高考数学(理数)一轮复习学案5．3《平面向量的数量积》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案5．3《平面向量的数量积》(含详解)，共8页。

5．3　平面向量的数量积



1．数量积的概念
已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作____________，即a·b＝________，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的____________．
a·b的几何意义：数量积a·b等于___________________________________________．
2．数量积的运算律及常用结论
(1)数量积的运算律
①交换律：___________________；
②数乘结合律：_________________________；
③分配律：______________________________．
(2)常用结论
①(a±b)2＝________________________；
②(a＋b)·(a－b)＝_________________；
③ a2＋b2＝0⇔______________________；
④|－|________＋．
3．数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
① e·a＝____________．
② a⊥b⇔____________．
③当a与b同向时，a·b＝____________；
当a与b反向时，a·b＝____________．
特别地，a·a＝____________或＝____________．
④ cosθ＝____________．
⑤≤____________．
4．数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
①a·b＝____________；a2＝_______________；＝________________．
② a⊥b⇔____________________．
③≤________________________．

自查自纠：
1．cosθ　a·b　|a||b|cosθ　投影　a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积
2．(1)①a·b＝b·a　②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c
(2)①a2±2a·b＋b2　②a2－b2　③a＝0且b＝0　④ ≤
3．①|a|cosθ　②a·b＝0　③|a||b|　－|a||b|
|a|2　　④　⑤|a||b|
4．①x1x2＋y1y2　x＋y　
②x1x2＋y1y2＝0　③


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
已知a，b是两个单位向量，下列命题中错误的是 (　　)
A．|a|＝|b|＝1
B．a·b＝1
C．当a，b反向时，a＋b＝0
D．当a，b同向时，a＝b
解：因为a，b是两个单位向量，即模为1的向量，对于A，有|a|＝|b|＝1，则A正确；对于B，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉，则B错误；对于C，当a，b反向时，有a＋b＝0，则C正确；对于D，当a，b同向时，有a＝b，则D正确．故选B．
()已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝ (　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
解：因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝ 2＋1＝3．故选B．
()已知非零向量a，b，满足|a|＝|b|，且(a＋b)·(3a－2b)＝0，则a与b的夹角为 (　　)
A． B． C． D．π
解：非零向量a，b，满足|a|＝|b|，且(a＋b)· (3a－2b)＝0，所以3a2＋a·b－2b2＝0，设a，b的夹角为θ，所以3|a|2＋|a|×|b|×cosθ－2|b|2＝0，所以3× |b|2＋|b|×|b|×cosθ－2|b|2＝0，所以cosθ＝，θ＝，所以a与b的夹角为．故选A．
()已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
解：|a＋2b|＝＝2．故填2．
已知＝(2，1)，点C(－1，0)，D(4，5)，则向量在方向上的投影为________．
解：因为点C(－1，0)，D(4，5)，所以＝(5，5)，又＝(2，1)，所以向量在方向上的投影为||cos〈，〉＝＝＝．故填．


类型一　数量积的定义及几何意义
　(1)若a，b，c均为非零向量，则下列说法正确的是____________．(填写序号即可)
①a·b＝±·⇔a∥b；
②a⊥b⇔a·b＝0；
③a·c＝b·c⇔a＝b；
④(a·b)·c＝a·(b·c)．
解：a·b＝cosθ，θ为a，b的夹角，则 cosθ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a＝－b，a⊥c，则a·c＝b·c＝0，但a≠b；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c的倍数，等式右边为a的倍数．故填①②．

(2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为 (　　)
A． B． C．3 D．－

解：由已知可以知道，△ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此△ABC是直角三角形．且∠A＝，又因为||＝||＝||，所以∠C＝，∠B＝，所以AB＝，AC＝1，故在方向上的投影为||cos＝．故选A．

点　拨：
数量积a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2(其中两向量夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．其几何意义是：a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题．
　　
　(1) ()设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的
(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：因为m，n是非零向量，所以m·n＝ |m|·|n|cos〈m，n〉＜0的充要条件是cos〈m，n〉＜0．因为λ＜0，则由m＝λn可知m，n的方向相反，〈m，n〉＝180°，所以cos〈m，n〉 ＜0，所以“存在负数λ，使得m＝λn”可推得“m·n＜0”；而由“m·n＜0”，可推得“cos〈m，n〉＜0”，但不一定推得“m，n的方向相反”，故不能推得“存在负数λ，使得m＝λn”．综上，“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分而不必要条件．故选A．

(2)()已知向量a，b满足|b|＝5，|a＋b|＝4，|a－b|＝6，，则向量a在向量b方向上的投影为 (　　)
A．1 B．－1 C．5 D．－5
解：由题意可得(a＋b)2＝16，(a－b)2＝36，即a2＋b2＋2a·b＝16，a2＋b2－2a·b＝36，两式相减可得a·b＝－5，则向量a在向量b方向上的投影为 ＝＝－1．故选B．
类型二　数量积的基本运算
　(1)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝ (　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
解：由|a＋b|＝得a2＋b2＋2a·b＝10，①
由|a－b|＝得a2＋b2－2a·b＝6，②
①－②得4a·b＝4，所以a·b＝1．故选A．

(2)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量， a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
解：因为a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋(1－2k)(e1·e2)－2e，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－，所以k＋(1－2k)·－2＝0，解得k＝．故填．

(3)()在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若·＝0，则点A的横坐标为________．
解：设A(a，2a)(a>0)，则由圆心C为AB中点得C，易得⊙C：(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0，与y＝2x联立解得点D的横坐标xD＝1，所以D(1，2)(或由·＝0及圆的几何性质知BD⊥AD，则lBD：y＝－(x－5)，与y＝2x联立即可求得D(1，2))．所以＝(5－a，－2a)，＝，由·＝0得(5－a)(1－)＋(－2a)(2－a)＝0，a2－2a－3＝0，a＝3或a＝－1，因为a>0，所以a＝3．故填3．

点　 拨：
平面向量数量积的四种运算方法：①定义法，要注意两个向量的夹角；②坐标法，引入直角坐标系，明确向量的坐标进行运算；③利用向量数量积的几何意义，注意一个向量在另一向量上的投影是数量；④运用平方的技巧．
　　
　(1)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b| 等于 (　　)
A．5 B．4 C．3 D．1
解：向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则a·b＝|a||b|cos120°＝－|b|，|a＋b|2＝ |a|2＋2a·b＋|b|2．所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝ －1(舍去)或|b|＝4．故选B．
(2)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．
解：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×1×1×cos－8＝－6．故填－6．

(3)()如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，

AC与BD交于点O，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则 (　　)
A．I1 C．I3 解：因为I1－I2＝·－·
＝·(－)＝·，
因为AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，
所以与所成角为钝角，
所以I1－I2<0，即I1 因为I1－I3＝·－·
＝||||cos∠AOB－||||·cos∠COD
＝cos∠AOB(||||－||||)，
又∠AOB为钝角，OA 所以I1－I3>0，即I1>I3．
所以I3 类型三　用数量积表示两个平面向量的垂直关系
　(1)()已知向量m＝(－2，1)，n＝(1，1)．若(m－2n)⊥ (am＋n)，则实数a＝________．
解：向量m＝(－2，1)，n＝(1，1)，则m－ 2n＝(－4，－1)，am＋n＝(－2a＋1，a＋1)，
又(m－2n)⊥(am＋n)，则(m－2n)·(am＋n)＝ －4×(－2a＋1)＋(－1)×(a＋1)＝0，解得a＝．故填．

(2)()设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则 (　　)
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|＞|b|
解：因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，整理得4a·b＝0，所以a⊥b．故选A．

点　拨：
两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即：两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．
　　
　(1)()设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)，若a⊥(ma－b)，则m＝________．
解：因为a＝(1，0)，b＝(－1，m)，所以 ma－b＝(m，0)－(－1，m)＝(m＋1，－m)，由a⊥ (ma－b)得a·(ma－b)＝0，所以a·(ma－b)＝m＋ 1＝0，即m＝－1．故填－1．
(2)()已知平面向量 a＝(－1，2)，b＝(k，1)，且a⊥b，则a＋b在a方向上的投影为 (　　)
A． B．2 C． D．1
解：因为a⊥b，所以a＋b在a方向上的投影为＝＝＝．故选A．



1．平面向量的加法、减法及数乘运算的结果仍是一个向量，但是平面向量数量积运算的结果不是一个向量，而是一个实数．
2．注意平面向量的数量积与数的乘法的区别
在数的乘法中，若ab＝0，则a，b中至少有一个为0．但在向量的数量积中，由a·b＝0不能推得a＝0或b＝0，因为当两个非零向量a，b垂直时，也有a·b＝0．应注意平面向量的数量积不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
3．注意向量0与实数0的区别：0a＝0≠0， a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；0的方向是任意的，并非没有方向．
4．注意两个非零向量a，b的夹角与a，b所在直线的夹角的区别．前者的取值范围是[0，π]，后者的取值范围是．
5．求向量模的常用方法是利用公式＝a2即|a|＝将模的运算转化为向量的数量积．
6．利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题，即只需将问题转化为向量形式，用向量的运算来求解．如果能够建立适当的直角坐标系，用向量的坐标运算往往更为简捷．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．()若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝ (　　)
A．0 B．4 C．－ D．－
解：由条件可得2k－1－4k＝0，k＝－，m＝，m·n＝－2×4－＝－．故选D．
2．() 已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ为 (　　)
A． B． C． D．
解：因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，
所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝．
又a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ，所以cosθ＝．
因为θ∈[0，π]，所以θ＝．故选C．
3．设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的 (　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．若a·b＝|a||b|，则cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0，可得a∥b；若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，此时a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|．故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．故选A．
4．()已知非零单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角为(　　)
A． B． C． D．
解法一：设a与b－a的夹角为θ．
因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以a·b＝0．
因为a，b为非零单位向量，所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝．
因为a·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cosθ，
所以cosθ＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝．
解法二：几何法．

如图，|a＋b|与|a－b|分别表示以a，b为邻边(共起点)的菱形两对角线长度，且长度相等，从而菱形为正方形，再作出b－a知所求为．
解法三：坐标法．由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又a，b为单位向量，则在平面直角坐标系中取a＝(1，0)，b＝(0，1)，则b－a＝(－1，1)，由向量夹角的坐标运算知a与b－a的夹角为．故选D．
5．()在给出的下列命题中，是假命题的是 (　　)
A．设O、A、B、C是同一平面上的四个不同的点，若＝m·＋(1－m)·(m∈R)，则点A、B、C必共线
B．若向量a，b是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c＝ λa＋μb(λ，μ∈R)，且表示方法是唯一的
C．已知平面向量、、满足||＝ ||＝||＝r(r>0)，且＋＋＝0，则△ABC是等边三角形
D．在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a，b，c，d，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直
解：由＝m·＋(1－m)·⇒－＝m·(－)⇒＝m·，则A、B、C必共线，故A正确；由平面向量基本定理可知B正确；对＝－－两边平方得cos∠BOC＝－，同理，所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝120°，即△ABC是等边三角形，故C正确；令a＝(0，1)，b＝(0，2)，c＝(1，0)，d＝(2，0)，则(a＋b)·(c＋d)＝0，故D错误．故选D．
6．()在△ABC中，·＝0，||＝2，||＝2，D为AC的中点，则·＝ (　　)
A．2 B．－2 C．2 D．－2
解法一：由题意可得||＝||＝||＝2，所以△ABD为等边三角形，所以∠ADB＝60°，所以·＝||·||cos120°＝－2．
解法二：依题意知AB⊥BC，则以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，由D为AC的中点知D(，1)，则＝(，1)，＝(－，1)．故·＝×(－)＋1＝－2．故选B．

7．()如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为BC的中点，点F为CD的中点，则·的值是________．

解：由题得·＝·＝·＋2－2－·＝0＋2－2－0＝0．所以·＝0．
另解：建立适当的平面直角坐标系，写出各点的坐标，从而用向量的坐标求解．故填0．
8．()已知菱形ABCD的一条对角线BD长为2，点E满足＝，点F为CD的中点，若·＝－2，则·＝________．
解：如图建立平面直角坐标系，

设C(t，0)，则A(－t，0)，B(0，－1)，D(0，1)，E，F，故＝(t，1)，＝，＝(－t，1)， ＝．因为·＝－2，所以－t2＋＝－2，解得t2＝5，·＝－t2＋＝－7．故填－7．
9．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)．
(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；
(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；
(3)求向量a在b方向上的投影．
解：(1)因为a＝(1，2)，b＝(2，－2)，
所以c＝4a＋b＝(4，8)＋(2，－2)＝(6，6)．
所以b·c＝2×6－2×6＝0，所以(b·c)a＝0·a＝0．
(2)a＋λb＝(1，2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1，2－2λ)，
由于a＋λb与a垂直，
所以2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝．
(3)设向量a与b的夹角为θ，
向量a在b方向上的投影为|a|cosθ．
所以|a|cosθ＝＝＝－＝－．
10．已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°．
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．
解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16．
(1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a＋b|＝4．
②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，所以|4a－2b|＝16．
(2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，
所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7．
即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
11．()在△ABC中，AB＝3AC＝9，·＝2，点P是△ABC所在平面内一点，则当2＋2＋2取得最小值时，求·的值．
解：由·＝2，得·＝0，
所以⊥，即∠C＝，则BC＝＝6．

以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(3，0)，B(0，6)，设P(x，y)，
则2＋2＋2＝(x－3)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2
＝3x2－6x＋3y2－12y＋81
＝3[(x－1)2＋(y－2)2＋18]，
所以当x＝1，y＝2时取得最小值，此时P(1，2)，
则·＝(2，－2)·(0，－6)＝24．
()在△ABC中，∠C＝90°，|AB|＝6，点P满足|CP|＝2，则·的最大值为 (　　)
A．9 B．16 C．18 D．25
解：取AB的中点D，连接CD，令与的夹角为α．
·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝22＋·2＝4＋2·＝ 4＋2||||cosα＝4＋2×2×3cosα＝4＋12cosα，所以当α＝0时，·的最大值为16．故选B．