2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：50 抛物线

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习课时作业：50 抛物线，共7页。

[基础达标]
一、选择题
1．[2021·吉林辽源市田家炳中学调研]以直线x＝1为准线的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝－2x
C．y2＝4xD．y2＝－4x
2．[2021·惠州市高三调研考试试题]若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是( )
A．6B．8
C．9D．10
3．[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，斜率为eq \f(\r(2),2)的直线l过点F与抛物线交于A，B两点，过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D两点，M为线段AB的中点，则△CDM是( )
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
4．[2020·全国卷Ⅲ]设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
C．(1,0) D．(2,0)
5．[2021·山东菏泽一模]已知直线l过抛物线C：y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于M，N两点．若线段MN的长是16，MN的中点到y轴的距离是6，O是坐标原点，则( )
A．抛物线C的方程是y2＝8x
B．抛物线C的准线方程是y＝2
C．直线l的方程是x－y＋2＝0
D．△MON的面积是8eq \r(2)
二、填空题
6．[2021·沈阳质量检测]已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是________．
7．[2021·合肥市高三教学质量检测]直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于________．
8．[2021·湖北省部分重点中学高三起点考试]已知点A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为________．
三、解答题
9．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3eq \r(5)，求此抛物线方程．
10.[2021·江西南昌重点中学段考]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
[能力挑战]
11．[2021·黄冈中学、华师附中等八校联考]已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，而且eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝2(O为坐标原点)，若△ABO与△AFO的面积分别为S1和S2，则S1＋4S2的最小值是( )
A.eq \f(7\r(3),2)B．6
C．2eq \r(3)D．4eq \r(3)
12．[2021·山西省六校高三阶段性测试]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，交准线于点P，且eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(5,3)eq \(BA,\s\up6(→))，则该直线在y轴上的截距为________，|AF|＋|BF|＝________.
13．[2021·河北省九校高三联考试题]已知抛物线C：x2＝8y的准线与y轴交于点A，焦点为F，点P是抛物线C上任意一点，令t＝eq \f(|PA|,|PF|)，当t取得最大值时，直线PA的斜率是________．
课时作业50
1．解析：易知以直线x＝1为准线的抛物线焦点在x轴的负半轴上，且抛物线开口向左，所以y2＝－4x，故选D.
答案：D
2．解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M的横坐标xM＝9，即点M到y轴的距离是9，选C.
答案：C
3．解析：四边形ABDC为直角梯形，取CD的中点为N，连接MN，则MN为梯形ABDC的中位线，所以|MN|＝eq \f(1,2)(|AC|＋|BD|)，且MN⊥CD.由抛物线的定义得|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|＝|AB|，所以|MN|＝eq \f(1,2)|AB|.设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝eq \f(\r(2),2)，所以sin α＝eq \f(\r(3),3)，所以|CD|＝|AB|sin α＝eq \f(\r(3),3)|AB|，则|CN|＝|DN|＝eq \f(\r(3),6)|AB|，所以|MC|＝|MD|＝eq \r(|MN|2＋|CN|2)＝eq \f(\r(3),3)|AB|，所以|MC|＝|MD|＝|CD|，则△CDM为等边三角形．故选C.
答案：C
4．解析：由抛物线的对称性不妨设D在x轴上方、E在x轴下方．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，y2＝2px))得D(2，2eq \r(p))，E(2，－2eq \r(p))，∵OD⊥OE，∴eq \(OD,\s\up6(→))·eq \(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，∴p＝1，∴C的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，故选B.
答案：B
5．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据抛物线的定义，知|MN|＝－(x1＋x2)＋p＝16.又MN的中点到y轴的距离为6，∴－eq \f(x1＋x2,2)＝6，∴x1＋x2＝－12，∴p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝－8x，故A错误；抛物线C的准线方程是x＝2，故B错误；设直线l的方程是x＝my－2，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝－8x，x＝my－2，))消去x得y2＋8my－16＝0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝－8m，y1·y2＝－16))∴x1＋x2＝－8m2－4＝－12，解得m＝±1，故直线l的方程是x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0，故C错误；抛物线C的焦点为F(－2,0)，S△MON＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq \f(1,2)×2eq \r((y1＋y2)2－4y1y2)＝eq \r(64＋64)＝8eq \r(2)，故D正确．故选D.
答案：D
6．解析：
如图，设△AOB的边长为a，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a))，因为点A在抛物线y2＝3x上，所以eq \f(1,4)a2＝3×eq \f(\r(3),2)a，所以a＝6eq \r(3).
答案：6eq \r(3)
7．解析：抛物线C：y2＝12x的焦点为(3,0)，当直线l的斜率不存在时，弦长为12，不合题意，故直线l的斜率存在，设为k，则直线l：y＝k(x－3)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝12xy＝k(x－3)))，得k2x2－(6k2＋12)x＋9k2＝0，Δ＝(6k2＋12)2－4k2×9k2＝144(k2＋1)＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(6k2＋12,k2)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(6k2＋12,k2)＋6＝16，∴k2＝3，k＝±eq \r(3)，∴直线l的倾斜角等于eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).
答案：eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
8．解析：解法一 依题意得抛物线的焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，过M作抛物线的准线的垂线，垂足为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|.因为|FM||MN|＝12，所以|KN||KM|＝eq \r(3)1，又kFN＝eq \f(0－1,\f(a,4)－0)＝－eq \f(4,a)，kFN＝－eq \f(|KN|,|KM|)＝－eq \r(3)，所以－eq \f(4,a)＝－eq \r(3)，解得a＝eq \f(4\r(3),3).
解法二 因为A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq \f(a,4)，所以AF的方程为4x＋ay－a＝0，所以Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,4)，2)).因为|FM||MN|＝12，所以|FM|＝eq \f(1,3)|FN|，所以xM＝eq \f(a,12)，yM＝eq \f(2,3).因为(xM，yM)在抛物线上，所以eq \f(4,9)＝eq \f(a2,12)，得a＝eq \f(4\r(3),3).
答案：eq \f(4\r(3),3)
9．解析：设所求的抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y＝2x－4代入y2＝ax，
得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256＞0，得a＞0或a＜－32.
又x1＋x2＝eq \f(a＋16,4)，x1x2＝4，
所以|AB|＝eq \r((1＋22)[(x1＋x2)2－4x1x2])
＝ eq \r(5\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋16,4)))2－16)))＝3eq \r(5)
所以5eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋16,4)))2－16))＝45，
所以a＝4或a＝－36.
故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.
10．解析：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p. ①
(1)由x2＝2py得y′＝eq \f(x,p)，则A，B处的切线斜率的乘积为eq \f(x1x2,p2)＝－eq \f(2,p)，
∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－eq \f(2,p)＝－1，∴p＝2.
(2)易得直线AN：y－y1＝eq \f(x1,p)(x－x1)，直线BN：y－y2＝eq \f(x2,p)(x－x2)，
联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－y1＝\f(x1,p)(x－x1)，y－y2＝\f(x2,p)(x－x2)，))结合①式，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝pk，y＝－1，))即N(pk，－1)．
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x2－x1|＝eq \r(1＋k2)eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \r(4p2k2＋8p)，
点N到直线AB的距离d＝eq \f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝eq \f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，
则S△ABN＝eq \f(1,2)·|AB|·d＝eq \r(p(pk2＋2)3)≥2eq \r(2p)，当且仅当k＝0时，取等号，
∵△ABN的面积的最小值为4，
∴2eq \r(2p)＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.
11．解析：依题意，设直线AB的方程为x＝ty＋m，联立直线与抛物线方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ty＋my2＝x))，消去x，得y2－ty－m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－m，因为eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝2，所以x1x2＋y1y2＝2，即(y1y2)2＋y1y2－2＝0，因为点A，B位于x轴的两侧，所以y1y2＜0，解得y1y2＝－2，所以m＝2，所以直线AB过点(2,0)，不妨设点A在x轴的上方，则y1＞0，因为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，所以S1＋4S2＝eq \f(1,2)×2×(y1－y2)＋4×eq \f(1,2)×eq \f(1,4)y1＝eq \f(3y1,2)＋eq \f(2,y1)≥2eq \r(3)，当且仅当eq \f(3y1,2)＝eq \f(2,y1)且y1>0，即y1＝eq \f(2\r(3),3)时等号成立．
答案：C
12．解析：
设斜率为2的直线方程为y＝2x＋b，代入y2＝4x，得4x2＋(4b－4)x＋b2＝0，Δ＝(4b－4)2－16b2＞0，即b＜eq \f(1,2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1－b，x1x2＝eq \f(b2,4).由eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(5,3)eq \(BA,\s\up6(→))，得eq \f(|PB|,|PA|)＝eq \f(2,5).如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点C，D，则eq \f(|BD|,|AC|)＝eq \f(2,5)，易得|AC|＝x1＋1，|BD|＝x2＋1，所以eq \f(x2＋1,x1＋1)＝eq \f(2,5)，根据x1＋x2＝1－b，得x1＝eq \f(8－5b,7)，x2＝eq \f(－1－2b,7)，代入x1x2＝eq \f(b2,4)，得9b2＋44b＋32＝0，解得b＝－4或b＝－eq \f(8,9)，则x1＋x2＝5或eq \f(17,9).又|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，所以|AF|＋|BF|的值为7或eq \f(35,9).
答案：－4或－eq \f(8,9) 7或eq \f(35,9)
13．解析：通解 由题意知A(0，－2)，F(0,2)，过点P作PB⊥l(l为抛物线的准线)，垂足为B.由抛物线的定义可知|PF|＝|PB|.令∠PAB＝α，则t＝eq \f(|PA|,|PF|)＝eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(1,sin α)，当sin α最小时，t最大．当直线PA与抛物线x2＝8y相切时，sin α最小，即t最大．设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(x\\al(2,0),8)))，由于y′＝eq \f(x,4)，所以在点P处切线的斜率k＝eq \f(x0,4)，所以在点P处的切线方程为y－eq \f(x\\al(2,0),8)＝eq \f(x0,4)(x－x0)，又切线过A(0，－2)，所以－2－eq \f(x\\al(2,0),8)＝－eq \f(x\\al(2,0),4)，解得x0＝±4，所以当t取得最大值时，直线PA的斜率为±1.
优解 由题意知A(0，－2)，F(0,2)，过点P作PB⊥l(l为抛物线的准线)，垂足为B.由抛物线的定义可知|PF|＝|PB|.令∠PAB＝α，则t＝eq \f(|PA|,|PF|)＝eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(1,sin α)，当sin α最小时，t最大．当直线PA与抛物线x2＝8y相切时，sin α最小，即t最大．根据过准线上任一点作抛物线的两条切线互相垂直，知过点A(0，－2)作抛物线的两切线关于y轴对称，且互相垂直，即两切线的斜率为±1，所以当t取得最大值时，直线PA的斜率为±1.
答案：±1