高中数学沪教版高中二年级 第二学期11.1直线的方程教案设计

直线方程

【教学目标】

理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心。

【教学重难点】

重点

1．理解直线的方向向量概念。

2．能根据已知条件求出直线的点方向式方程。

3．理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系。

4．通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量可简化推到过程且有明确的几何意义。

难点

理解直线方程的定义。通过推导直线的点方向式方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义。通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想。从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力。

【教学过程】

一、回顾

在初中平面几何里，我们定性的研究直线的平行，垂直或直线相交所成角是否相等。在函数教学中，直线是一次函数的图像。在本章中，我们进一步用定量的方法来研究直线。

二、讲授新课

（一）直线方程

定义：对于坐标平面内的一条直线，如果存在一个方程，满足

（1）直线上的点的坐标都满足方程；

（2）以方程的解为坐标的点都在直线上。

那么我们把方程叫做直线的方程。

从上述定义可见，满足（1）、（2），直线上的点的集合与方程的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系。

（二）点方向式方程

1．概念引入

在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个不重合的点（不重合的两点确定一条直线），又如一个点和一个平行方向（原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条）等等。我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程。若此方程满足直线方程定义中的（1）、（2），就找到了直线的方程。

2．概念形成

      直线的点方向式方程的定义

在平面上过一已知点，且与某一方向平行的直线是惟一确定的，我们在直角坐标平面中求该直线的方程。

      直线的点方向式方程的推导

建立平面直角坐标系，设的坐标是，方向用非零向量表示。

设直线上任意一点的坐标为，由直线平行于非零向量，故。根据的充要条件，得①；反之，若为方程①的任意一解，即，记为坐标的点为，可知，即在直线上。综上，根据直线方程的定义知，方程①是直线的方程。

当时，方程①可化为②。值得注意的是：方程②不能表示过且与坐标轴垂直的直线。事实上当时，方程①可化为③，表示过且与轴垂直的直线；当时，方程①可化为④，表示过且与轴垂直的直线。

我们把方程叫做直线的点方向式方程，非零向量叫做直线的方向向量。

3．例题解析

例1：观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量。

①；    ②；  ③；   ④。

解①经过点，它的一个方向向量是；

②化简得到：，从中可见该直线经过点，一个方向向量是；

③经过点，它的一个方向向量是；

④经过点(0，-2)，它的一个方向向量是。

[说明]通过直线的点方向式方程，可以判断一条直线经过的一个点和它的方向向量。

例2：已知点和，求经过点且与平行的直线的点方向式方程？                                       

解： ，

所以过点且与平行的直线的点方向式方程是。

变式1：求经过点、C两点的直线的点方向式方程。

解： ，。

思考：有没有别的表达方式？

是否一样呢？不妨化简，得到的都是：

变式2：在中，求平行于边的中位线所在直线的点方向方程。

解的中点为，的中点为，则，

所以所在直线的点方向方程是。

[说明]这些题目的解法关键在于找点和方向向量！

三、课堂小结

1．直线方程的定义。

2．直线的点方向式方程的推导。

3．用向量方法推导直线方程的主要思想。

4．确定直线方程的几个要素。