高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数导学案

4.4.3　不同函数增长的差异 同步练习

必备知识基础练

1.下列函数中，增长速度最快的是(　　)

A．y＝2 019x    B．y＝x2 019  C．y＝log2 019x   D．y＝2 019x

2．下列四种说法中，正确的是(　　)

A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

B．对任意的x＞0，xn＞logax

C．对任意的x＞0，ax＞logax

D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax

3．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是(　　)

A．2x＞x2＞log2x  B．x2＞2x＞log2x

C．2x＞log2x＞x2  D．x2＞log2x＞2x

4．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：

关于x呈指数函数变化的变量是________．

5.以固定的速度向如下图所示的瓶子中注水，则水深h与时间t的函数关系是(　　)

6．有一组数据如下表：

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)

A．v＝log2t    B．v＝logt  C．v＝   D．v＝2t－2

7．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是(　　)

A．y＝0.2x    B．y＝(x2＋2x)  C．y＝    D．y＝0.2＋log16x

关键能力综合练

一、选择题

1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)

A．y＝6x  B．y＝log6x

C．y＝x6  D．y＝6x

2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)

3．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　)

A．指数函数：y＝2t  B．对数函数：y＝log2t  C．幂函数：y＝t3    D．二次函数：y＝2t2

4．向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是(　　)

5．(易错题)下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　)

A．y＝ex   B．y＝100ln x  C．y＝x10     D．y＝100·2x

6．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，下列选项中正确的是(　　)

A．f(x)>g(x)>h(x)   B．g(x)>f(x)>h(x)  C．g(x)>h(x)>f(x)   D．f(x)>h(x)>g(x)

二、填空题

7．近几年由于北京房价的上涨，引起二手房市场交易火爆，房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2013年以180万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这套房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是________．

8．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝ekt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝________，经过5小时，1个病菌能繁殖为________个．

9．函数y＝2x－x2的图象大致是________．(填序号)

三、解答题

10．(探究题)函数f(x)＝lg  x，g(x)＝0.3x－1的图象如图．

(1)指出曲线C1，C2分别对应图中哪一个函数；

(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．

学科素养升级练

1．(多选题)某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．

以下四种说法正确的是(　　)

A．前三年产量增长的速度越来越快

B．前三年产量增长的速度越来越慢

C．第三年后这种产品停止生产

D．第三年后产量保持不变

2．(情境命题—生活情境)如图所示是某条公共汽车路线收支差额y与乘客量x的图象(收支差额＝车票收入－支出费用)．由于目前本条路线在亏损，公司有关人员提出了两条建议：

建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格．图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态．下列说法中正确的是(　　)

A．①反映了建议(2)，③反映了建议(1)

B．①反映了建议(1)，③反映了建议(2)

C．②反映了建议(1)，④反映了建议(2)

D．④反映了建议(1)，②反映了建议(2)

3．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？

答案

必备知识基础练

1．解析：比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.

答案：A

2．解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较．对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．故选D.

答案：D

3．解析：解法一　在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2>2x>log2x.

解法二　比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.

答案：B

4．解析：从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．

答案：y2

5．解析：水深h的增长速度越来越快．

答案：B

6．解析：从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.

答案：C

7．解析：对于A，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16；对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题意；对于C，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04，与A比较，符合题意；对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；x＝3时，y≈0.6<0.7，相差较大，不符合题意．

答案：C

关键能力综合练

1．解析：D增长速度不变，A，C增长速度越来越快，只有B符合题意．

答案：B

2．解析：设该林区的森林原有蓄积量为a，

由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，

∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．

答案：D

3．解析：由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数模型．

答案：A

4.

解析：取OH的中点(如右图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半，易知B符合题意．

答案：B

5．解析：通过函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y＝kx(k>0)的图象观察可得y＝ax的增长速度大于y＝kx的增长速度，y＝kx的增长速度大于y＝logax的增长速度，∴A，D最快．又∵y＝ex中底数e>2.∴y＝ex的增长速度大于y＝100×2x，∴选A.

答案：A

6．解析：画出函数的图象，如图所示，当x∈(4，＋∞)，指数函数的图象位于二次函数图象上方，二次函数图象位于对数函数图象上方，故g(x)>f(x)>h(x)．

答案：B

7．解析：1年后的价格为180＋180·x＝180(1＋x)(万元)，2年后的价格为180(1＋x)＋180(1＋x)·x＝180(1＋x)(1＋x)＝180(1＋x)2(万元)，由此可推得10年后的价格为180(1＋x)10万元．

答案：y＝180(1＋x)10

8．解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝e，解得k＝2ln 2，y(5)＝e(2ln 2)·5＝e10ln 2＝210＝1 024(个)．

答案：2ln 2　1 024

9．解析：在同一平面直角坐标系中作出y＝2x，y＝x2的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当x∈(0,2)时，2x>x2，即此时y>0；当x∈(2,4)时，2x<x2，即y<0；当x∈(4，＋∞)时，2x>x2，即y>0.当x＝－1时，f(－1)＝2－1－1<0，据此可知只有选项①中的图象符合条件．

答案：①

10．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，

C2对应的函数为f(x)＝lg  x.

(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；

当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；

当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．

学科素养升级练

1．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xa(0<a<1)．反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以BC正确．

答案：BC

2．解析：建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大y，车票价格不变，即平行于原图象．故①反映了建议(1)；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格，即图形增大倾斜度，提高价格，故③反映了建议(2)．故答案为B.

答案：B

3．解析：依题意，得

即解得

所以甲：y1＝x2－x＋52，

又

②－①，得p·q2－p·q1＝2，④

③－②，得p·q3－p·q2＝4，⑤

⑤÷④，得q＝2.

将q＝2代入④式，得p＝1.

将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，

所以乙：y2＝2x＋50.

计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；

当x＝5时，y1＝72，y2＝82；

当x＝6时，y1＝82，y2＝114.

可见，乙选择的模型较好.