2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：58 数系的扩充与复数的引入

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：58 数系的扩充与复数的引入，共6页。


[基础达标]
一、选择题
1．[2021·黄冈中学，华师附中等八校联考]设i是虚数单位，若复数a＋eq \f(5i,1＋2i)(a∈R)是纯虚数，则a＝( )
A．－1B．1
C．－2D．2
2．[2021·湖南省长沙市高三调研试题]复数eq \f(1－3i,(1－i)(1＋2i))＝( )
A.eq \f(3,5)－iB.eq \f(3,5)－eq \f(4,5)i
C．－1D．－i
3．[2021·大同市高三学情调研测试试题]设z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))2，则z的共轭复数为( )
A．－1B．1
C．iD．－i
4．[2021·南昌市高三年级摸底测试卷]复数z满足eq \f(1＋i,z)＝1－i，则|z|＝( )
A．2iB．2
C．iD．1
5．[2021·合肥市高三调研性检测]已知i是虚数单位，复数z＝eq \f(1－3i,1＋i)在复平面内对应的点位于( )
A．第四象限B．第三象限
C．第二象限D．第一象限
6．[2021·安徽省示范高中名校高三联考]已知i为虚数单位，z＝eq \f(3＋i,i)，则z的虚部为( )
A．1B．－3
C．iD．－3i
7．[2021·惠州市高三调研考试试题]已知复数z满足(1－i)z＝2＋i(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数是( )
A．－eq \f(1,2)－eq \f(3,2)iB.eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)i
C．－eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)iD.eq \f(1,2)－eq \f(3,2)i
8．[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]已知复数z＝eq \f((1＋i)2,i(1－i))，则下列结论正确的是( )
A．z的虚部为i
B．|z|＝2
C．z的共轭复数eq \(z,\s\up6(－))＝－1＋i
D．z2为纯虚数
9．[2021·广东省七校联合体高三联考试题]已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则eq \f(z1,z2)＝( )
A.eq \f(3,5)－eq \f(4,5)iB．－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i
C．－eq \f(3,5)－eq \f(4,5)iD.eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i
10．[2021·唐山市高三年级摸底考试]已知p，q∈R,1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，其中i为虚数单位，则p·q＝( )
A．－4B．0
C．2D．4
二、填空题
11．[2020·江苏卷]已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)·(2－i)的实部是________．
12．[2021·重庆学业质量抽测]已知复数z1＝1＋2i，z1＋z2＝2＋i，则z1·z2＝________.
13．[2021·福建检测]已知复数z满足eq \(z,\s\up6(－))(3＋4i)＝4＋3i，则|z|＝________.
14．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z\\al(2,2),z1)))＝________.
[能力挑战]
15．[2021·惠州市高三调研考试试题]设6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于( )
A．5B.eq \r(13)
C．2eq \r(2)D．2
16．[2021·开封市高三模拟考试]在复平面内，复数eq \f(a＋i,1＋i)对应的点位于直线y＝x的左上方，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
17．[2021·福建厦门三中检测]已知m∈R，p：方程eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆；q：在复平面内，复数z＝1＋(m－3)i对应的点在第四象限，若p∧q为真命题，则m的取值范围是________．
课时作业58
1．解析：由已知，得a＋eq \f(5i,1＋2i)＝a＋eq \f(5i(1－2i),(1＋2i)(1－2i))＝a＋2＋i，由题意得a＋2＝0，所以a＝－2.故选C.
答案：C
2．解析：eq \f(1－3i,(1－i)(1＋2i))＝eq \f(1－3i,3＋i)＝eq \f((1－3i)(3－i),(3＋i)(3－i))＝eq \f(－10i,10)＝－i，故选D.
答案：D
3．解析：解法一 z＝eq \f((1＋i)2,(1－i)2)＝eq \f(2i,－2i)＝－1，所以eq \(z,\s\up6(－))＝－1，故选A.
解法二 z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))2＝12＝－1，所以eq \(z,\s\up6(－))＝－1，故选A.
答案：A
4．解析：解法一 z＝eq \f(1＋i,1－i)＝eq \f(2i,2)＝i，则|z|＝1.
解法二 |z|＝eq \f(|1＋i|,|1－i|)＝eq \f(\r(2),\r(2))＝1.
答案：D
5．解析：因为z＝eq \f(1－3i,1＋i)＝eq \f((1－3i)(1－i),(1＋i)(1－i))＝－1－2i，所以z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，该点位于第三象限，故选B.
答案：B
6．解析：z＝eq \f(3＋i,i)＝eq \f((3＋i)(－i),i(－i))＝1－3i，所以z的虚部为－3，故选B.
答案：B
7．解析：∵(1－i)z＝2＋i，∴z＝eq \f(2＋i,1－i)＝eq \f((2＋i)(1＋i),(1－i)(1＋i))＝eq \f(1＋3i,2)，∴z的共轭复数eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(1,2)－eq \f(3,2)i，故选D.
答案：D
8．解析：z＝eq \f((1＋i)2,i(1－i))＝eq \f(2,1－i)＝eq \f(2(1＋i),(1－i)(1＋i))＝eq \f(2(1＋i),2)＝1＋i，则z的虚部为1，所以选项A错误；|z|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，所以选项B错误；z的共轭复数eq \(z,\s\up6(－))＝1－i，所以选项C错误；z2＝(1＋i)2＝2i是纯虚数，所以选项D正确．故选D.
答案：D
9．解析：由题意可知z1＝1－2i，z2＝－1－2i，则eq \f(z1,z2)＝eq \f(1－2i,－1－2i)＝eq \f((1－2i)(－1＋2i),(－1－2i)(－1＋2i))＝eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i.故选D.
答案：D
10．解析：通解 因为1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，所以(1＋i)2＋p(1＋i)＋q＝0，即p＋q＋(p＋2)i＝0，根据复数相等得p＋q＝0且p＋2＝0，所以p＝－2，q＝2，所以pq＝－4，故选A.
优解 方程x2＋px＋q＝0是实系数的一元二次方程，且1＋i是方程x2＋px＋q＝0的一个根，则另一个根为1－i，由根与系数的关系得，q＝(1＋i)(1－i)＝2，－p＝1＋i＋1－i＝2，所以p＝－2，所以pq＝－4.
答案：A
11．解析：复数z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，实部是3.
答案：3
12．解析：由已知条件得z2＝2＋i－z1＝2＋i－(1＋2i)＝1－i，所以z1·z2＝(1＋2i)(1－i)＝3＋i.
答案：3＋i
13．解析：解法一 因为eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(4＋3i,3＋4i)＝eq \f((4＋3i)(3－4i),(3＋4i)(3－4i))＝eq \f(24,25)－eq \f(7,25)i，所以z＝eq \f(24,25)＋eq \f(7,25)i，所以|z|＝1.
解法二 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则eq \(z,\s\up6(－))＝x－yi，所以(x－yi)(3＋4i)＝4＋3i,3x＋4y＋(4x－3y)i＝4＋3i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋4y＝4，4x－3y＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(24,25)，y＝\f(7,25).))所以|z|＝1.
解法三 由eq \(z,\s\up6(－))(3＋4i)＝4＋3i，得|eq \(z,\s\up6(－))(3＋4i)|＝|4＋3i|，即5|eq \(z,\s\up6(－))|＝5，所以|z|＝1.
答案：1
14．解析：由题意，z1＝i，z2＝2－i，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z\\al(2,2),z1)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f((2－i)2,i)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3－4i,i)))＝eq \f(|3－4i|,|i|)＝5.
答案：5
15．解析：由6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6＋x＝33－2x＝y＋5))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3y＝4))，所以|x＋yi|＝eq \r((－3)2＋42)＝eq \r(25)＝5，选A.
答案：A
16．解析：因为eq \f(a＋i,1＋i)＝eq \f((a＋i)(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq \f((a＋1)＋(1－a)i,2)，复数eq \f(a＋i,1＋i)对应的点在直线y＝x的左上方，所以1－a>a＋1，解得a<0.故实数a的取值范围是(－∞，0)，选A.
答案：A
17．解析：p：方程eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m>2.q：在复平面内，复数z＝1＋(m－3)i对应的点在第四象限，则m<3，若p∧q为真命题，则2答案：(2,3)