人教版新课标A必修24.3 空间直角坐标系巩固练习

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课后提升作业 二十四

圆的标准方程

(45分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1.圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是　(　　)

A.π      B.2π

C. 2π       D.2π

【解析】选B.根据圆的方程知半径为，所以该圆的周长为2πr=2π.

2.圆x2+y2=1的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是　(　　)

A.5   B.3   C.4   D.2

【解析】选A.圆x2+y2=1的圆心为(0，0)，

所以d==5.

3.(2016·武汉高一检测)已知点P(3，2)和圆的方程(x-2)2+(y-3)2=4，则它们的位置关系为　(　　)

A.在圆心      B.在圆上

C.在圆内      D.在圆外

【解析】选C.因为(3-2)2+(2-3)2=2<4，

所以点P在圆内.

4.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0，0)对称的圆的标准方程为　(　　)

A.(x-2)2+y2=5     B.x2+(y-2)2=5

C. (x+2)2+(y+2)2=5    D.x2+(y+2)2=5

【解析】选A.圆(x+2)2+y2=5的圆心为(-2，0)，则关于(0，0)对称的圆的圆心为(2，0)，半径不变.

【延伸探究】圆(x+2)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的方程为________.
【解析】设圆心为(a，b)，则=，
=-1，所以半径不变.
答案：x2+(y+2)2=5

5.已知一圆的圆心为点A(2，-3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是　(　　)

A.(x+2)2+(y-3)2=13

B.(x-2)2+(y+3)2=13

C.(x-2)2+(y+3)2=52

D.(x+2)2+(y-3)2=52

【解析】选B.如图，结合圆的性质可知，圆的半径r=

=.

故所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13..Com]

6.(2016·黑龙江高一检测)当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为　(　　)

A.(x-1)2+ (y+2)2=5     B.(x+1)2+(y+2)2=5

C.(x+1)2+(y-2)2=5     D.(x-1)2+(y-2)2=5

【解析】选C.直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0.

由得所以点C(-1，2)，所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.

7.(2016·北京高一检测)设实数x，y满足(x-2)2+y2=3，那么的最大值是　(　　)

A.    B.    C.    D.

【解题指南】利用的几何意义求解，即=表示P(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率，结合图形即可求出的最大值.

【解析】选D.如图所示，设过原点的直线方程为y=kx，则与圆有交点的直线中，kmax=，所以的最大值为.

8.(2015·湖南高考)已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为，则的最大值为　(　　)

A.6    B.7    C.8    D.9

【解析】选B.由题意得，AC为圆的直径，

故可设A(m，n)，C(-m，-n)，B(x，y)，

所以++=(x-6，y)，

而(x-6)2+y2=37-12x≤49，

所以的最大值为7.

二、填空题(每小题5分，共10分)

9.(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为　　　　.

【解析】设C(a,0)(a>0),由题意知=,解得a=2,所以r==3,故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.

答案:(x-2)2+y2=9

【补偿训练】若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆C的方程是________.

【解析】如图所示，设圆心C(a，0)，则圆心C到直线x+2y=0的距离为=，解得a=-5，a=5(舍去)，

所以圆心是(-5，0).故圆的方程是(x+5)2+y2=5.

答案：(x+5)2+y2=5

10.(2016·大庆高一检测)点(5+1，)在圆(x-1)2+y2=26的内部，则a的取值范围是________.

【解析】由于点在圆的内部，所以(5+1-1)2+()2<26，

即26a<26，又a≥0，解得0≤a<1.

答案：0≤a<1

三、解答题(每小题10分，共20分)

11.(2016·郑州高一检测)求经过A(-1，4)，B(3，2)两点且圆心在y轴上的圆的方程.

【解析】设圆心坐标为(a，b).

因为圆心在y轴上，所以a=0.

设圆的标准方程为x2+(y-b)2=r2.

因为该圆过A，B两点，

所以解得

所以所求圆的方程为x2+(y-1)2=10.

12.(2016·台州高一检测)已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).

(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值.

(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围.

【解析】(1)因为点M在圆上，

所以(6-5)2+(9-6)2=a2，

又由a>0，可得a=.

(2)由两点间距离公式可得

|PN|==，

|QN|==3，

因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆内，另一个在圆外，由于3<，所以3<a<，即a的取值范围是(3，).

【能力挑战题】

已知以点C为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)，且圆心在直线x+3y-15=0上.

(1)求圆C的方程.

(2)设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值.

【解析】(1)依题意知所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x+3y-15=0的交点，

因为AB中点为(1，2)，斜率为1，

所以AB垂直平分线方程为y-2=-(x-1)，

即y=-x+3.

联立解得即圆心为(-3，6)，半径r==2，

所以所求圆的方程为(x+3)2+(y-6)2=40.

(2)|AB|==4，圆心到AB的距离为d=4，P到AB距离的最大值为d+r=4+2，

所以△PAB面积的最大值为×4×(4+2)=16+8.

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