新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：5.3　平面向量的数量积与平面向量的应用

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知识梳理
1.向量的夹角
已知两个 向量a,b,O是平面上的任意一点,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.如果a与b的夹角是π2,我们说a与b垂直,记作 .
2.平面向量的数量积
(1)平面向量数量积的定义:
已知两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cs θ.
(2)投影向量:如图,在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.
3.向量数量积的运算律
4.平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
5.向量在平面几何中的应用
(1)要证AB=CD,可转化为证明AB2=CD2或|AB|=|CD|.
(2)要证两线段AB,CD平行,只要证存在唯一实数λ≠0,使等式AB=λCD成立即可.
(3)要证两线段AB,CD垂直,只需证AB·CD=0.
(4)求夹角问题,利用夹角公式cs θ=a·b|a||b|.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在△ABC中,向量AB,BC的夹角为∠ABC.( )
(2)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b