高中数学人教版新课标A必修24.3 空间直角坐标系优秀同步训练题

4．3　空间直角坐标系

4．3．1　空间直角坐标系

4．3．2　空间两点间的距离公式

A级　基础巩固

一、选择题

1．下列命题中错误的是(　A　)

A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)

B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)

C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c)

D．在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c)

[解析]　空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)．

2．在空间直角坐标系中，点M(3，0，2)位于(　C　)

A．y轴上　　　　　　　 B．x轴上

C．xOz平面内  D．yOz平面内

[解析]　由x＝3，y＝0，z＝2可知点M位于xOz平面内．

3．若已知点M(3，4，1)，点N(0，0，1)，则线段MN的长为(　A　)

A．5　　　 B．0　　　

C．3　　　 D．1

[解析]　|MN|＝＝5．

4．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为(　C　)

A．(3，0，0)  B．(0，3，0)

C．(0，0，3)  D．(0，0，－3)

[解析]　设P(0，0，z)，则有＝，解得z＝3．

5．点P(－1，2，3)关于xOz平面对称的点的坐标是(　B　)

A．(1，2，3)  B．(－1，－2，3)

C．(－1，2，－3)  D．(1，－2，－3)

[解析]　点P(－1，2，3)关于xOz平面对称的点的坐标是(－1，－2，3)，故选B．

6．已知点A(－3，1，5)与点B(4，3，1)，则AB的中点坐标是(　B　)

A．(，1，－2)  B．(，2，3)

C．(－12，3，5)  D．(，，2)

二、填空题

7．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是__(1，，1)__．

[解析]　由长方体性质可知，M为OB1中点，而B1(2，3，2)，故M(1，，1)．

8．在△ABC中，已知A(－1，2，3)，B(2，－2，3)，C(，，3)，则AB边上的中线CD的长是____．

[解析]　AB中点D坐标为(，0，3)，

|CD|＝＝．

三、解答题

9．已知点A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|的最小值．

[解析]　∵|AB|＝，

＝＝≥，

当x＝时，|AB|取最小值．

10．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)写出点D，N，M的坐标；

(2)求线段MD，MN的长度．

[解析]　(1)因为D是原点，则D(0，0，0)．

由AB＝BC＝2，D1D＝3，

得A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3)．

∵N是AB的中点，∴N(2，1，0)．

同理可得M(1，2，3)．

(2)由两点间距离公式，得

|MD|＝＝，

|MN|＝＝．

B级　素养提升

一、选择题

1．空间直角坐标系中，x轴上到点P(4，1，2)的距离为的点有(　A　)

A．2个　　  B．1个　　

C．0个　　  D．无数个

[解析]　设x轴上满足条件的点为B(x，0，0)，则由|PB|＝，

得＝．

解之得x＝－1或9．

故选A．

2．正方体不在同一面上的两顶点A(－1，2，－1)，B(3，－2，3)，则正方体的体积是(　C　)

A．16  B．192

C．64  D．48

[解析]　|AB|＝＝4，

∴正方体的棱长为＝4．

∴正方体的体积为43＝64．

3．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC是(　A　)

A．直角三角形  B．钝角三角形

C．锐角三角形  D．等腰三角形

[解析]　由两点间距离公式得|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝，满足|AB|2＝|AC|2＋|BC|2．

4．△ABC的顶点坐标是A(3，1，1)，B(－5，2，1)，C(－，2，3)，则它在yOz平面上射影图形的面积是(　D　)

A．4  B．3

C．2  D．1

[解析]　△ABC的顶点在yOz平面上的射影点的坐标分别为A′(0，1，1)，B′(0，2，1)，C′(0，2，3)，△ABC在yOz平面上的射影是一个直角三角形A′B′C′，容易求出它的面积为1．

二、填空题

5．已知P(，，z)到直线AB中点的距离为3，其中A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，则z＝__0或－4__．

[解析]　利用中点坐标公式可得AB中点C(，，－2)，因为|PC|＝3，所以

＝3，解得z＝0或z＝－4．

6．在空间直角坐标系中，正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A(3，－1，2)，其中心M的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长为____．

[解析]　|AM|＝＝，∴对角线|AC1|＝2，

设棱长x，则3x2＝(2)2，∴x＝．

C级　能力拔高

1．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过点B1作B1E⊥BD1于点E，求A、E两点之间的距离．

[解析]　根据题意，可得A(a，0，0)，B(a，a，0)，D1(0，0，a)，B1(a，a，a)．

过点E作EF⊥BD于F，如图所示，

则在Rt△BB1D1中，

|BB1|＝a，|BD1|＝a，|B1D1|＝a，

所以|B1E|＝＝，

所以Rt△BEB1中，|BE|＝a，

由Rt△BEF∽Rt△BD1D，得|BF|＝a，|EF|＝，所以点F的坐标为(，，0)，

则点E的坐标为(，，)．

由两点间的距离公式，得

|AE|＝＝a，

所以A，E两点之间的距离是a．

2．如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如右所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．

[解析]　∵底面是边长为2的正方形，

∴|CE|＝|CF|＝1．

∵O点是坐标原点，

∴C(1，1，0)，同样的方法可以确定B(1，－1，0)，A(－1，－1，0)，D(－1，1，0)．

∵V在z轴上，∴V(0，0，3)．