2024年高考数学第一轮复习精品导学案第35讲 平面向量的基本定理与坐标运算（学生版）+教师版

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如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2、平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3、平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
4、平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[常用结论与微点提醒]
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
1、【2022年全国乙卷】已知向量a=(2,1)，b=(-2,4)，则a-b（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】
因为a-b=2,1--2,4=4,-3，所以a-b=42+-32=5.
故选：D
2、【2019年新课标2卷文科】已知向量，则
A．B．2
C．5D．50
【答案】A
【解析】
由已知，，
所以，
故选A
3、【2018年新课标1卷理科】在△中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
4、【2021年乙卷文科】已知向量，若，则_________．
【答案】
【解析】
由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
1、（2022·广州一模）已知向量a＝(m，2)，b＝(3，－6)，若a＝λb，则实数m的值是( )
A. －4 B. －1 C. 1 D. 4
【解析】 由a＝λb，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3λ，,2＝－6λ，))所以m＝－1.
【答案】 B
2、 在△ABC中，BE是边AC上的中线，O是BE的中点，若 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则 eq \(AO,\s\up6(→))等于( )
A. eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,2)b B. eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,3)b
C. eq \f(1,4)a＋ eq \f(1,2)b D. eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,4)b
【答案】 D
【解析】 因为在△ABC中，BE是边AC上的中线，所以 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)).因为O是BE的中点，所以 eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)（ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AE,\s\up6(→))）＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a＋ eq \f(1,4)b.
3、如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为 ．
【答案】 a＝－2e1＋e2
【解析】 以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由题图可得e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1).设a＝xe1＋ye2＝x(1，0)＋y(－1，1)＝(x－y，y)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝－3，,y＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))故a＝－2e1＋e2.
4、已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且eq \(EC,\s\up6(→))＝2eq \(AE,\s\up6(→))，则向量eq \(EM,\s\up6(→))＝________(用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))表示)．
【答案】 eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→))
【解析】 如图，∵eq \(EC,\s\up6(→))＝2eq \(AE,\s\up6(→))，
∴eq \(EM,\s\up6(→))＝eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→))．
考向一 平面向量基本定理的应用
例1、如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．
【解析】 设 eq \(BM,\s\up6(→))＝e1， eq \(CN,\s\up6(→))＝e2，
则 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1，
eq \(BN,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CN,\s\up6(→))＝2e1＋e2.
因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使得 eq \(AP,\s\up6(→))＝λ eq \(AM,\s\up6(→))＝－λe1－3λe2，
eq \(BP,\s\up6(→))＝μ eq \(BN,\s\up6(→))＝2μe1＋μe2，
故 eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \(BP,\s\up6(→))＋ eq \(PA,\s\up6(→))＝ eq \(BP,\s\up6(→))－ eq \(AP,\s\up6(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
又 eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，
所以由平面向量基本定理，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))
解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5)，))所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(4,5) eq \(AM,\s\up6(→))， eq \(BP,\s\up6(→))＝ eq \f(3,5) eq \(BN,\s\up6(→))，
所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
变式1、在△OAB中，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，AD与BC交于点M，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，以a，b为基底表示eq \(OM,\s\up6(→))．
【解析】：法1 取的中点，连接，则，
，，，
法2 设eq \(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb (m，n∈R)，
则eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(m－1)a＋nb，
eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b－a＝－a＋eq \f(1,2)b．
因为A，M，D三点共线，所以eq \f(m－1,－1)＝eq \f(n,\f(1,2))，即m＋2n＝1．
而eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋nb，
eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝b－eq \f(1,4)a＝－eq \f(1,4)a＋b，
因为C，M，B三点共线，所以eq \f(m－\f(1,4),－\f(1,4))＝eq \f(n,1)，
即4m＋n＝1．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋2n＝1，,4m＋n＝1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,7)，,n＝\f(3,7).))
所以eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,7)a＋eq \f(3,7)b．
变式2、（2022·山东泰安·高三期末）如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，则___________，的最小值为___________.
【答案】2
【分析】
先得出，设出得出，则，两问分别代入计算即可.
【详解】
因为在中，，
所以,
即.
因为点在线段上移动（不含端点），所以设.
所以，对比可得.
代入，得；
代入可得，根据二次函数性质知当时，.
故答案为：
方法总结：1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决；
3．既然eq \(OM,\s\up6(→))能用a，b表示，那我们不妨设出eq \(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb；
4．利用向量共线建立方程，用方程的思想求解．
考向二 二平面向量的坐标运算
例2、已知点A(2，1)，B(3，5)，C(3，2)， eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋t eq \(AC,\s\up6(→)) (t∈R)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是 ．
【答案】 (－5，－3)
【解析】 设点P(x，y)，则由 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋t eq \(AC,\s\up6(→)) (t∈R)，得(x－2，y－1)＝(1，4)＋t(1，1)＝(1＋t，4＋t)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝1＋t，,y－1＝4＋t，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋t，,y＝5＋t.))由点P在第二象限，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋t＜0，,y＝5＋t＞0，))解得－5＜t＜－3.
变式1、 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).
(1) 若 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝0，求 eq \(OP,\s\up6(→))的坐标；
(2) 若 eq \(OP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AC,\s\up6(→)) (m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n的值．
【解析】 (1) 设点P的坐标为(x，y).
因为 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
所以(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)＝0，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))
所以点P的坐标为(2，2)，故 eq \(OP,\s\up6(→))＝(2，2).
(2) 设点P的坐标为(x0，y0).
因为点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，2)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，1).
因为 eq \(OP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AC,\s\up6(→))，
所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝m＋2n，,y0＝2m＋n，))两式相减，得m－n＝y0－x0.
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.
变式2、已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3c，eq \(CN,\s\up6(→))＝－2b，
（1）求3a＋b－3c；
（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
（3）求M，N的坐标及向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐标．
【解析】：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)
（1）3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
（2）∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
（3）设O为坐标原点，∵eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝3c，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，
∴M(0，20)．
又∵eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝－2b，
∴eq \(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq \(OC,\s\up6(→))＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
∴N(9，2)．
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．
方法总结：求解向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化
向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数
利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
考向三 用坐标表示解决共线问题
例3、平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq \r(5)，求d的坐标．
【解析】(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，
2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－eq \f(16,13).
(2)设d＝(x，y)，
则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝eq \r(5)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝3.))
∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．
变式1、已知O为坐标原点，向量 eq \(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(5，－3)， eq \(OC,\s\up6(→))＝(4－m，m＋2).若点D（0， eq \f(3,2)m），求证：对任意实数m，都有 eq \(AB,\s\up6(→))∥ eq \(DC,\s\up6(→)).
【解析】 由题意，得 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，1)，
eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(OD,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－4，\f(1,2)m－2)).
因为2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)m－2))－(m－4)＝0，
所以 eq \(AB,\s\up6(→))∥ eq \(DC,\s\up6(→)).
变式2、（1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
(2)已知向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝________.
【答案】(1)eq \f(1,2) (2)－eq \f(2,3)
【解析】(1)因为2a＋b＝(4,2)，c∥(2a＋b)，
所以4λ＝2，解得λ＝eq \f(1,2).
(2)eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝(4－k，－7)，
eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq \f(2,3).
方法总结：1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
1、（2023·广东广州·统考二模）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，即，
当，即时，满足，而无意义，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2、（2022·广东潮州·高三期末）在的等腰直角中，为的中点，为的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】以为原点建立直角坐标系，
设，，则，，
则，，
所以，所以.
故选：A
3、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）下列说法不正确的是（ ）
A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
B．若，，不共线，且，则，，、四点共面
C．对同一平面内给定的三个向量，，，一定存在唯一的一对实数，，使得.
D．中，若，则一定是钝角三角形.
【答案】ACD
【解析】对于A，依题意，，且与不同向共线，求得，解得：且，A错误；
对于B，由，则，即，
于是得共面，且公共起点C，而，，不共线，，，，四点共面，B正确；
对于C，同一平面内不共线的非零向量，，，才存在唯一的一对实数，，使得，否则不成立，C错误；
对于D，在中，，则，于是得是锐角，不能确定是钝角三角形，D错误.
故选：ACD
4、（2023春·广东江门·高三校联考开学考试）已知向量，且，则m=______.
【答案】2
【解析】因为，，
由，得.
故答案为：2.
5、（清远市高三期末试题）在平行四边形中，是线段的中点，若，则_________.
【答案】
【解析】
四边形为平行四边形，为中点，为中点，
，，，
.
故答案为：.