人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换学案，共13页。
5.5.2　简单的三角恒等变换 必备知识基础练知识点一半角公式1.已知sin θ＝－，3π<θ<，则tan的值为(　　)A．3  B．－3C.   D．－2．已知2π<θ<3π，cos θ＝m，则sin＝(　　)A．－   B. C．－   D. 3．函数y＝cos2＋sin2－1(　　)A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数知识点二辅助角公式4.函数f(x)＝sin x－cos的值域为(　　)A．[－2,2]  B．[－，]C．[－1,1]  D.5．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈R)的值域是________．6．化简：(1)(cos x－sin x)；(2)3sin x＋3cos x.     知识点三三角恒等变换的应用7.函数y＝cos2ωx－sin2ωx(ω>0)的最小正周期是π，则函数f(x)＝2sin的一个单调递增区间是(　　)A.  B.C.  D.8．在△ABC中，求证：tantan＋tantan＋tantan＝1.      9．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？       关键能力综合练一、选择题1．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于(　　)A.        B.C．－  D．－2．若2sin x＝1＋cos x，则tan的值等于(　　)A.    B.或不存在C．2  D．2或3．设a＝cos  6°－sin  6°，b＝2sin  13°cos  13°，c＝，则有(　　)A．c<b<a  B．a<b<cC．a<c<b  D．b<c<a4．sin＝，则cos＝(　　)A．－  B．－C.      D.5．若cos α＝－，α是第三象限角，则的值为(　　)A．－  B.　C．2    D．－26．(易错题)设函数f(x)＝2cos2x＋sin  2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值等于(　　)A．4    B．－6C．－4  D．－3二、填空题7．化简的结果是________．8．若θ是第二象限角，且25sin2θ＋sin  θ－24＝0，则cos＝________.9．函数y＝sin2x＋sin  xcos  x＋1的最小正周期是________，单调递增区间是________．三、解答题10．(探究题)证明：··＝tan.     学科素养升级练1．(多选题)对于函数f(x)＝sin x＋cos x，给出下列选项其中不正确的是(　　)A．函数f(x)的图象关于点对称B．存在α∈，使f(α)＝1C．存在α∈，使函数f(x＋α)的图象关于y轴对称D．存在α∈，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立2．已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是________，最小值是________．3．(学科素养—数学建模)如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，E在上，连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值时矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．
答案必备知识基础练1．解析：∵3π<θ<，sin θ＝－，∴cos θ＝－＝－，∵3π<θ<，∴<<.则tan＝－＝－＝－3.答案：B2．解析：因为2π<θ<3π，所以π<<.又cos θ＝m，所以sin＝－＝－，故选A.答案：A3．解析：y＝＋－1＝＝sin 2x，是奇函数．故选A.答案：A4．解析：f(x)＝sin x－cos＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x＝sin，所以函数f(x)的值域为[－，]，故选B.答案：B5．解析：∵f(x)＝2＝2sin.∴f(x)∈[－2,2]．答案：[－2,2]6．解析：(1)(cos x－sin x)＝×＝2＝2cos.(2)3sin x＋3cos x＝6＝6＝6cos.7．解析：y＝cos2ωx－sin2ωx＝cos 2ωx(ω>0)，因为函数的最小正周期为π，故＝π，所以ω＝1.则f(x)＝2sin＝2sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，当k＝1时，函数的一个单调递增区间是.答案：B8．证明：∵A，B，C是△ABC的三个内角，∴A＋B＋C＝π，从而有＝－.左边＝tan＋tantan＝tantan＋tantan＝tantan＋tantan＝1－tantan＋tantan＝1＝右边，∴等式成立．9.解析：设∠AOB＝α，则0<α<，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin  α，OB＝Rcos  α，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin  α＋Rcos  α＝R(sin  α＋cos  α)＋R＝Rsin＋R.∵0<α<，∴<α＋<.∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，即当α＝时，△OAB的周长最大．关键能力综合练1．解析：若5π<θ<6π，则<<，则sin＝－＝－＝－.答案：D2．解析：由已知得＝，tan＝＝＝＝.当x＝π＋2kπ，k∈Z时，tan不存在．答案：B3．解析：由题意可知，a＝sin  24°，b＝sin  26°，c＝sin  25°，而当0°<x<90°，y＝sin  x为增函数，∴a<c<b，故选C.答案：C4．解析：cos＝2cos2－1.∵＋＝，∴cos＝sin＝.∴cos＝2×2－1＝－.故选A.答案：A5．解析：由cos α＝－，α是第三象限角，可得sin α＝－＝－.所以＝＝＝＝－.答案：A6．解析：f(x)＝2cos2x＋sin  2x＋a＝1＋cos  2x＋sin  2x＋a＝2sin＋a＋1.当x∈时，2x＋∈，∴f(x)min＝2·＋a＋1＝－4.∴a＝－4.答案：C7．解析：＝＝＝|sin 1＋cos 1|，因为1∈，所以sin 1>0，cos 1>0，则＝sin 1＋cos 1.答案：sin 1＋cos 18．解析：由25sin2θ＋sin  θ－24＝0，又θ是第二象限角，得sin θ＝或sin  θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－＝－，由cos2＝得cos2＝.又是第一、三象限角，所以cos＝±.答案：±9．解析：y＝sin2x＋sin  xcos  x＋1＝＋＋1＝sin＋.最小正周期T＝＝π.令－＋2kπ<2x－<＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ<x<＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．答案：π　，k∈Z10．证明：左边＝··＝·＝·＝＝＝tan＝右边．所以原等式成立．学科素养升级练1．解析：函数f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，对于A：函数f(x)＝2sin，当x＝时，2sin＝2，不能得到函数f(x)的图象关于点对称．∴A不对．对于B：α∈，可得α＋∈，f(α)∈(，2]，不存在f(α)＝1.∴B不对．对于C：函数f(x＋α)的对称轴方程为：x＋α＋＝＋kπ，可得x＝kπ＋－α(k∈Z)，当k＝0，α＝时，可得图象关于y轴对称．∴C对．对于D：f(x＋α)＝f(x＋3α)说明2α是函数的周期，函数f(x)的周期为2π，故α＝π，∴不存在α∈，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，∴D不对．故选A，B，D.答案：ABD2．解析：∵A＋B＝，∴cos2A＋cos2B＝(1＋cos 2A＋1＋cos 2B)＝1＋(cos 2A＋cos 2B)＝1＋cos(A＋B)cos(A－B)＝1＋cos·cos(A－B)＝1－cos(A－B)，∴当cos(A－B)＝－1时，原式取得最大值；当cos(A－B)＝1时，原式取得最小值.答案：　3.解析：如图所示，设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点，在Rt△ONC中，CN＝sin  α，ON＝cos  α，OM＝＝DM＝CN＝sin  α，所以MN＝ON－OM＝cos  α－sin  α，即AB＝cos  α－sin  α，而BC＝2CN＝2sin  α，故S矩形ABCD＝AB·BC＝·2sin  α＝2sin αcos  α－2sin2α＝sin  2α－(1－cos  2α)＝sin  2α＋cos  2α－＝2－＝2sin－.因为0<α<，所以0<2α<，<2α＋<.故当2α＋＝，即α＝时，S矩形ABCD取得最大值，此时S矩形ABCD＝2－.