沪教版高中一年级 第二学期6.4反三角函数教学设计及反思

反三角函数

【教学目标】

1．理解函数y=sinx（x∈R）没有反函数；理解函数y=sinx，x∈[-，]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-，]。

2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x∈[-1，1]的图像。

3．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]。

4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角。

5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题。

【教学重难点】

1．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]。

2．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角。

3．会用数形结合等数学思想分析和思考问题。

【教学过程】

1．复习

我们学习过反函数，知道，对于函数，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使，这样得到的x关于y的函数叫做的反函数。我们也明确不是任何一个函数都存在反函数。函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的。

2．思考

那么正弦函数是否存在反函数呢？

3．讨论

正弦函数不存在反函数。但只要选取某一区间使得在该区间上存在反函数。因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了。学生讨论应该选取怎样的区间，使得存在反函数呢？

这个区间的选择依据两个原则：

（1）在所取区间上存在反函数；

（2）能取到的一切函数值。

可以选取闭区间，使得在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数。

（二）学习新课

1．概念辨析

（1）反正弦函数的定义：

函数y=sinx，x∈[-，]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1]。

（2）反正弦函数的性质：

a．图像

b．定义域[-1，1]

c．值域[-，]

d．奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]

e．单调性：增函数

说明：互为反函数的两个函数图像关于直线对称，函数y=sinx，x∈[-，]与函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像关于直线对称。

2．典型例题分析

例1．求下列反正弦函数的值：

（1）arcsin；（2）arcsin0；（3）arcsin（-）

解：

（1）因为sin=，且∈[-，]，所以arcsin=。

（2）因为sin0=0，且0∈[-，]，所以arcsin0=0。

（3）因为sin（-）=-，且-∈[-，]，所以arcsin（-）=-。

例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：

（1）sinx=，x∈[-，]；

（2）sinx=-，x∈[-，]；

（3）sinx=- ，x∈[-π，0]。

解：

（1）因为x∈[-，]，由定义，可知x=arcsin；

（2）因为x∈[-，]，由定义，可知x=arcsin（-）=-arcsin；

（3）在区间[-，0] 上，由定义，可知x=arcsin（-）=-arcsin；

在区间[-π，-]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin，满足sinx=-。因此x=arcsin或x=-π+arcsin。

例3．化简下列各式：

（1）arcsin（sin）；（2）arcsin（sin）；（3）arcsin（sin20070）

解：（1）因为∈[-，]，设sin=α，所以arcsinα=，即arcsin（sin）=。

（2）因为[-，]，而∈[-，]，且sin=sin，设sin=sin=α，所以arcsin（sin）= arcsin（sin）=arcsinα=。

（3）因为sin20070=sin（5×3600+2070）=sin2070=sin（1800+270）=-sin270

所以arcsin（sin20070）=arcsin（-sin270）=- arcsin(sin270)=-270。

例4．求函数f（x）=2arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域。

解：设y=2arcsin2x，则=arcsin2x，

因为2x∈[-1，1]，arcsin2x∈[-，]，所以x∈[-，]，y∈[-л，л]，根据反正弦函数的定义，得2x=sin，x= sin，将x，y互换，得反函数f-1（x）=sin：

定义域是：[-л，л]，值域是[-，]。

3．问题拓展

例1．证明等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]

证明：∵x∈[-1，1]，∴ -x∈[-1，1]

∴sin[arcsin（-x）]= -x，sin（-arcsinx）=-sin（arcsinx）=-x

又因为arcsin（-x）∈[-，]，-arcsinx∈[-，]，且正弦函数在[-，]上单调递增，所以arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]。

说明：这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明。

例2．设x∈[，]，sinx=，用反正弦函数值表示x。

解：因为x∈[，]，所以（π-x）∈[-，]，又sin（π-x）=sinx，得sin（π-x）=，于是π-x=arcsin，x=π-arcsin。

说明：对于用反正弦函数值表示区间[-，]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习。

（三）巩固练习

判断下列各式是否成立？简述理由。

（1）arcsin=；（2）arcsin=；（3）arcsin1=2kл+，k∈Z；（4）arcsin（-）=-arcsin；（5）sin（arcsin）=；（6）arcsin=。

解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-，]；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符。

（四）课堂小结

1．教师引导学生总结：

（1）反正弦函数的定义；

（2）反正弦函数的性质。

【作业布置】

（1）书上练习6.4（1）中的1、2、3、4；

（2）思考题：求函数f（x）=2π-arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域。

【教学反思】

1．关于教学内容

反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用，特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用。而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点。本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用。

2．关于教学方法

为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式。在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反正弦函数及其性质。