高中4.5反函数的概念教学设计

反函数的概念

【教学目标】

1．知识与技能目标：

正确理解反函数的定义，初步掌握由原函数求反函数的方法。

2．过程与方法目标：

体会数形结合思想的应用，感受“具体——抽象——具体”的数学学习过程，培养观察、分析和抽象概括的能力。

3．情感态度与价值观目标：

在建立反函数定义的探究中培养学生思维的严谨性；在理解互为反函数的两个函数之间的内在联系中，培养学生树立对立统一的辩证思维观点；在师生间平等、和谐的交流中，激发学生学习数学的热情。

【教学重难点】

1．反函数的定义及反函数的求法。

2．反函数存在的条件。

【教学过程】

一、复习函数概念引入

函数的定义：在某个变化过程中有两个变量，如果对于在某个实数集合内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，那么就是的函数，记作，（），叫做自变量，叫做因变量，的取值范围叫做定义域，和对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

二、新课讲解

问题1：什么是反函数呢？

反函数的概念：一般地，对于函数，设它的定义域为，值域为。如果对于中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，且满足，这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作。在习惯上，自变量常用表示，而函数用表示，所以把它改写为。

顾名思义，反过来也是函数，即x也是y的函数。

问题2：什么样的函数有反函数？

；

有反函数的充要条件：函数是一一对应。

单调函数一定是一一对应必有反函数。

有反函数则不一定是单调函数，例如；

不存在反函数的条件（举反例）。

例1：判断下列选项是否具有反函数？

（1）；                                       （2）。

         （1）                                               （2）

       （3）                                                （4）

解：

（1）是函数；  

（2）是函数但是不满足一一对应，不存在反函数；

（3）不是函数，所以不存在反函数；

（4）是函数。

问题3：

上面的例题中函数有反函数，那对于一个确定的解析式，如何求反函数呢？

给定函数，求其反函数的步骤：

先判断是否存在反函数。若存在反函数，则确定原函数的值域，它是反函数的定义域；

由中解出；

对换，得表达式，并写上的定义域即原来函数的值域。

总结记录要点：一判断，二解，三兑换注明。

三、例题讲解

例题2：判断下列各函数，是否存在反函数？如果存在，求出它的解析式，如果不存在，请说明理由。

（1）；            

（2）；

（3）。

解：

（1）由解得；

∴函数的反函数是；

（2）由解得x=，∴函数的反函数是：

。

（3）解得；

∵x≠1，∴=2+≠2；

∴函数的反函数是：

。

变式：（1）；             （2）；

四、小结

给定函数，求其反函数的步骤：

先判断是否存在反函数。若存在反函数，则确定原函数的值域，它是反函数的定义域；

由中解出；

对换，得表达式，并写上的定义域即原来函数的值域。