设点P的横坐标为m（0＜m＜3），过点P作直线∥x轴．
（1）求抛物线W1的函数表达式及点A，D的坐标；
（2）如图2，连接BD，直线l交直线BD于点M，连接OP交BD于点N，求PM的长（用含m的代数式表示）及的最大值；
（3）在点P运动过程中，将抛物线W1沿直线l对称得到抛物线W2，W2与y轴交于点E，F为W2上一点，试探究是否存在点P，使△DEF是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年山东省潍坊市潍城区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共12小题，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选岀来，毎小题选对得3分，错选、不选或选岀的答案超过一个均记0分.）
1．（3分）2021﹣1的倒数是（ ）
A．B．C．2021D．﹣2021
【分析】直接利用负整数指数幂的性质化简，再利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：∵2021﹣1＝，
∴2021﹣1的倒数是：2021．
故选：C．
2．（3分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱柱
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：D．
3．（3分）据相关资料表示，目前发现的一种新型病毒的直径约为120纳米（1纳米＝10﹣9米），用科学记数法表示该病毒的直径是（ ）
A．120×10﹣9米B．1.20×10﹣9米
C．1.20×10﹣7米D．0.12×10﹣6米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：由题意，得：120×10﹣9
＝1.20×102×10﹣9
＝1.20×10﹣7
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a3•3a2＝6a6B．a8÷a4＝a2（a≠0）
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（﹣a3）2＝a6
【分析】根据单项式乘单项式可以判断A，根据同底数幂的除法可以判断B，根据完全平方公式可以判断C，根据幂的乘方可以判断D．
【解答】解：2a3•3a2＝6a5，故选项A不符合题意；
a8÷a4＝a6（a≠0），故选项B不符合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项C不符合题意；
（﹣a3）2＝a6，故选项D符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，加上∠2+∠3＝45°，易得∠1＝15°．
【解答】解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1＝∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3＝∠4＝30°，
而∠2+∠3＝45°，
∴∠2＝15°，
∴∠1＝15°．
故选：A．
6．（3分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．
【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且点C为优弧的中点，连接CD，CB，OD，CD与AB交于点F．若∠ABC＝20°，则∠AOD的度数为（ ）
A．95°B．100°C．110°D．120°
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝20°，根据三角形内角和得出∠BOC＝140°，根据圆心角、弧的关系得到∠COD＝∠BOC＝140°，则∠BOD＝360°﹣∠BOC﹣∠COD＝80°，再根据邻补角的定义求解即可．
【解答】解：连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵∠ABC＝20°，
∴∠OCB＝20°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∵点C为优弧的中点，
∴∠COD＝∠BOC＝140°，
∴∠BOD＝360°﹣∠BOC﹣∠COD＝80°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝100°，
故选：B．
8．（3分）将从1开始的连续自然数按图表所示规律排列：规定位于第a行，第b列的自然数记为（a，b）．例如，自然数10记为（3，2），自然数14记为（4，3）…按此规律，自然数2021记为（ ）
A．（505，1）B．（505，4）C．（506，1）D．（506，4）
【分析】根据表格可知，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．用2021除以4，根据除数与余数确定2021所在的行数，以及是此行的第几个数，进而求解即可．
【解答】解：由题意可得，每一行有4个数，其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列；偶数行的数字从左往右是由大到小排列．
∵2021÷4＝505……1，
505+1＝506，
∴2021在第506行，
∵偶数行的数字从左往右是由大到小排列，
∴自然数2021记为（506，4）．
故选：D．
9．（3分）下列命题是真命题的是 A ．
A．正八边形的外角和为360°
B．圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．三角形的内心到该三角形三个顶点的距离相等
【分析】利用多边形、正方形的判定、三角形的外接圆与内切圆及三角形的内心的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A．正八边形的外角和为360°，是真命题；
B．同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，是假命题；
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，是假命题；
D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等，是假命题；
故答案为：A．
10．（3分）如图是一个运行程序，从“输入整数x”到“结果是否＞19”为一次操作程序，若输入x后程序操作仅进行了二次就停止，则输入整数x的值可能是 B，C ．
A.7
B.9
C.11
D.13
【分析】根据程序操作仅进行了二次就停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再对照四个选项即可找出可能输入的整数值．
【解答】解：依题意得：，
解得：7＜x≤11．
又∵x为整数，
∴x可以为8，9，10，11，
故答案为：B，C．
11．（3分）为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入．小莹同学通过登陆国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对28个省份的分配额度（亿元），并对数据进行整理和分析．图1是反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图，且在20≤x＜40这一组分配的额度分别是：25，28，28，30，37，37，38，39，39．图2是反映2016﹣2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化折线图．则下列说法中正确的是 ABC ．
A.2020年，中央财政脱贫专项资金对各省份的分配额度的中位数为37.5亿元
B.2020年，某省获得的分配额度为95亿元，该额度在28个省份中由高到低排第六名
C.2016﹣2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区A的分配额度逐年增加
D.2016﹣2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区A的分配额度比对自治区B的稳定
【分析】A．根据中位数的意义求解即可；
B．根据各组的频数可得答案；
C．根据折线统计图可得答案；
D．根据两个自治区2016﹣2020年中央财政脱贫专项资金的变化情况的折线统计图可直观得到，A自治区的比B自治区的变化、波动要大，可得答案；
【解答】解：将这28个省、直辖市、自治区分配扶贫资金额度从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为＝37.5（亿元），因此中位数是37.5亿元，
故A说法正确；
由频数分布直方图可知，100≤x＜120的有2个省，120≤x＜140的有2个省，140≤x＜160的有1个省，而95亿元在80≤x＜100且只有1个省，因此它位于第六名；
故B说法正确；
由统计图可知，2016﹣2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区A的分配额度逐年增加，故C说法正确；
由两个自治区2016﹣2020年中央财政脱贫专项资金变化情况的折线统计图可直观得到，A自治区的比B自治区的变化、波动要大，所以中央财政脱贫专项资金对自治区B的分配额度比对自治区A的稳定，故D说法错误．
故答案为：ABC．
12．（3分）如图，矩形ABCD中，边AD＞AB，E为边AD上任意一点，点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位．设P，Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为y．则下列反映y与t的函数关系的大致图象可能正确的是 A ．
【分析】分点P在BE，ED，CD上三种情况讨论，分别得出它们的函数类型，即可得出答案．
【解答】解：当点P在BE上时，△BPQ的两条边的长度同时增大，
∴此时对应的函数关系为开口向上的二次函数，
若BC＝BE，则当P到E点时，Q到C点，
当P在ED上时，△BPQ的底和高不在发生变化，
∴此时y的固定不变，
∴对应的函数图象是平行于x轴的线段，
当点P在DC上时，△BPQ的高CE均匀减小，
此时△BPQ的面积对应的函数为一次函数，
∴A选项符合题意，
故答案为：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）分解因式：3（x2+1）﹣6x＝ 3（x﹣1）2 ．
【分析】直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝3（x2+1﹣2x）
＝3（x﹣1）2．
故答案为：3（x﹣1）2．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 BD＝CD （写出一个即可）．
【分析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
添加BD＝CD，
∴在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：BD＝CD．
15．（3分）已知关于x的方程kx2+2（k﹣1）x+k＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k≤且k≠0 ．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝4（k﹣1）2﹣4k•k≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝4（k﹣1）2﹣4k•k≥0，
解得k≤且k≠0．
故答案为k≤且k≠0．
16．（3分）2020年的圣诞节初三年级的一名同学用一张半径为24cm的扇形纸做一个如图所示的圆锥形的圣诞帽侧面（接缝处忽略不计），如果做成的圆锥形圣诞帽的底面半径为8cm，那么这张扇形纸的面积是 192π cm2．（结果保留π）
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积即可．
【解答】解：根据题意得，这张扇形纸的面积＝×2π×8×24＝192π（cm2）．
故答案为192π．
17．（3分）如图，某建筑楼顶立有广告牌DE，小亮准备利用所学的数学知识估测该主楼AD的高度．由于场地有限，不便测量，所以小亮沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行15米到达C处，此时，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为60°（身高忽略不计），已知广告牌DE＝10米，则该主楼AD的高度约为 （17+5） 米（结果保留根号）．
【分析】过C作CF⊥AE于F，CG⊥AB于G，则四边形AFCG是矩形．解Rt△BCG，得CG＝12（米），设DF＝x米，解Rt△DCF，得出CF＝DF＝x米．再解Rt△ECF，根据x﹣x＝10，求出x＝5（+1），即可求解．
【解答】解：过C作CF⊥AE于F，CG⊥AB于G，如图所示：
则四边形AFCG是矩形，
∴AF＝CG，
∵斜坡AB的坡度i＝1：0.75＝＝，BC＝15米，
∴BG＝9（米），AF＝CG＝12（米），
设DF＝x米．
在Rt△DCF中，∠DCF＝45°，
∴CF＝DF＝x米．
在Rt△ECF中，∠ECF＝60°，
∴EF＝tan60°•CF＝x（米），
∵DE＝10米，
∴x﹣x＝10，
∴x＝5（+1），
∴DF＝5（+1）米，
∴AD＝AF+DF＝12+5（+1）＝（17+5）米，
故答案为：（17+5）．
18．（3分）如图，在矩形AOBC中，OB＝8，OA＝6，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为 ．
【分析】证明Rt△MED∽Rt△BDF，则 ＝＝，而EM：DB＝ED：DF＝4：3，求出DB，在Rt△DBF中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，
∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，
∴∠EDF＝∠C＝90°，EC＝ED，CF＝DF，
∴∠MDE+∠FDB＝90°，
而EM⊥OB，
∴∠MDE+∠MED＝90°，
∴∠MED＝∠FDB，
∴Rt△MED∽Rt△BDF；
又∵EC＝AC﹣AE＝8﹣，CF＝BC﹣BF＝6﹣，
∴ED＝8﹣，DF＝6﹣，
∴＝＝；
∵EM：DB＝ED：DF＝4：3，而EM＝6，
∴DB＝，
在Rt△DBF中，DF2＝DB2+BF2，即（6﹣）2＝（）2+（）2，
解得k＝，
故答案为．
四、解答题（本题共7小题，共66分.解答应写岀文字说明、证明过程或推演步骤.）
19．（9分）先化简，再求值：（﹣ ）÷（x+2﹣），其中x是不等式组的整数解．
【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后解不等式求出x的值，最后将x的值代入化简后的式子即可求出答案．
【解答】解：原式＝[+]÷[﹣]
＝（+）÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
由，
解得：﹣1＜x≤2，
∵x是整数，
∴x＝0，1，2，
由分式有意义的条件可知：x不能取0，1，
故x＝2，
∴原式＝＝2．
20．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校随机抽取了部分学生参加党史知识竞赛，参赛学生均获奖，获奖结果分为四个等级：A级为一等奖，B级为二等奖，C级为三等奖，D级为参与奖，现将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题
（1）求表示B级的扇形圆心角的度数和获得D级的人数，并补全条形统计图；
（2）若全校有2100名学生参赛，请估计该校能获得一、二等奖的学生共有多少人？
（3）本次竞赛获前五名的甲、乙、丙、丁、戊五位同学要通过演讲比赛推选出1位参加区级竞赛的选手，现抽签决定演讲顺序（顺序号为1，2，3，4，5号）．甲、乙两人先抽，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人抽到的演讲顺序恰好相邻的概率．
【分析】（1）由C级的人数和所占百分比求出调查的总人数，用360°乘以B级所占的比例求出B级的扇形圆心角的度数，再用总人数减去其他等级的人数，求出D等级的人数，从而补全统计图；
（2）用全校学生的总人数乘以该校能获得一、二等奖的学生所占的百分比即可；
（3）首先根据题意列出表格，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）本次抽样测试的人数是：24÷40%＝60（名），
表示B级的扇形圆心角的度数360°×＝108°，
D级的人数为：60﹣3﹣18﹣24＝15（名），
把条形统计图补充完整如图：
（2）估计该校能获得一、二等奖的学生共有：2100×＝735（名），
（3）列表得：
∵共有20种等可能的结果，甲、乙两人抽到的演讲顺序恰好相邻的有8种情况，
∴甲、乙两人抽到的演讲顺序恰好相邻的概率是＝．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x﹣2交于点A（4，m）．
（1）求k，m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y＝ （x＞0）的图象于点N．
①当n＝2时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）将A点代入y＝x﹣2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值；
（2）①当n＝2时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；
②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围．
【解答】解：（1）将A（4，m）代入y＝x﹣2，
∴m＝4﹣2＝2，
∴A（4，2），
将A（4，2）代入y＝，
∴k＝4×2＝8，
（2）①当n＝2时，P（2，2），
令y＝2，代入y＝x﹣2，则x＝4，
∴M（4，2），
∴PM＝2，
令x＝2代入y＝，则y＝4，
∴N（2，4），
∴PN＝2
∴PM＝PN，
②P（n，n），n＞0，即点P在直线y＝x上，
过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，
M（n+2，n），
∴PM＝2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∵PN＝|﹣n|，
∴|﹣n|≥2，
∴0＜n≤2或n≥4．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F．
（1）求证：点F是BC的中点；
（2）过点F作⊙O的切线，交AB于点G，依题意补全图形．若AC＝6，BC＝8，求FG的长．
【分析】（1）连接DF，先利用直角三角形斜边上的中线性质得到CD＝AD＝DB，再利用圆周角定理得到∠DFC＝90°，则根据等腰三角形的性质得到CF＝BF；
（2）连接OF，如图，利用勾股定理计算出AB＝10，再证明OF为△CBD的中位线得到OF∥BD，接着利用切线的性质得到OF⊥FG，所以FG⊥BG，然后证明△BGF∽△BCA，则利用相似比可计算出FG的长．
【解答】（1）证明：连接DF，如图，
∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CD＝AD＝DB，
∴△DBC为等腰三角形，
∵CD为直径，
∴∠DFC＝90°，
∴DF⊥BC，
∴CF＝BF，即点F是BC的中点；
（2）解：连接OF，如图，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，
∵OC＝OD，CF＝BF＝4，
∴OF为△CBD的中位线，
∴OF∥BD，
∵FG为⊙O的切线，
∴OF⊥FG，
∴FG⊥BG，
∴∠BGF＝90°，
∵∠BGF＝∠BCA，∠GBF＝∠CBA，
∴△BGF∽△BCA，
∴＝，即＝，
∴FG＝．
23．（10分）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”．某公司研发生产了一款废气处理设备，固定成本800（万元），每生产一件成本为10（万元），该设备销售量m件与销售单价x（万元/件）满足函数m＝﹣2x+120．
（1）试求利润y（万元）与售价x（万元/件）之间的函数关系式；
（2）当销售价x（万元/件）定为多少时，使得利润最大，最大利润是多少？
（3）在让购买者得到实惠的前提下，公司还要获利250万元，那么销售单价应该定为多少？
【分析】（1）利用销量×每件利润﹣投入成本＝总利润进而求出即可；
（2）把函数关系式化为顶点式，利用二次函数的增减性求出即可；
（3）根据公司还要获利250万元列出方程进而求出即可．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（x﹣10）•m﹣800
＝（x﹣10）•（﹣2x+120）﹣800
＝﹣2x2+140x﹣1200﹣800
＝﹣2x2+140x﹣2000，
∴利润y（万元）与售价x（万元/件）之间的函数关系式为y＝﹣2x2+140x﹣2000（0＜x＜60）；
（2）由（1）得：y＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
∵a＝﹣2＜0，
∴x＝35时，y最大值为450，
答：当销售价（万元/件）定为35时，使得利润最大，最大利润是450万元；
（3）由题意得：y＝﹣2x2+140x﹣2000＝250，
解得：x1＝25，x2＝45，
∵在让购买者得到实惠的前提下，
∴销售单价应该定为25（万元/件），
答：销售单价应该定为25万元/件．
24．（10分）在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，D，E分别是边AB，AC上靠近点B，C的三等分点．
（1）如图1，将△ADE平移至△GMN，点M与点A重合，连接EG，求证：EG⊥MN；
（2）在（1）的条件下，求四边形MGNE的面积；
（3）如图2，将△ADE旋转至△AMN，若C，M，N三点共线，求证：四边形ABCN为平行四边形．
【分析】（1）由平移的性质得NG∥AE，NG＝AE，得出四边形MGNE为平行四边形，由平移的性质证出GM＝AE，得出四边形MGNE为菱形，由菱形的性质可得出结论；
（2）作AH⊥CB，则BH＝CH＝2，求出三角形ABC的面积为8，证明△AED∽△ACB，由相似三角形的性质求出三角形ADE的面积，则可得出答案；
（3）作CP⊥AB，AQ⊥MN，证明△CBP≌△ANQ（AAS），由全等三角形的性质得出CP＝AQ，BP＝QN，证明Rt△CAP≌Rt△ACQ（HL），得出AP＝CQ，得出AB＝CN，由平行四边形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：由平移的性质得NG∥AE，NG＝AE，
∴四边形MGNE为平行四边形，
又∵AB＝AC，且AE：AC＝AD：AB＝2：3，
∴AD＝AE，
∵将△ADE平移至△GMN，
∴GM＝AD，
即GM＝ME，
∴四边形MGNE为菱形，
∴EG⊥MN；
（2）解：作AH⊥CB，则BH＝CH＝2，
∴AH2＝AC2﹣CH2，
∴AH＝＝4，
∴S△ACB＝＝8，
∵AE：AC＝AD：AB＝2：3，∠EAD＝∠CAB，
∴△AED∽△ACB，
∴S△ADE＝，
∴S四边形MGNE＝2S△AEG＝2S△ADE＝2×；
（3）作CP⊥AB，AQ⊥MN，
∵BC＝AD＝AN＝4，∠CPB＝∠AQN＝90°，∠N＝∠ADE＝∠B，
∴△CBP≌△ANQ（AAS），
∴CP＝AQ，BP＝QN，
∵∠CPA＝∠AQC＝90°，AC＝AC，CP＝AQ，
∴Rt△CAP≌Rt△ACQ（HL），
∴AP＝CQ，
∴AP+BP＝CQ+QN，
∴AB＝CN，
∵AN＝BC，
∴四边形ABCN为平行四边形．
25．（12分）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线W1：y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点为A，与y轴交于点D，与x轴交于点B（3，0），C（﹣1，0）．P是W1上的动点，设点P的横坐标为m（0＜m＜3），过点P作直线∥x轴．
（1）求抛物线W1的函数表达式及点A，D的坐标；
（2）如图2，连接BD，直线l交直线BD于点M，连接OP交BD于点N，求PM的长（用含m的代数式表示）及的最大值；
（3）在点P运动过程中，将抛物线W1沿直线l对称得到抛物线W2，W2与y轴交于点E，F为W2上一点，试探究是否存在点P，使△DEF是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法求出抛物线W1的函数表达式y＝﹣x2+2x+3，利用顶点公式求得顶点坐标，令x＝0，即可求得抛物线与y轴交点D的坐标；
（2）由（1）得D（0，3），运用待定系数法可求得直线BD的解析式，根据题意点P的坐标为P（m，﹣m2+2m+3），根据l∥x轴，可得﹣m2+2m+3＝﹣x+3，从而得出点M的坐标，再由PM∥OB，得出△MNP∽△BNO，即可得到关于m的函数关系式，再利用二次函数最值求解即可；
（3）由于W1与W2关于直线l对称，可得W1与W2开口大小不变，方向相反，根据D和E关于直线l对称，即可得出W2＝x2﹣2x+（﹣2m2+4m+3），由于△DEF是以D为直角顶点的等腰直角三角形，即可建立方程求出m，进而得出点P的坐标．
【解答】解：（1）将B（3，0），C（﹣1，0）代入W1的函数表达式得，
解之得a＝﹣1，b＝2，
∴抛物线W1的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
∴x＝﹣＝1，
∴y＝4，
∴顶点A（1，4），
D（0，3），
（2）∵点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+2m+3），
经过B（3，0）、D（0，3）的函数表达式为y＝﹣x+3，
∵P，M的纵坐标相同，
∴﹣m2+2m+3＝﹣x+3，
∴x＝m2﹣2m，
∴M（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），
∴PM＝﹣m2+3m，
∵l∥x轴，
∴∠MPO＝∠POB，
又∵∠MNP＝∠BNO，
∴△MNP∽△BNO，
∴，
∵点B的坐标为（3，0），
∴OB＝3，
设＝q，
∴q＝，
∵﹣，
∴当m＝时，q有最大值，
∴当m＝时，的最大值为；
（3）存在，如图3，W1：y＝﹣x2+2x+3，
∵W1与W2关于直线l对称，
∴W1与W2开口大小不变，方向相反，
∵W1中的a1＝﹣1，
∴W2中的a2＝1，顶点为G，
∵D和E关于直线l对称，
∴yD+yE＝2（﹣m2+2m+3），
∴yE＝﹣2m2+4m+3，
∴点E（0，﹣2m2+4m+3），
∵A与G关于直线l对称，
∴yA+yG＝2（﹣m2+2m+3），
∴yG＝﹣2m2+4m+2，
∴点G（1，﹣2m2+4m+2），
把点E和点G的坐标代入W2＝x2+b2x+c，
得：，
解得：，
∴W2＝x2﹣2x+（﹣2m2+4m+3），
∵△DEF是以D为直角顶点的等腰直角三角形，
∴DE⊥DF，DE＝DF，
∴DF∥x轴，
∴yF＝yD＝3，
即x2﹣2x+（﹣2m2+4m+3）＝3，
∴x2﹣2x﹣2m2+4m＝0，
∴xF＝1±，
∴DF＝|xF|＝|1±|，
∵DE＝|yD﹣yE|＝|3﹣（﹣2m2+4m+3）|＝|2m2﹣4m|，
∴|1±|＝|2m2﹣4m|，
2m2﹣4m＝1+，或2m2﹣4m＝1﹣，
或2m2﹣4m＝﹣1﹣，或2m2﹣4m＝﹣1+，
①当2m2﹣4m＝1+时，两边同时平方并整理得（2m2﹣4m）2﹣3（2m2﹣4m）＝0，
令2m2﹣4m＝t，则t2﹣3t＝0，
解得：t1＝0，t2＝3，
即2m2﹣4m＝0，解得：m1＝0，m2＝2，
2m2﹣4m＝3，解得：m3＝，m4＝，
∵0＜m＜3，
∴m＝2或，
当m＝2时，D与E重合，不能构成三角形，舍去．
∴点P的坐标为（，）；
②当2m2﹣4m＝﹣1+时，整理得（2m2﹣4m）2+2m2﹣4m＝0，
解得：m＝0（舍），m＝2（舍），m＝1+，m＝1﹣，
∴P（1+，）或（1﹣，）；
③当2m2﹣4m＝﹣1﹣时，整理得（2m2﹣4m）2+2m2﹣4m＝0，与②相同；
④当2m2﹣4m＝1﹣时，整理得（2m2﹣4m）2﹣3（2m2﹣4m）＝0，与①相同；
综上所述，点P的坐标为（，）或（1+，）或（1﹣，）．
甲
乙
丙
丁
戊
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
（甲，戊）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
（乙，戊）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
（丙，戊）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）
（丁，戊）
戊
（戊，甲）
（戊，乙）
（戊，丙）
（戊，丁）