人教版高考数学一轮复习第5章平面向量第3节平面向量的数量积及应用举例学案理含解析

这是一份人教版高考数学一轮复习第5章平面向量第3节平面向量的数量积及应用举例学案理含解析，共8页。学案主要包含了疑误辨析，走进教材，易错自纠等内容，欢迎下载使用。
第三节　平面向量的数量积及应用举例 [最新考纲][考情分析][核心素养]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.　　平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是2021年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.数学运算‖知识梳理‖1．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a|·|b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积2.向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直►常用结论两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cos θ＝cos θ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0►常用结论平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　　)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　)(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　)(5)两个向量的夹角的范围是.(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×二、走进教材2．(必修4P108A10改编)设a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A3．(必修4P108A2改编)在圆O中，长度为的弦AB不经过圆心，则·的值为________．答案：1三、易错自纠4．给出下列说法：①向量b在向量a方向上的投影是向量；②若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角；③(a·b)c＝a(b·c)；④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.其中正确的说法有________个．答案：05．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为________．解析：由题意，得＝(2，1)，＝(5，5)．由定义知，在方向上的投影为＝＝.答案：6．已知|a|＝3，|b|＝5，如果a∥b，则a·b＝________．解析：当a，b的夹角为0°时，a·b＝15；当a，b的夹角为180°时，a·b＝－15.答案：15或－15|题组突破|1．(2019年全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)A．－3 B．－2C．2 D．3解析：选C　因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C．2．(2020届陕西摸底)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝4，则(a－b)·b＝(　　)A．－16 B．－13C．－12 D．－10解析：选C　(a－b)·b＝a·b－b2＝|a||b|cos 60°－|b|2＝2×4×－42＝－12.故选C．3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.解析：解法一(几何法)：因为·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·.因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||·||cos ，化简得||＝2.故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos ＝12.解法二(坐标法)：如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，则由·＝2·，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.答案：12►名师点津求非零向量a，b的数量积的3种方法直接法若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算几何法根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解坐标法若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直．●命题角度一　平面向量的模【例1】　(1)(2019届昆明调研)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，3)，则|2a－b|＝(　　)A． B．2C． D．10(2)(2019届长春质检)已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________．[解析]　(1)∵a＝(－1，2)，∴2a＝(－2，4)．∵b＝(1，3)，∴2a－b＝(－3，1)，∴|2a－b|＝，故选C．(2)由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos ＋2×1×3×cos ＋2×1×3×cos ＝4，所以|a＋b＋c|＝2.[答案]　(1)C　(2)2●命题角度二　平面向量的夹角【例2】　(1)(2019年全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)A． B．C． D．(2)(2019年全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________．[解析]　(1)设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a||b|cos α＝|b|2.又|a|＝2|b|，∴cos α＝.∵α∈[0，π]，∴α＝.故选B．(2)由题意可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝.[答案]　(1)B　(2)●命题角度三　平面向量的垂直【例3】　(1)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　)A．直角梯形 B．矩形C．菱形 D．正方形(2)(2020届四川五校联考)已知a＝(2，－1)，b＝(λ，1)，若a⊥b，则λ＝________．[解析]　(1)由＋＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0得·＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C．(2)因为a⊥b，所以a·b＝0，即2×λ＋(－1)×1＝0，解得λ＝.[答案]　(1)C　(2)►名师点津平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.②|a±b|＝＝.③若a＝(x，y)，则|a|＝.|跟踪训练|1．(2019年全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝(　　)A． B．2C．5 D．50解析：选A　依题意得a－b＝(－1，1)，∴|a－b|＝＝，故选A．2．(2019年北京卷)已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________．解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，即－4×6＋3m＝0，解得m＝8.答案：83．(2019年全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，则cos〈a，b〉＝________．解析：cos〈a，b〉＝＝＝－.答案：－平面向量的数量积常与最值、范围问题相结合创新考点．该类题目能力要求较高，难度大，有一定的综合性．【例】　(1)(2019届武汉调研)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是(　　)A．1＋ B．1－C．－1 D．1(2)如图，在平面四边形ABCD中，|＋|＝|－|，＝2，＝－2，||＝||＝2，若F为线段DE上的动点，则·的最小值为(　　)A．1 B．2C．4 D．3[解析]　(1)如图，作出，使得＋＝.∵⊥，∴·＝0，∴(－)·(－)＝2－·－·＋·＝1－(＋)·＝1－·.由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋，故选A．(2)由|＋|＝|－|，得AB⊥BC．由＝2，得BC∥AD，则AD⊥AB．又＝－2，||＝||＝2，所以AB＝3，BC＝BE＝2，AD＝AE＝1.以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，3)，C(2，0)，B(0，0)，D(1，3)，E(0，2)，所以DE所在的直线方程为y＝x＋2.设F(x，y)(0≤x≤1)，则＝(x，y)，＝(x－2，y)，所以·＝x(x－2)＋y2＝x2－2x＋(x＋2)2＝2x2＋2x＋4.因为0≤x≤1，所以当x＝0时，·取得最小值4.故选C．[答案]　(1)A　(2)C►名师点津平面向量中有关最值、范围问题的2种解题思路(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．|跟踪训练|在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为________．解析：不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．由题意可设M(a，2－a)，N(a＋1，1－a)(由题意可知0<a<1)，∴＝(a，2－a)，＝(a＋1，1－a)，∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2＝2＋.∵0<a<1，∴·∈.答案：