2021年湖南省长沙市天心区八年级上学期数学期中试卷

这是一份2021年湖南省长沙市天心区八年级上学期数学期中试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在平面直角坐标系中点M（1，﹣2）在第（ ）象限.
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.下面的调查方式中，你认为合适的是（ ）
A. 调查市场上酸奶的质量情况，采用抽样调查方式
B. 了解长沙市居民日平均用水量，采用全面调查方式
C. 乘坐飞机前的安检，采用抽样调查方式
D. 某LED灯厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式
4.下列运算正确的是（ ）
A. （m﹣n）（﹣m﹣n）＝﹣m2﹣n2 B. （﹣1+mn）（1+mn）＝﹣1﹣m2n2
C. （﹣m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2 D. （2m﹣3）（2m+3）＝4m2﹣9
5.将点A（﹣2，3）通过以下哪种方式的平移，得到点A'（﹣5，7）（ ）
A. 沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
B. 沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度
C. 沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度
D. 沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度
6.下列运算正确的是（ ）
A. a2•a3=a6 B. （a2）3=a5 C. （2a）2=4a2 D. 3a2÷a2=3a
7.如图， 中， ， 是 中点，下列结论中错误的是（ ）．
A. B. C. 平分 D.
8.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A. 30石 B. 150石 C. 300石 D. 50石
9.若(x+3)(x-5)=x2-mx-15，则m的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 5 D. -5
10.如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE= 5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（ ）
A. 21cm B. 26cm C. 28cm D. 31cm
11.已知x+y＝5，xy＝3，则x2+y2等于（ ）
A. ﹣19 B. 19 C. ﹣25 D. 25
12.如图， 均为等边三角形， 三点共线，且 是 的中点，下列结论：① ；② 为等腰三角形；③ ；④ ⑤ ，其中正确的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题
13.等腰三角形的一个角是110°，则它的底角是 ．

14.计算：3a2b•（﹣2ab3）2=________．
15.如果点P（a﹣1，a+2）在x轴上，则a的值为________．
16.定义一种新运算A※B＝A2+AB ． 例如（﹣2）※5＝（﹣2）2+（﹣2）×5＝﹣6．按照这种运算规定，（x+2）※（2﹣x）＝20，则x＝________．
17.如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=2， ，则△A1B1A2的面积是________，△AnBnAn+1的面积是________．
三、解答题
18.如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F. 求△AEF的周长．
19.计算：
（1）x（4x2﹣x）+x3÷x；
（2）（x﹣y）（x+3y）﹣x（x+2y）．
20.先化简，再求值：（2+3x）（2﹣3x）+5x（x﹣1）+（2x﹣1）2 ， 其 ．
21.某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．
请结合以上信息解答下列问题：
（1）m=________；
（2）请补全上面的条形统计图；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为________；
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有________名学生最喜爱足球活动．
22.如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（3，3），B（﹣3，﹣3），C（1，﹣3）．
（1）画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A的对应点A1的坐标是________，点B的对应点B1的坐标是________，点C的对应点C1的坐标是________；
（3）请直接写出第四象限内以AB为边且与△ABC全等的三角形的第三个顶点（不与C重合）的坐标________。
23.已知：△A1B1C1三个顶点的坐标分别为A1（﹣3，4），B1（﹣1，3），C1（1，6），把△A1B1C1先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△ABC ， 且点A1的对应点为A ， 点B1的对应点为B ， 点C1的对应点为C ．
（1）在坐标系中画出△ABC；
（2）求△ABC的面积；
（3）设点P在y轴上，且△APB与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
24.如图，在 ABC中，AB＝AC ， 点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF ， CE＝DB ．
（1）求证： DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEB+∠FEC的度数；
（3）当∠EDF＝60°时，求∠A的度数．
25.如图，在△ABC中．AB=AC ， 点E在线段BC上，连接AE并延长到G ， 使得EG=AE ， 过点G作GD∥BA分别交BC ， AC于点F ， D ．
（1）求证：△ABE≌△GFE；
（2）若GD=3，CD=1，求AB的长度；
（3）过点D作DH⊥BC于H ， P是直线DH上的一个动点，连接AF ， AP ， FP ， 若∠C=45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．
26.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t ， 已知点A坐标为（a ， b），且满足（a﹣6）2+| a﹣b|=0．
（1）求A点坐标；
（2）如图1，连接BP、OQ交于点C ， 请问当t为何值时，∠OCP=60°；
（3）如图2，D为OB边上的中点，P ， Q在运动过程中，D ， P ， Q三点是否能构成使∠PDQ=120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴点M(1， )在第四象限，
故答案为：D.
【分析】点的坐标符号与象限的关系为：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-），从而即可判断得出答案.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：B．

【分析】根据轴对称图形的含义和性质判断得到答案即可。
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：A ． 调查市场上酸奶的质量情况，适合采用抽样调查方式，故本选项符合题意；
B ． 了解长沙市居民日平均用水量，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
C ． 乘坐飞机前的安检，适合采用全面调查方式，故本选项不符合题意；
D ． 某LED灯厂要检测一批灯管的使用寿命，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
故答案为：A ．

【分析】根据全面调查和抽样调查的含义分别进行判断即可得到答案。
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：A ． （m﹣n）（﹣m﹣n）＝﹣（m+n）（m﹣n）＝﹣（m2﹣n2）＝n2﹣m2 ， 故本选项不合题意；
B ． （﹣1+mn）（1+mn）＝（mn）2﹣12＝m2n2﹣1，故本选项不合题意；
C ． （﹣m+n）（m﹣n）＝﹣（m﹣n）（m﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣m2+2mn﹣n2 ， 故本选项不合题意；
D ． （2m﹣3）（2m+3）＝4m2﹣9，故本选项符合题意．
故答案为：D ．

【分析】根据平方差公式以及多项式乘多项式的性质，分别判断得到答案即可。
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵点A（﹣2，3），A'（﹣5，7），
∴点A沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度得到点A′，
故答案为：D ．

【分析】根据题意，由点A的坐标，结合平移的性质，进行判断即可。
6.【答案】 C
【解析】【解答】A ． a2•a3=a5 ， 故本选项不合题意；
B ． (a2)3=a6 ， 故本选项不合题意；
C ． (2a)2=4a2 ， 故本选项符合题意；
D ． 3a2÷a2=3，故本选项不合题意．
故答案为：C ．

【分析】根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方以及积的乘方的含义，分别判断得到答案即可。
7.【答案】 D
【解析】【解答】A、等腰三角形的两个底角相等，所以 ，故A项结论不符合题意；
B、C项，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线以及底边上的高线“三线合一”，所以 ， 平分 ，故B、C项结论均不符合题意；
D、由于三角形角度不确定，故无法得到AB 和BD的关系，故D项结论符合题意，
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形的性质，分别进行判断即可得到答案。
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：根据题意得：
1500× =150（石），
答：这批米内夹谷约为150石；
故答案为：B ．

【分析】根据题意，由样本估算整体的思想进行计算即可得到答案。
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴－m=－2，
∴m=2.
故答案为：A.
【分析】根据多项式乘多项式，把等式的左边化成 的形式，再求出m的值即可.
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的周长是16，
∴ ，
的周长 .
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的性质得到 ，将 的周长表示成 的周长加上AC长求解.
11.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵x+y＝5，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×3＝25﹣6＝19，
故答案为：B ．
【分析】根据完全平方公式，即可解答．
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵△ADE、△DFG，△ABC为等边三角形，
∴DA=DE，DF=DG，∠ADE=∠FDG=∠AED=∠ACB=∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠ADG=∠EDF，∠DAB=∠CAE，
∴△ADG≌△EDF，故①正确，
∴AG=EF,
∴AG= EC,
如下图，当D、G、E共线时，显然AG≠AE，AG≠AB，
∴EC≠AE，EC≠AC，
∴ 不是等腰三角形, 故②错误，
∵AD+EG=DE+GE＞DG，DG=DF
∴AD+EG＞DF，故③错误.
∵△ADG≌△EDF，
∴∠DEF=∠DAG，
∵∠DEF+∠AED=∠EAC+∠ACE=∠EAC+∠ACB-∠BCE，
∴∠EAC-∠DEF=∠BCE，
∵∠BAG=∠DAB-∠DAG=∠EAC-∠DEF，
∴∠BAG=∠BCE，故④正确，
∵△ADG≌△EDF，
∴AG=EF=EC,
∵∠BAG=∠BCE，AB=BC
∴△ABG≌△BCE，
∴∠ABG=∠EBC，BG=BE,
∴∠EBG=∠ABC= ，
∴ 为等边三角形,
∴∠BEG = ，故⑤正确，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质证明△ADG≌△EDF，△ABG≌△BCE，然后一一判断即可.
二、填空题
13.【答案】 35°
【解析】【解答】解：①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣110°）÷2=35°；
②当这个角是底角时，另一个底角为110°，因为110°+110°=240°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：35°．
【分析】三角形中最多有一个钝角，所以110°一定是等腰三角形的顶角，所以它的底角是35°.
14.【答案】 12a4b7
【解析】【解答】解：3a2b•(﹣2ab3)2
=3a2b•4a2b6
=12a4b7 ．
故答案为：12a4b7 ．

【分析】根据题意，由积的乘方等于各因式乘方的积以及同底数幂的乘法计算得到答案即可。
15.【答案】 ﹣2
【解析】【解答】解：∵点P（a﹣1，a+2）在x轴上，
∴a+2＝0，
解得a＝﹣2，
故答案为：﹣2．

【分析】根据点P在x轴上，即可得到P点的纵坐标为0，继而求出a的值。
16.【答案】 3
【解析】【解答】解：根据题意得（x+2）2+（x+2）（2﹣x）＝20，
∴x2+4x+4+4﹣x2＝20，
∴4x+8＝20，
4x＝12，
解得x＝3，
故答案为：3．

【分析】根据规定的新运算，按照运算法则进行计算即可得到答案，
17.【答案】 ；22n﹣2
【解析】【解答】解：如图，
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1 ， ∠2=∠3=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=60°﹣30°=30°，
∴OA1=A1B1=A1A2=2，
∴等边三角形边上的高为 ，
∴△A1B1A2的面积是： 2× = ；
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
同理可得：
OA2=A2B2=A2A3=4，
∴高为2 ，
∴△A2B2A3的面积是： 4×2 =4 ；
∵OA3=A3B3=A3A4=23=8，
∴高为4 ，
∴△A3B3A4的面积是： 8×4 =16 =24 ；
…
△AnBnAn+1的面积是：22n﹣2 ；
故答案为： ，22n﹣2 ．

【分析】观察图形的变化，根据等边三角形的性质可得前几个等边三角形的面积，进而求出答案即可。
三、解答题
18.【答案】 解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∵AB＝6，AC＝7，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝6+7＝13．
【解析】【分析】根据平行线的性质即可得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，继而根据角平分线的性质得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，根据等量代换求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，即可得到ED=EB，FD=FC。
19.【答案】 （1）解：x（4x2﹣x）+x3÷x
=4x3﹣x2+x2
=4x3；
（2）解：（x﹣y）（x+3y）﹣x（x+2y）
=x2+3xy﹣xy﹣3y2﹣x2﹣2xy
=﹣3y2 ．
【解析】【分析】（1）根据单项式乘多项式、同底数幂的乘除法进行运算即可；
（2）根据多项式乘多项式、单项式乘多项式进行运算得到答案即可。
20.【答案】 解：（2+3x）（2﹣3x）+5x（x﹣1）+（2x﹣1）2
＝4﹣9x2+5x2﹣5x+4x2﹣4x+1
＝﹣9x+5，
当 时，原式＝ ．
【解析】【分析】根据多项式乘单项式、完全平方公式、单项式乘多项式化简式子，继而代入x的值，求出答案即可。
21.【答案】 （1）150
（2）解：如下图所示：
（3）36°
（4）240
【解析】【解答】解：（1）m=21÷14%=150，（2）“足球“的人数=150×20%=30人，
补全上面的条形统计图如图所示；（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°× =36°；（4）1200×20%=240人，
答：估计该校约有240名学生最喜爱足球活动．
故答案为：150，36°，240．
【分析】（1）根据图中信息列式计算即可；（2）求得“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图即可；（3）360°×乒乓球”所占的百分比即可得到结论；（4）根据题意计算计算即可．
22.【答案】 （1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）（-3，3）；（3，-3）；（-1，-3）
（3）（3，-1）
【解析】【解答】（2）A1（-3，3），B1（3，-3），C1（-1，-3），
故答案为：（-3，3），（3，-3），（-1，-3）；（3）如图，△ △ ，且点 在第四象限内，
∴ （3，-1）；
故答案为：（3，-1）．

【分析】（1）根据题意，在网格上找出三角形ABC关于y轴的对称点，依次连接即可得到答案；
（2）根据平面直角坐标系，求出各点的坐标即可；
（3）根据以AB为公共边且与三角形ABC全等的三角形的第三个顶点的位置，写出其坐标即可。
23.【答案】 （1）解：如图，△ABC即为所求．
（2）解：S△ABC＝3×4﹣ ×2×4﹣ ×1×2﹣ ×2×3＝4．
（3）解：设P（0，m），由题意， •|m﹣1|•2＝4，
解得，m＝5或﹣3，
∴P（0，5）或（0，﹣3）．
【解析】【分析】（1）分别作出三角形三个顶点的对应点，即可得到三角形ABC；
（2）在网格图中，根据分割法求出面积即可；
（3）设出P点的坐标，根据三角形的面积，列出方程，即可得到答案。
24.【答案】 （1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在 DBE和 CEF中，
，
∴ DBE≌ CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴ DEF是等腰三角形；
（2）解：∵ DBE≌ CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，∠DEB＝∠EFC，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝ ×（180°﹣50°）＝65°，
∴∠BDE+∠CEF＝115°，
∴∠DEB+∠FEC＝115°，
∴∠DEB+∠FEC＝115°，
（3）解：∵∠EDF＝60°，DE＝EF，
∴ DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝60°，
∵ DBE≌ CEF，
∴∠BDE＝∠CEF，∠DEB＝∠EFC，
∵∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE，
∴∠B＝∠DEF＝60°，
∴∠C＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS以及全等三角形的性质，即可得到DE=EF，求出三角形DEF为等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的性质即可得到∠B的度数，继而由三角形的内角和定理以及全等三角形的性质求出答案即可；
（3）根据（2）的结论，∠DEF=∠B，继而得到三角形ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质计算得到∠A的度数即可。
25.【答案】 （1）证明：如图1中，
∵GD∥AB，
∴∠B=∠EFG，
在△ABE和△GFE中，
，
∴△ABE≌△GFE（AAS）；
（2）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵DF∥AB，
∴∠DFC=∠B，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DC=DF=1，
∵DG=3，
∴FG=DG﹣DF=2，
∵△ABE≌△GFE，
∴AB=GF=2；
（3）解：如图2中，
∵AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠BAC=90°，
∵AB∥FD，
∴∠FDC=∠BAC=90°，即FD⊥AC，
∵AC=AB=2，CD=1，
∴DA=DC，
∴FA=FC，
∴∠C=∠FAC=45°，
∴∠AFC=90°，
∴DF=DA=DC=1，
∴AF= = ，
∵DH⊥CF，
∴FH=CH，
∴点F与点C关于直线PD对称，
∴当点P与D重合时，△PAF的周长最小，
最小值为△ADF的周长：2+ ．
【解析】【分析】（1）结合题意，根据三角形全等的判定定理AAS进行证明即可；
（2）根据题意求出FG的长度，利用全等三角形的性求出答案即可；
（3）根据题意证明点F和点C关于直线PD对称，当点P和点D重合时，△PAF的周长最小，求出答案即可。
26.【答案】 （1）解：∵（a﹣6）2+| a﹣b|=0，
又∵(a﹣6)2≥0，| a﹣b|≥0，
∴a=6，b=6
∴点A（6，6 ）；
（2）解：如图1中，
∵△AOB是等边三角形，点A（6，6 ）
∴AO=BO=AB=12，∠AOB=∠ABO=60°=∠A，
∵∠OCP=60°=∠AOB，
∴∠AOB=∠QOB+∠AOQ=∠QOB+∠PBO=∠PCO=60°，
∴∠AOQ=∠PBO，且AO=BO，∠A=∠AOB=60°，
∴△AOQ≌△OBP（ASA），
∴OP=AQ，
∴12﹣2t=3t，
∴t=2.4，
∴当t=2.4时，∠OCP=60°；
（3）解：如图2中，过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD，
∵△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A（6，6 ）
∴OD=BD=6，∠AOB=∠ABO=60°，AD=6 ，
又∵∠DFO=∠DEB=90°，
∴△ODF≌△BDE（AAS）
∴OF=BE，DF=DE，
∵AO=AB，
∴AO﹣OF=AB﹣BE
∴AF=AE，
∵DF=DE，PD=DQ，
∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL）
∴PF=EQ，
∵OD=6，∠AOD=60°，∠DFO=90°，
∴∠ODF=30°，
∴OF=3，DF= OF=3 ，
∴AF=AO﹣OF=9=AE，BE=OF=3，
∵AP+AQ=AP+AE+EQ=AP+PF+AE=AF+AE=2AF=18，
∴2t+3t=18，
∴t=3.6，
∴当t=3.6时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ=120°的等腰三角形，
∵Rt△DFP≌Rt△DEQ，
∴S△DFP=S△DEQ ，
∴S四边形APDQ=S四边形AFDQ=S△AOB﹣2S△OFD
= ×12×6 ﹣2× ×3×3
=27 ．
【解析】【分析】（1）根据题意，求出a和b的值，即可得到点A的坐标；
（2）根据等边三角形的性质，结合ASA证明△AOQ≌△OBP，即可得到OP=AQ，求出t的值即可；
（3）结合题意证明△ODF≌△BDE，直角△DFP≌直角三角形DEQ，即可得到OF=BE，DF=DE，PF=EQ，求出t的值，根据三角形的面积公式求出四边形的面积即可。