人教B版高考数学一轮总复习第6章第3节平面向量的数量积及综合应用学案

第3节　平面向量的数量积及综合应用

一、教材概念·结论·性质重现

1．向量的夹角

2．平面向量的数量积

(1)在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现．

(2)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．

3．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

(1)要准确理解数量积的运算律，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量．

(2)平面向量数量积运算的常用公式．

①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；

②(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；

③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

4．平面向量数量积的性质及坐标表示

已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　√　)

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)

(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)

(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)

(5)两个向量的夹角的范围是.(　×　)

2．若两个非零向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，|a＋2b|＝3，则a，b的夹角是(　　)

A.   B. 

C. D.π

D　解析：因为|b|＝2|a|＝2，|a＋2b|＝3，

所以(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝9，得a·b＝－2.

所以cos θ＝＝＝－1.

因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.

3．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.

12　解析：因为2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，

由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，

所以10＋2－k＝0，解得k＝12.

4．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影的数量为________．

　解析：＝(2,1)，＝(5,5)，

由定义知，在方向上的投影的数量为＝＝.

5．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请设法计算·＝________.

11　解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，＝(4,1)，＝＝(2,3)，所以·＝4×2＋1×3＝11.

考点1　平面向量数量积的运算——基础性

1．(2020·重庆模拟)已知向量a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，则a在b上的投影的数量为(　　)

A．－   B． 

C．－   D．

A　解析：由数量积定义可知，a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝－.

2．(2020·乐山模拟)已知向量a与向量m＝(4,6)平行，b＝(－5,1)，且a·b＝14，则a＝(　　)

A．(4,6) B．(－4，－6)

C．   D．

B　解析：因为向量a与向量m＝(4,6)平行，可设a＝.

由a·b＝14可得－5k＋k＝14，得k＝－4，

所以a＝(－4，－6)．

3．(2020·三明模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点M满足＝，设AM与BD交于点G，则·＝(　　)

A．1 B．2 

C．3 D．4

A　解析：以A为原点，AB和AD分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．

因为＝，所以M为线段CD的靠近点D的三等分点，所以M.

(方法一)显然△DGM∽△BGA，且相似比为1∶3.

＝＝＝，

＝(1,1)，·＝·(1,1)＝1.

(方法二)直线BD的方程为y＝－x＋1，直线AM的方程为y＝3x.

联立解得所以点G.

所以·＝·(1,1)＝×1＋×1＝1.

4．已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于________．

12　解析：因为a＝(x,1)，b＝(－2,4)，所以a＋b＝(x－2,5)．又(a＋b)⊥b，所以(x－2)×(－2)＋20＝0，所以x＝12.

平面向量数量积的三种运算方法

(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

(3)对于数量积与线性运算的综合问题，可先运用数量积的运算律，几何意义等化简，再运算．

考点2　平面向量数量积的性质——应用性

(2020·汕头二模)已知非零向量a，b，若|a|＝|b|，且a⊥(a－2b)，则a与b的夹角为(　　)

A.   B. 

C.   D.

B　解析：因为a⊥(a－2b)，

所以a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0，

所以a·b＝.又|a|＝|b|，

所以cos〈a，b〉＝＝＝，

且0≤〈a，b〉≤π，

所以a与b的夹角为.

1．将本例条件改为“已知平面向量a，b满足|a＋b|＝|a|＝|b|≠0”，求a与b的夹角．

解：由|a＋b|＝|a|＝|b|≠0，

所以(a＋b)2＝a2＝b2，

a2＋2a·b＋b2＝a2＝b2.

设a与b的夹角为θ，则|a|2＋2|a||b|cos θ＋|b|2＝|a|2，化简得1＋2cos θ＋1＝1，

解得cos θ＝－.

又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角θ＝.

2．本例若把条件改为“已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝|2a－b|＝1”，求|b|.

解：因为|2a－b|＝1，

所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝1，

所以4－4|b|cos 30°＋b2＝1，

整理得|b|2－2|b|＋3＝(|b|－)2＝0，

解得|b|＝.

1．求解平面向量模的方法

(1)利用公式|a|＝.

(2)利用|a|＝.

2．求平面向量的夹角的方法

(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π]．

(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.

(3)解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．

3．两向量垂直的应用

两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.

(2021·八省联考)已知单位向量a，b满足a·b＝0.若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

B　解析：因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.

因为c＝a＋b，所以|c|＝|a＋b|＝＝＝3.

所以cos〈a，c〉＝＝＝＝＝.

所以sin〈a，c〉＝＝.

考点3　平面向量数量积的应用——综合性

考向1　平面向量与三角函数

已知A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)．

(1)若||＝||，求角α 的值；

(2)若·＝－1，求的值．

解：(1)因为A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，

所以＝(cos α－3，sin α)，

＝(cos α，sin α－3)．

所以||＝，

||＝.

因为||＝||，

所以

＝，

即(cos α－3)2＋(sin α)2

＝(cos α)2＋(sin α－3)2，

所以sin α＝cos α，所以tan α＝1，

所以α＝kπ＋，k∈Z.

(2)由(1)知，＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，

所以·＝(cos α－3)cos α＋sin α·(sin α－3)＝1－3(sin α＋cos α)＝－1.

所以sin α＋cos α＝，

所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝2，

所以2sin αcos α＝－.

所以＝＝2sin αcos α＝－.

平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

考向2　平面向量的最值问题

(2020·武汉模拟)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)

A．－1　　　　　　　 B．＋1

C．2 D．2－

A　解析：设e＝(1,0)，b＝(x，y)，则b2－4e·b＋3＝0⇒x2＋y2－4x＋3＝0⇒(x－2)2＋y2＝1.如图所示，a＝，b＝B为圆C上动点，.

所以|a－b|min＝|CD|－1＝－1(其中CD⊥OA)．

平面向量的最值一般有两种处理方法

(1)几何法：充分利用几何图形的特征，结合向量的线性运算和向量的数量积运算解决．

(2)代数法：将平面向量的最值转化为坐标运算，建立目标函数，利用代数方法解决．

1. (2020·西城区二模)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，则|a＋xb|(x∈R)的最小值为(　　)

A.　　　 B.　　　

C.1　　　 D.

B　解析：|a＋xb|2＝a2＋2xa·b＋x2b2＝x2＋x＋1＝2＋，

所以当x＝－时，|a＋xb|取得最小值.

2．已知向量a＝，b＝，且x∈.

(1)求a·b及|a＋b|；

(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．

解：(1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x.

因为a＋b

＝，

所以|a＋b|

＝

＝＝2|cos x|.

因为x∈，

所以cos x>0，所以|a＋b|＝2cos x.

(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1

＝22－.

因为x∈，

所以≤cos x≤1，

所以当cos x＝时，f(x)取得最小值－；

当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.

(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠BAD＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.

[四字程度]

思路参考：探究△AEB中的边角大小．

－1　解析：如图，因为AD∥BC，且∠DAB＝30°，

所以∠ABE＝30°.

又因为AE＝BE，所以∠EAB＝30°.

所以∠E＝120°.

所以在△AEB中，AE＝BE＝2.

所以·＝(＋)·(＋)

＝－2＋·＋·＋·

＝－12＋2×2×cos 30°＋5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°

＝－12＋6＋15－10＝－1.

思路参考：用，作基向量表示·.

－1　解析：如图，

因为AE＝BE，AD∥BC，∠BAD＝30°，

所以在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°.

又AB＝2，所以AE＝BE＝2，

所以＝－.

因为＝＋，所以＝－.

又＝＋＝－＋，

所以·＝(－＋)·

＝－2＋·－2

＝－2＋||·||cos 30°－2

＝－12＋×2×5×－×25＝－1.

思路参考：构造菱形AEBF.

－1　解析：如图，过点B作AE的平行线交AD于点F.

因为AD∥BC，所以四边形AEBF为平行四边形，

因为AE＝BE，故四边形AEBF为菱形．

因为∠BAD＝30°，AB＝2，

所以AF＝2，即＝.

因为＝＝－＝－，

所以·

＝(－)·

＝·－2－2

＝×2×5×－12－10＝－1.

思路参考：利用坐标法求AE，BE所在直线的方程．

－1　解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2，0)，D.

因为AD∥BC，∠BAD＝30°，所以∠ABE＝30°.因为AE＝BE，所以∠BAE＝30°，所以直线BE的斜率为，其方程为y＝(x－2)，直线AE的斜率为－，其方程为y＝－x.

由得x＝，y＝－1，

所以E(，－1)．

所以·＝·(，－1)＝－1.

思路参考：利用坐标法确定点A，B，D，E的坐标．

－1　解析：过点B作BF垂直于AD于点F.

因为AB＝2，∠BAD＝30°，

则BF＝，AF＝3.

又因为AD∥BC，AE＝BE，

则∠EBA＝∠BAD＝∠EAB＝30°，则BE＝2.

以F为原点，FD，FB为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(－3,0)，B(0，)，D(2,0)，E(－2，)．

所以＝(2，－)，＝(1，)，

则·＝2－3＝－1.

1．本题考查平面向量数量积的计算问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助于数量积计算的两个公式，利用基向量法或者坐标法求解．

2．基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握读图能力、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．

3．本题以几何图形的处理为切入点，求向量的数量积，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．

已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

2　解析：(方法一)|a＋2b|＝

＝

＝

＝＝2.

(方法二)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图所示，则|a＋2b|＝||.

又∠AOB＝60°， 所以|a＋2b|＝2.