高中数学沪教版高中一年级 第二学期6.4反三角函数教学设计

这是一份高中数学沪教版高中一年级 第二学期6.4反三角函数教学设计，共6页。教案主要包含了教学内容，教学目标，教学重点，教学难点，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。

【教学内容】
根据反函数的概念，余弦函数y=csx（x∈R）没有反函数。但是如果我们适当选取实数集R的一个子集[0，π]，那么函数y=csx，x∈[0，π]就存在反函数，为什么要选取[0，π]，教师要引导学生作必要的讨论和说明。类比反正弦函数的定义，我们把函数y=csx，x∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccsx，x∈[-1，1]，学生对符号的arccsx的理解比较困难，前面符号中的x必须满足|x|≤1，arccsx是[0，π]上的一个角的弧度数，这个角的余弦值为x。根据互为反函数间的图像关系，函数y=arccsx，x∈[-1，1]的图像和函数y =csx，x∈[0，π]的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反余弦函数的图像，根据其图像可以得到反余弦函数y=arccsx，x∈[-1，1]既不是奇函数也不是偶函数，但是单调递减。类似地，把正切函数y=tanx，x∈（-，）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x∈（-∞，∞），根据互为反函数间的图像关系，函数y=arctanx，x∈（-∞，∞）的图像和函数y = tanx，x∈（-，）的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反正切函数的图像，根据其图像可以得到反正切函数y= arctanx，x∈（-∞，∞）是奇函数，单调递增。
【教学目标】
1．理解函数y=csx（x∈R），y=tanx（x≠kπ+，k∈Z）没有反函数；理解函数y=csx，x∈[0，π]，y=tanx，x∈（-，）有反函数；理解反余弦函数y=arccsx，反正切函数y=arctanx的概念，掌握反余弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函数的定义域是（-∞，∞），值域是（-，）。
2．知道反余弦函数y=arccsx ，x∈[-1，1]和反正切函数y= arctanx，x∈（-∞，∞）的图像。
3．掌握等式cs（arccsx）=x，x∈[-1，1]，arccs（-x）=π-arccsx，x∈[-1，1]和tan（arctanx）=x，x∈（-∞，∞），arctan（-x）=- arctanx，x∈（-∞，∞）。
4．能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角。
5．会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题。
【教学重点】
理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质。
【教学难点】
公式arccs（-x）=π-arccsx、arctan（-x）=-arctanx的证明及其使用。
【教学过程】
（一）情景引入
1．复习
我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx，x∈R，不存在反函数；但在[]存在反函数。
2．思考
那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？
说明]：因为对于任一余弦值和正切值都有无数个角值与之对应。余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的。故而不存在反函数。
3．讨论
余弦函数和正切函数不存在反函数。但选取怎样的区间使得或y=tanx在对应区间上存在反函数呢。因变量可以确定自变量，余弦值或正切值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了。学生讨论应该选取怎样的区间，使得或y=tanx存在反函数呢？
这个区间的选择依据两个原则：
（1）和y=tanx在所取对应区间上存在反函数；
（2）能取到的一切函数值，y=tanx一切函数值R。
可以选取闭区间[0，π]，使得在该区间上存在反函数；
可以选取闭区间（-，），使得y=tanx在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数。
（二）学习新课
1．概念辨析
（1）反余弦函数和反正切函数的定义：
余弦函数y=csx，x∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccsx，x∈[-1，1]；
正切函数y=tanx，x∈（-，）的反函数叫做反正切函数，
记作y=arctanx，x∈（-∞，∞）；
（2）反正弦函数的性质：
①图像

y=arccsx y= arctanx
②定义域：函数y=arccsx的定义域是[-1，1]；函数y= arctanx的定义域是R。
③值域：函数y=arccsx的值域是[0，π]；函数y= arctanx的值域是（-，）。
④奇偶性：函数y=arccsx既不是奇函数也不是偶函数，但有arccs（-x）=π-arccsx，
x∈[-1，1]；函数y= arctanx是奇函数，即arctan（-x）=-arctanx。
⑤单调性：函数y=arccsx是减函数；函数y= arctanx是增函数。
说明：互为反函数的两个函数图像关于直线对称，函数y=csx，x∈[0，π]与函数y=arccsx，x∈[-1，1]的图像关于直线对称；函数y=tanx，x∈（-，）与函数y=arctanx，x∈R的图像关于直线对称。
2．典型例题分析
例1．求下列反三角函数的值：
（1）arccs；（2）arccs（-）；（3）arccs0；
（4）arctan1；（5）arctan（-）
解：
（1）因为cs=，且∈[0，π]，所以arccs=。
（2）因为cs=-，且∈[0，π]，所以arccs（-）=。
（3）因为cs=0，且∈[0，π]，所以arccs0=。
（4）因为tan=1，且∈（-，），所以arctan1=。
（5）因为tan（-）=-，且-∈（-，），所以arctan（-）=-。
例2．在△ABC中，已知AB=5，BC=12，AC=13，分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数值表示∠A、∠B、∠C。
解：因为AC2=AB2+BC2，所以∠B是直角，于是有
∠A= arcsin= arccs=arctan；
∠B== arcsin1= arccs0；
∠C= arcsin= arccs=arctan。
例3．化简下列各式：
（1）arccs（cs）；（2）sin[arccs]；（3）cs[arctan（-1）]
解：（1）因为∈[0，π]，设cs=α，所以arccsα=，即arccs（cs）=。
（2）因为arccs=，所以sin[arccs]=sin=。
（3）因为arctan（-1）=-，所以cs[arctan（-1）]= cs(-)=。
例4．求下列函数的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域。
（1） f（x）=+arccs；（2）f（x）=3π-arctan（2x-1）
解：（1）设y=+arccs，则arccs= y-，因为∈[-1，1]，arccs∈[0，π]，所以x∈[-2，2]，y∈[，]，根据反余弦函数的定义，得=cs（y-），即x=2cs（y-）。将x，y互换，得反函数f-1（x）=2cs（x-），定义域是[，]，值域是[-2，2]。
（2）设y=3π-arctan（2x-1），即arctan（2x-1）=3π-y，因为（2x-1）∈R，arctan（2x-1）∈（-，），所以x∈R，y∈（，），根据反正切函数的定义，得2x-1=tan（3π-y）=-tany，即x=（1-tany），将x，y互换，得反函数f-1（x）=（1-tanx），定义域是（，），值域是R。
3．问题拓展
例1．证明等式：arccs（-x）=π-arccsx，x∈[-1，1]
证明：∵x∈[-1，1]，∴ -x∈[-1，1]
∴cs[arccs（-x）]= -x，cs（π-arccsx）=-cs（arccsx）=-x
又因为arccsx∈[0，π]，所以（π-arccsx）∈[0，π]，又arccs（-x）∈[0，π]，且余弦函数在[0，π]上单调递减，所以arccs（-x）=π-arccsx，x∈[-1，1]。
例2．证明等式：arctan（-x）=-arctanx，xR。
证明：因为tan arctan（-x）=-x，tan（-arctanx）=-tan arctanx，
又由arctanx（-，），得-arctanx（-，），再有arctan（-x）（-，），且正切函数在（-，）上单调递增，所以arctan（-x）=-arctanx，xR。
说明：可以通过以上恒等式的证明形成学生严密的逻辑推理能力。
（三）巩固练习
判断下列各式是否成立？简述理由。
（1）cs（arccs）=；（2）arctan=；（3）arcsin（-）= arcs(-)；（4）arccs+ arccs(-)=0；（5）arctan+ arc tan(-)=0。
解：（1）式不成立，因为[-1，1]，故arccs无意义；（2）式不成立，因为其对应关系搞错了；（3）式不成立，理由是把反正弦函数、反余弦函数的值域搞错了，事实上arcsin（-）=-，而arcs(-)=，两者不等；（4）式不成立，因为把等式arccs（-x）=π-arccsx错记成arccs（-x）=-arccsx；（5）式成立，因为等式arctan（-x）=-arctanx。
（四）课堂小结
1．教师引导学生总结：
（1）反余弦函数和反正切函数的定义；
（2）反余弦函数和反正切函数的性质。
【教学反思】
1．关于教学内容
本节课是基于学习了反正弦函数之后，类比反正弦函数的概念，学生掌握反余弦函数和反正切函数的概念相对比较容易，所以这节课的主要力量要花在反余弦函数和反正切函数的应用上，特别要注意反正弦函数值和反余弦函数值所表示的角的范围的区别以及反正弦和反余弦恒等式的区别。
2．关于教学方法
为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式。在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反余弦函数及其反正切函数的性质。