2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第六章第一讲　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算学案

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第六章　平面向量
第一讲　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.[改编题]给出下列命题:
①向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;
②两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件;
③若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反,则a+b与a,b两者之一的方向相同;
④两个有共同起点的相等向量,其终点必相同;
⑤若向量AB与向量CD是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上;
⑥λa=0(λ为实数),则λ必为0.
其中叙述正确的命题的序号是(　　)
A.①② B.③④ C.②④ D.⑤⑥
2.[2015新课标全国Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则(　　)
A.AD= - 13AB+43AC B.AD=13AB-43AC
C.AD=43AB+13AC D.AD=43AB-13AC
3.[2020百校联考]已知A( - 1,2),B(2, - 1),若点C满足AC+AB=0,则点C的坐标为(　　)
A.(12,12) B.( - 3,3) C.(3, - 3) D.( - 4,5)
4.[2019全国卷Ⅱ]已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a - b|=(　　)
A.2 B.2 C.52 D.50
5.[浙江高考]记max{x,y}=x,x≥y,y,x A.min{|a+b|,|a - b|}≤min{|a|,|b|}
B.min{|a+b|,|a - b|}≥min{|a|,|b|}
C.max{|a+b|2,|a - b|2}≤|a|2+|b|2
D.max{|a+b|2,|a - b|2}≥|a|2+|b|2
6.[2018全国卷Ⅲ]已知向量a=(1,2),b=(2, - 2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　. 
7.[2015新课标全国Ⅱ]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　. 
8.[2015北京高考]在△ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x=　　　;y=　　　. 

考法1 平面向量的线性运算
命题角度1　平面向量的线性运算
1[2018全国卷Ⅰ]在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.34AB-14AC B.14AB-34AC
C.34AB+14AC D.14AB+34AC

把已知向量和所求向量转化到三角形中→根据向量的运算法则求解
解法一　作出示意图如图6 - 1 - 1所示,

图6-1-1
EB=ED+DB=12AD+12CB=12×12(AB+AC)+12(AB-AC)=34AB -14AC.
解法二　EB=AB-AE=AB-12AD=AB-12××(AB+AC)=34AB-14AC.
A
命题角度2　平面向量线性运算中的参数问题
2 [2019辽宁丹东质量测试]在△ABC中,AB+AC=2AD,AE+DE=0,若EB=xAB+yAC,则
A.y=3x B.x=3y C.y= - 3x D.x= - 3y
因为AB+AC=2AD,所以D是BC的中点. (判断点D的位置)
因为AE+DE=0,所以E是AD的中点.
所以EB=EA+AB=AB-12AD=AB-12×12(AB+AC)=34AB-14AC.
因此x=34,y= - 14,所以x= - 3y.
D
解后反思　
求解该题时易出现的问题是不能根据“AB+AC=2AD”确定点D的位置,从而导致错解,实质上该条件可化为AD=12(AB+AC),即中线的向量表示,从而得到D是BC的中点.
1.如图6 - 1 - 2,在直角梯形ABCD中,DC=14AB,BE=2EC,且AE=rAB+sAD,则2r+3s=(　　)

图6-1-2
A.1 B.2 C.3 D.4
考法2 共线向量定理、平面向量基本定理的应用
命题角度1　共线向量定理的应用
3设a,b是不共线的两个非零向量.
(1)若OA=2a - b,OB=3a+b,OC=a - 3b,求证:A,B,C三点共线;
(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.
(1)∵ AB=(3a+b) - (2a - b)=a+2b,
BC=(a - 3b) - (3a+b)= - 2a - 4b= - 2AB,
∴AB与BC共线,且有公共端点B.∴A,B,C三点共线.
(2)∵ 8a+kb与ka+2b共线,
∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b).
∴(8 - λk)a+(k - 2λ)b=0.
∵ a与b不共线,
∴8-λk=0,k-2λ=0⇒8=2λ2⇒λ=±2.∴k=2λ=±4.
∴实数k的值为4或 - 4.
4在△ABC中,AE=2EB,AF=3FC,连接BF ,CE,且BF ∩CE=M,AM=xAE+yAF,则x - y=　　　　　　　　　　　　　　　　
A. - 112 B.112 C. - 16 D.16
画出图形后,会发现B,M,F 三点共线,C,M,E三点共线.因此,本题可运用三点共线的向量表示中系数的关系进行求解.
因为AE=2EB,所以AE=23AB,
所以AM=xAE+yAF=23xAB+yAF.
由B,M,F 三点共线得23x+y=1　①.(三点共线,可得线性表示中的系数和为1)
因为AF=3FC,所以AF=34AC,所以AM=xAE+yAF=xAE+34yAC.
由C,M,E三点共线得x+34y=1　②.(三点共线,可得线性表示中的系数和为1)
联立①②,解得x=12,y=23,所以x - y=12-23= - 16.
C
解后反思
求解本题的关键在于两次根据“三点共线”得向量线性表示中的系数之和为1,前提是AM=23xAB+yAF,AM=xAE+34yAC,两个等式中的三个向量的起点相同,终点共线.若等式变为tAM=23xAB+yAF,则有23x+y=t,其实质是等号右边两个向量的系数和等于等号左边向量的系数.要注意“解方程组思想”在解题中的灵活应用.
命题角度2　平面向量基本定理的应用
5如图6 - 1 - 3,在△ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数λ和μ,使得BM=λAB+μAC,则λ+μ=　　　　　　　　　　　　　　　　

图6-1-3
A.12 B. - 12 C.2 D. - 2
首先根据向量共线建立BD与BC的线性关系,然后根据三角形中线的向量表示,用BD,BA表示BM,最后结合已知得出对应关系,从而求得结果.该题还可根据“D是边BC上任意一点”找特殊点进行求解.
解法一　(直接法)因为点D在边BC上,
所以存在t∈R,使得BD=tBC=t(AC-AB)(0≤t≤1).(共线向量定理)
因为M是线段AD的中点,
所以BM=12(BA+BD)=12( - AB+tAC - tAB)= - 12(t+1)AB+12tAC.(三角形中线的向量表示)
又BM=λAB+μAC,所以λ= - 12(t+1),μ=12t,(同一基底下向量分解的唯一性)
所以λ+μ= - 12.
解法二　(特殊点法)由题意知,D为边BC上任意一点,不妨令点D与点B重合,
则M就是线段AB的中点.(找特殊点)
显然此时BM=12BA= - 12AB+0AC.
又BM=λAB+μAC,且AB与AC不共线,所以λ= - 12,μ=0,(同一基底下向量分解的唯一性)
故λ+μ= - 12.
B
解后反思
本题中的解法二基于一个前提:D为边BC上任意一点.故可根据图形选取一些特殊点来验证选项,当然也可让点D与点C重合,则M为AC的中点,此时BM=12(BA+BC)=12[BA+(BA+AC)]=BA+12AC= - AB+12AC,根据已知得λ= - 1,μ=12,故λ+μ= - 12.此外,本题对△ABC没有特殊的条件限制,所以也可以找特殊三角形——直角三角形,并利用坐标法求解.
2.(1)[2019河南新乡三模]设向量e1,e2是平面内的一组基底,若向量a= - 3e1 - e2与b=e1 - λe2共线,则λ=(　　)
A.13 B. - 13 C. - 3 D.3
(2)如图6 - 1 - 4,在△ABC中,点P在BC上,且满足BP=2PC,过点P的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,N.若AM=mAB,AN=nAC(m>0,n>0),则m+2n的最小值为(　　)

图6-1-4
A.3 B.4 C.83 D.103
考法3 平面向量的坐标运算及应用
命题角度1　平面向量的坐标运算
6给定平面内三个向量a=(3,2),b=( - 1,2),c=(4,1).
(1)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;
(2)若(a+kc)∥(2b - a),求实数k的值;
(3)若d满足(d - c)∥(a+b),且|d - c|=5,求d的坐标.
(1)直接利用向量的坐标运算得到关于m,n的方程组;(2)根据向量平行的坐标表示,得到关于k的方程;(3)根据给出的两个条件,利用坐标运算可得到关于向量d的坐标的方程组.解以上方程(组)即可.
(1)由题意得(3,2)=m( - 1,2)+n(4,1),
所以-m+4n=3,2m+n=2,解得m=59,n=89.
(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b - a=( - 5,2),
由题意得2×(3+4k) - ( - 5)×(2+k)=0,解得k= - 1613.
(3)设d=(x,y),则d - c=(x - 4,y - 1),
又a+b=(2,4),|d - c|=5,
所以4(x-4)-2(y-1)=0,(x-4)2+(y-1)2=5,解得x=3,y=-1或x=5,y=3.
所以d的坐标为(3, - 1)或(5,3).
命题角度2　坐标法在向量中的应用
7[2017全国卷Ⅲ]在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.22 C.5 D.2
根据已知画出图形,通过建立平面直角坐标系,运用坐标法求解.
以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立如图6- 1 - 5所示的平面直角坐标系,

图6-1-5
则A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2).可得直线BD的方程为2x+y - 2=0,点C到直线BD的距离d=212+22=25,
所以圆C的方程为(x - 1)2+(y - 2)2=45.
因为点P在圆C上,
所以可设P(1+255cos θ,2+255sin θ).
易知AB=(1,0),AD=(0,2),AP=λAB+μAD=(λ,2μ),
所以1+255cosθ=λ,2+255sinθ=2μ,所以λ+μ=2+255cos θ+55sin θ=2+sin(θ+φ)≤3,其中φ满足tan φ=2.所以λ+μ的最大值为3.
A
解后反思　
本题先通过建立平面直角坐标系,引入向量的坐标运算,然后用三角函数的知识求出λ+μ的最大值.引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决,体现了用坐标法解决问题的优势.
3.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为2π3.如图6 - 1 - 6所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则x+y的最大值为　　　　. 

图6-1-6
291













1.C　对于①,当a=0时,不正确;
对于②,根据平行向量和相等向量的定义可知正确;
对于③,当a+b=0时,a+b的方向是任意的,它可以与a,b的方向都不相同,故③不正确;
对于④,由相等向量的定义可知,④正确;
对于⑤,若向量AB与向量CD是共线向量,由共线向量的定义可知,点A,B,C,D不一定在同一条直线上,故⑤不正确;
对于⑥,当a=0时,不论λ为何值,λa=0,故⑥不正确.故选C.
2.A　由题意得AD=AC+CD=AC+13BC=AC+13AC - 13AB= - 13AB+43AC,故选A.
3.D　设C(x,y),由AC+AB=0得AC=BA,即(x+1,y - 2)=( - 3,3),所以x+1= - 3,y - 2=3,解得x= - 4,y=5,所以点C的坐标为( - 4,5),故选D.
4.A　依题意得a - b=( - 1,1),|a - b|=( - 1)2+12=2,因此选A.
5.D　对于min{|a+b|,|a - b|}与min{|a|,|b|}的比较,相当于把以|a|与|b|为邻边的平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长度的较小者比较,它们的大小关系不定,因此A,B均错.而|a+b|,|a - b|中的较大者与|a|,|b|可构成非锐角三角形的三边,因此有max{|a+b|2,|a - b|2}≥|a|2+|b|2,故选D.
6.12　由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,λ),且c∥(2a+b),所以1×2=4λ,即λ=12.
7.12　由于λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数μ,使得λa+b=μ(a+2b),即(λ - μ)a+(1 - 2μ)b=0.
因为向量a,b不平行,所以λ - μ=0,1 - 2μ=0,解得λ=μ=12.
8.12　 - 16　由题中条件得MN=MC+CN=13AC+12CB=13AC+12(AB - AC)=12AB - 16AC=xAB+yAC,所以x=12,y= - 16.

1.C　解法一　根据图形,由题意可得AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23(BA+AD+DC)=13AB+23(AD+DC)=13AB+23(AD+14AB)=12AB+23AD.
因为AE=rAB+sAD,所以r=12,s=23,所以2r+3s=1+2=3.
解法二　因为BE=2EC,所以AE - AB=2(AC - AE),
整理,得AE=13AB+23AC=13AB+23(AD+DC)=12AB+23AD,以下同解法一.
解法三　如图D 6 - 1 - 1,延长AD,BC交于点P,

图D 6 - 1 - 1
则由DC=14AB得DC∥AB,且AB=4DC.
又BE=2EC,所以E为PB的中点,且AP=43AD.
所以AE=12(AB+AP)=12(AB+43AD)=12AB+23AD.
以下同解法一.
解法四　如图D 6 - 1 - 2,建立平面直角坐标系xAy,

图D 6 - 1 - 2
依题意可设点B(4m,0),D(3m,3h),E(4m,2h),其中m>0,h>0.
由AE=rAB+sAD,得(4m,2h)=r(4m,0)+s(3m,3h),
所以4m=4mr+3ms,2h=3hs,解得r=12,s=23,
所以2r+3s=1+2=3.
【解后反思】　解法一侧重利用向量加法运算及其几何意义进行分析;解法二的切入点是根据向量等式BE=2EC,将向量AE用向量AB,AC线性表示;解法三巧作辅助线,利用向量等式DC=14AB表示的几何意义进行分析;解法四通过建立平面直角坐标系,借助向量的坐标运算进行求解.
2.(1)B　解法一　因为a与b共线,所以存在唯一实数μ,使得a=μb,即 - 3e1 - e2=μ(e1 - λe2).故μ= - 3, - λμ= - 1,解得λ= - 13.故选B.
解法二　因为向量e1,e2是平面内的一组基底,故由a与b共线可得,1 - 3= - λ - 1,解得λ= - 13.故选B.
【解后反思】　本题中的解法二实质就是类比两向量共线的坐标条件——对应坐标成比例.显然,a与b在e1,e2这组基底下的坐标可以分别表示为( - 3, - 1),(1, - λ),故两个向量共线的条件为1 - 3= - λ - 1.
(2)A　解法一　连接AP,因为BP=2PC,所以BP=23BC,
则AP=AB+BP
=AB+23(AC - AB)
=13AB+23AC
=13mAM+23nAN.
因为M,P,N三点共线,所以13m+23n=1,所以m=n3n - 2.
由m>0,n>0,得3n - 2>0,
所以m+2n=n3n - 2+2n
=6n2 - 3n3n - 2
=23(3n - 2)2+53(3n - 2)+233n - 2
=23(3n - 2+13n - 2)+53
≥23×2+53
=3,
当且仅当3n - 2=13n - 2,即n=1时等号成立.
当n=1时,m=n3n - 2=1.
所以m+2n的最小值为3.故选A.
解法二　由解法一可得13m+23n=1,
所以m+2n=(m+2n)(13m+23n)
=13+43+2n3m+2m3n
=53+23(nm+mn).
因为m>0,n>0,所以由基本不等式可得53+23(nm+mn)≥53+23×2nm×mn=53+43=3,
当且仅当nm=mn,即m=n时等号成立.
又13m+23n=1,所以m=n=1.
所以m+2n的最小值为3.故选A.
3.2　以O为坐标原点,OA的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图D 6 - 1 - 3所示,

图D 6 - 1 - 3
则A(1,0),B( - 12,32).
设∠AOC=α,α∈[0,2π3],则C(cos α,sin α).
由OC=xOA+yOB,得cosα=x - 12y,sinα=32y,
所以x=cos α+33sin α,y=233sin α,
所以x+y=cos α+3sin α=2sin(α+π6).
又α∈[0,2π3],所以当α=π3时,x+y取得最大值2.