初中数学冀教版九年级上册第27章 反比例函数27.2 反比例函数的图像和性质同步练习题

27.2反比例函数的图像和性质同步练习冀教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，点A是反比例函数的图像上的一点，过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，若的面积为4，则k的值是   

A. 4
B.
C. 8
D.

2. 定义新运算：，则函数的图像大致是   

A.  B.
C.  D.

3. 已知点、、在函数的图像上，则下列判断正确的是   

A.  B.  C.  D.

4. 函数的图像大致是   

A.  B.
C.  D.

5. 函数与在同一坐标系中的图像可能是   

A.  B.
C.  D.

6. 对于反比例函数，下列说法错误的是   

A. 函数图像位于第一、三象限
B. 函数值y随x的增大而减小
C. 若、、是图像上的三个点，则
D. P为图像上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值

7. 如图，曲线l是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线l相交于点M、N，则的面积为

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

8. 已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是

A.  B.  C.  D.

9. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是

A. 图象必经过点 B. y的值随x值的增大而减小
C. 图象在第一、三象限内 D. 若，则

10. 如图，函数与函数的图象相交于点，若，则x的取值范围是

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
 

11. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则a的值可能是

A. 3 B. 2 C. 1 D.

12. 若点，，在反比例函数的图象上，则 ，， 的大小关系为   

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，点A、B在反比例函数的图像上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则的面积是          ．
    
     

14. 如图，反比例函数的图像经过A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，过点B作轴于点E，连接AD，已知，，，则          ．
     

15. 是y关于x的反比例函数，且图像在第二、四象限，则m的值为          ．
16. 如图，若反比例函数的图像经过点A，轴于B，且的面积为6，则          ．
    
     

17. 在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于A，B两点若点A，B的纵坐标分别为，，则的值为          ．
18. 如图，函数与函数的图像相交于点，若，则x的取值范围是          ．
    
    
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于和两点．
     

求反比例函数和一次函数的表达式及n的值

连接OA，OB，求的面积

已知，点，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数的图像于点M，交反比例函数的图像于点若，结合函数图像直接写出a的取值范围：                  ．






 

20. 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
    求反比例函数和一次函数的关系式；
    求的面积；
    观察图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值x取值范围．
     

21. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
    求反比例函数的表达式；
    若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．

22. 如图，反比例函数的图象与矩形OABC的边AB、BC分别交于点F、点E，点D为x轴负半轴上的点，
    求反比例函数的表达式；
    求证：．
    
     

23. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交．
    判断是否经过点．
    若的图象过点，且．
    求的函数表达式．
    当时，比较，的大小．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函双的阳象交于点，与x轴、y轴分别交于点A、B，过点C作轴，垂足为M，若，．
    求反比例函数和一次函数的解析式；
    点D是反比例函数图象在第三象限部分上的一点，且到x轴的距离是3，连接AD、BD，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，直线AB与x轴交于点，与y轴交于点，将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，反比例函数的图象经过点C．
    求直线AB和反比例函数的解析式；
    已知点P是反比例函数图象上的一个动点，求点P到直线AB距离最短时的坐标．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】连接OA，如图，
轴，，
，而，
，
，故选D．

2.【答案】D
 

【解析】依题意，得
当时，函数的图像为双曲线在第一象限的部分
当时，函数的图像为双曲线在第二象限的部分．
故选D．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：，
函数的图像分布在第一、三象限，
在每个象限内，y随x的增大而减小，
，
，，
．
故选C．
 

4.【答案】A
 

【解析】解：函数的图像是双曲线，
其图像在第二、四象限内，
只有A选项符合题意．
故选A．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：若反比例函数的图像在第一三象限，
则，
，
一次函数的图像经过第一、三、四象限，
故A、B选项错误
若反比例函数的图像在第二、四象限，
则，
，
一次函数的图像经过第一、二、四象限，
故C选项错误，
D选项正确．
故选D．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：A．，
它的图像位于第一、三象限，
故A选项说法正确
B.它的图像在第一、三象限，
在每个象限内，y随x的增大而减小，
故B选项说法错误
C.，
，
，， ，
，
，
故C选项说法正确
D.为图像上任意一点，过P作轴于Q，
的面积，是定值，
故D选项说法正确．
故选B．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：，，
．
建立如图新的坐标系，OB为轴，OA为轴．

在新的坐标系中，，，
直线AB解析式为，
由，解得或，
，，
，
故选：B．
由题意得，，可知，建立如图所示的平面直角坐标系，利用方程组求出M、N的坐标，根据计算即可．
本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：中，，故，故符合题意；
中，，故，故不符合题意；
中，，故，故不符合题意；
中，，故，故符合题意；
故选：B．
根据各个小题中的函数图象，可以得到和的正负情况，从而可以判断的正负情况，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：A、反比例函数，所过的点的横纵坐标之积，此结论正确，故此选项不符合题意；
B、反比例函数，在每一象限内y随x的增大而减小，此结论错误，故此选项符合题意；
C、反比例函数，图象在第一、三象限内，此结论正确，故此选项不合题意；
D、反比例函数，当时图象在第一象限，y随x的增大而减小，故时；
故选：B．
根据反比例函数图象上点的坐标特点：横纵坐标之积，可以判断出A的正误；根据反比例函数的性质：，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小可判断出B、C、D的正误．
此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是熟练掌握反比例函数的性质：
反比例函数的图象是双曲线；
当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当直线图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为或，
故答案为：或．
故选：D．
观察函数与函数的图象，即可得出当时，相应的自变量x的取值范围．
本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：反比例函数，当时，y随x的增大而增大，
，
解得：．
故选：A．
直接利用反比例函数的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出的符号是解题关键．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：反比例函数的解析式为，
反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大．
点，，在反比例函数的图象上，
点A在第二象限内，点B、C在第四象限内，
，，
，
故选 C．
 

13.【答案】9
 

【解析】如图，作轴于D，轴于E，
点A、B在反比例函数的图像上，A、B的纵坐标分别是3和6，
，，
，
．

14.【答案】
 

【解析】解：如图，过点A作轴于点H，交BD于点F，

则四边形ACOH和四边形ACDF均为矩形，
，
反比例函数的图像经过B点，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
 

15.【答案】
 

【解析】解：是y关于x的反比例函数，
，
解得或3，
图像在第二、四象限，
，
．
故答案为．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
反比例函数的图像位于第二象限，
，
．
故答案为．
 

17.【答案】0
 

【解析】解：解法一：
正比例函数图像与反比例函数图像都是关于原点对称的中心对称图形，
所以其交点A，B关于原点成中心对称，
所以．

解法二：
直线与双曲线交于A，B两点，
联立方程，
得
解得
．
故答案为0．

18.【答案】或
 

【解析】解：观察题中图像得，
当时，
x的取值范围是或．
故答案为或．
 

19.【答案】解：反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于和两点，
，，
，，
反比例函数和一次函数的表达式分别为，．
把代入，
得．

如图，

把代入，
得，
解得，
，
．

．

【解析】见答案．
 

20.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数图象上，
，即A点坐标为，
又、B两点在一次函数图象上，
代入一次函数解析式可得
，
解得．
一次函数解析式为；

在中，令可得，
点坐标为，
，
又为，
到OC的距离为2，
；

由一次函数与反比例函数的图象可知，当或时反比例函数的图象在一次函数图象的上方，
当或时，反比例函数的值大于一次函数的值．
 

【解析】把B点坐标代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式，则可求得A点坐标，再由A、B两点坐标可求得一次函数解析式；
根据一次函数解析式可求得C点的坐标，则可求得OC的长度，且根据A点的坐标可求得A到OC的距离，可求得的面积；
根据两函数图象的交点即可求出反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，要求学生能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系．
 

21.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
直线过点A，
，
过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，
，，
的面积为的面积的2倍，
，
，
当时，，
当时，，
直线的函数表达式为：，．
 

【解析】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形的面积公式，正确的理解题意是解题的关键．
把代入即可得到结论；
根据题意得到，，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
 

22.【答案】解：连接OE，

四边形OABC是矩形，
，
，
点E在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为；
点F、点E在反比例函数的图象上，
设，，
，，
，，，，
，，
．
 

【解析】连接OE，根据矩形的性质得到，得到，由点E在反比例函数的图象上，于是得到结论；
设，，于是得到，，求得，，，，即可得到结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，反比例函数k的几何意义，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键．
 

23.【答案】解：点满足反比例函数的关系式，
因此经过点．
把代入一次函数得，，
又，
解得：，，
的函数表达式为．
由函数的图象可知：当时，，当时，．
 

【解析】把点的坐标代入反比例函数的关系式，若满足，点在图象上，否则不在函数的图象上，
把代入一次函数的关系式，得到一个方程，再与联立方程组求出a、k的值，确定函数关系式，
根据图象交点坐标以及函数的增减性进行判断，当自变量在不同取值范围时，两个函数的值的大小不同，
考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用的方法，也是最基本的方法．
 

24.【答案】解：在直角中，，，
，
．
，
则C的坐标是．
把代入得．
则反比例函数的解析式是；
根据题意得，
解得，
则一次函数的解析式是；
在中令，则．
则D的坐标是．
，
则．
 

【解析】利用三角函数求得AM的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法求得反比例函数解析式，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．
本题考查了用待定系数法求出一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生能否运用这些性质进行计算，本题具有一定的代表性，是一道不错的题目，数形结合思想的运用．
 

25.【答案】解：将点，点，代入，
，，
；
过点C作轴，
线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，
，，
，，
，
≌，
，，
，
，
；
设与AB平行的直线，
联立，
，
当时，或舍到直线AB距离最短；
，解得，
；
 

【解析】将点，点，代入，可求直线解析式；过点C作轴，根据三角形全等可求，进而确定k；
设与AB平行的直线，联立，当时，点P到直线AB距离最短；
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质．