2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）专题08 有理数中的新定义问题（原卷版）

这是一份2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）专题08 有理数中的新定义问题（原卷版），共10页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题：
概念学习规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2 ③，读作“2的圈3次方”，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3) ④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a...÷an个a(a≠0)记作ⓝ，读作“a的圈n次方”． 初步探究
(1)直接写出计算结果：2 ③= ，(-12) ⑤= ；
(2)关于除方，下列说法错误的是( )
A.任何非零数的圈2次方都等于1
B.对于任何正整数n，1ⓝ=1
C.3 ④=4 ③
D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢⋅
(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
(-3)④= ；5⑥= ；(-12)10= ；
(4)想一想：将一个非零有理数a的圈n(n≥3)次方写成幂的形式为 ；
(5)算一算：122+(-13)④×(-2)⑤-(-13)⑥÷33



阅读并解决相应问题

(1)问题发现：
在数轴上，点A表示的数为-2，点B表示的数为3，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n节点”.如图1，若点P表示的数为12，有点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为52+52=5，则称点P为点A、B的“5节点”.填空：
①若点P表示的数为0，则n的值为________；
②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为A、B的“5节点”，请直接写出整点P所表示的数．
(2)类比探究：
如图2，若点P为数轴上一点，且点P到点A的距离为1，请你求出点P表示的数及n的值，并说明理由．
(3)拓展延伸：
若点P在数轴上运动(不与点A、B重合)，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的23，且此时点P为点A、B的“n的节点”，求点P表示的数及n的值，并说明理由．







知识准备：数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离表示为：AB=|a-b|.
问题探究：数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且a、b，满足|b+2a|+(a-2)2=0．
(1)直接写出：a=________、b=________；
(2)在数轴上有一点P对应的数为x，请问：当点P到A、B两点的距离和为6时，x满足什么条件？请利用数轴进行说明(此时PA+PB最小)．
拓展：当数轴上A、B、C三点对应的数分别为a=2、b=-4、c=8，在数轴上有一点P对应的数为x，当x满足什么条件时，PA+PB+PC的值最小？
应用：国庆期间滕王阁至八一大桥之间是观看“国庆灯光秀”的理想区域，滕王阁与八一大桥相距约5公里．在国庆期间，为了服务广大市民，滕王阁与八一大桥之间每隔1公里安排了便民服务小组(滕王阁与八一大桥不安排)，还需要设置一个便民服务物资站，请问便民服务物资站应该设置在什么地方，使它到各个便民服务小组的距离和最小，最小值是多少公里？
便民服务物资站位置代表的数记作m利用图3直接给出结果：m满足的条件：________，最小值为________公里．





小明在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3.计算|x1|，|x1+x2|2，|x1+x2+x3|3，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的最佳值．例如，对于数列2，-1，3，因为|2|=2，|2+(-1)|2=12，|2+(-1)+3|3=43，所以数列2，-1，3的最佳值为12．
小明进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列-1，2，3的价值为12；数列3，-1，2的最佳值为1；….经过研究，小明发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为12.根据以上材料，回答下列问题：
(1)求数列-8，6，2的最佳值；
(2)将“-6，-3，1”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为__________，取得最佳值最小值的数列为__________(写出一个即可)；
(3)将3，-10，a(a>0)这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若使数列的最佳值为1，求a的值．






学习过绝对值之后，我们知道|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探究解决以下问题：
(1)|x+6|可以理解为______ 与______ 两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
(2)找出所有符合条件的整数x，使|x+1|+|x-2|=3成立；
(3)如图，在一条笔直的高速公路旁边依次有A、B、C三个城市，它们距高速公路起点的距离分别是567 km、689 km、889km.现在需要在该公路旁建一个物流集敢中心P，请直接指出该物流集散中心P应该建设在何处，才能使得P到三个城市的距离之和最小这个最小距离是多少？








数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．
例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．
(1)若点A表示数-2，点B表示数1，下列各数-1，2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“关联点”的是______；
(2)点A表示数-10，点B表示数15，P为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数．





点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，点A与原点O两点之间的距离表示为AO，则AO=|a-0|=|a|，类似地，点B与原点O两点之间的距离表示为BO，则BO=|b|，点A与点B两点之间的距离表示为AB=|a-b|.请结合数轴，思考并回答以下问题：
(1)数轴上表示1和-3的两点之间的距离是_____；
(2)数轴上表示m和-1的两点之间的距离是_____；
(3)数轴上表示m和-1的两点之间的距离是3，则有理数m是_____；
(4)若x表示一个有理数，并且x比-3大，x比1小，则|x-1|+|x+3|=_____；
(5)求满足|x-2|+|x+4|=6的所有整数x的和．









对于各位数字均不相同的三位自然数m=abc，交换百位数字和个位数字后得到m1=cba，记Fm=m-m199，若Fm能被5整除，则称m为“五好数”.例如：621是“五好数”，因为F621=621-12699=5，5能被5整除，所以621是“五好数”；743不是“五好数”，因为F743=743-34799=4，4不能被5整除，所以743不是“五好数”．
(1) 判断409、678是否是“五好数”？并说明理由；
(2) m是“五好数”，若a>c且满足a-b+b-c能被7整除，求出所有符合题意的m值．


观察下列两个等式：2-13=2×13+1，5-23=5×23+1，
给出定义如下：
我们称使等式a-b=ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”．
(1)通过计算判断数对“-2，1”“4，35”是不是“共生有理数对”;
(2)若“6，a”是“共生有理数对”，求a的值;
(3)若“m，n”是“共生有理数对”，则“-n，-m” (填“是”或“不是”)“共生有理数对”，并说明理由．






材料阅读：把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1,2，-3}、-2,7,34,19，我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的元素.如果一个集合的所有元素均为有理数且满足当有理数a是集合的元素时，2015-a也是这个集合的元素，那么我们称这个集合为好的集合.例如集合{2015,0}就是一个好的集合.问题解答：
(1)集合{2015} 好的集合，集合{-1,2016} 好的集合(两空均填“是”或“不是”)．
(2)若一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合是否存在最小的元素⋅如果存在，请直接写出答案，否则，说明理由．
(3)若一个好的集合的所有元素之和为整数M，且22161



对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”.例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．
(1)当点A表示数-2，点B表示数2时，下列各数-52，0，1，4是点A、B的“倍分点”的是______ ；
(2)当点A表示数-10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点，
①若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数；
②若点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数．







我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因数叫做a的真因数.如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．
把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”.如10的“完美指标”是(1+2+5)÷10=45．
一个自然数的“完美指标”越接近1，我们就说这个数越“完美”.如8的“完美指标”是(1+2+4)÷8=78，10的“完美指标”是45，因为78比45更接近1，所以我们说8比10更完美．
(1)试分别计算5、6、9的“完美指标”；
(2)试找出比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数．



给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为an(n为正整数)，如下面这列数2，4，6，8，10中，a1=2，a2=4，a3=6，a4=8，a5=10.规定运算sum(a1:an)=a1+a2+a3+…+an，即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数．如在上面的一列数中，sum(a1:a3)=2+4+6=12．
(1)已知一列数1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，9，-10，则a3=__________，sum(a1:a10)=__________．
(2)已知这列数1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，9，-10，…，按照规律可以无限写下去，则a2018=__________，sum(a1:a2018)=__________．
(3)在(2)的条件下是否存在正整数n使等式|sum(a1:an)|=50成立？如果有，写出n的值；如果没有，请说明理由．










对于有理数a，b，n，d，若|a-n|+|b-n|=d，则称a和b关于n的“绝对友好值”为d，例如，|2-1|+|3-1|=3，则2和3关于1的“绝对友好值”为3．
(1)-3和5关于1的“绝对友好值”为__________；
(2)若a和3关于2的“绝对友好值”为5，求a的值；
(3)若1和2关于n的“绝对友好值”为d1，3和4关于n的“绝对友好值”为d2，5和6关于n的“绝对友好值”为d3，7和8关于n的“绝对友好值”为d4，……，99和100关于n的“绝对友好值”为d50．
①当d1+d2的值最小时，此时n的最大值为_______；
②求d1+d2+d3+……+d50的最小值．







定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以11所得的商记为S(x)．
例如，a=13，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为13+31=44，和44除以11的商为44÷11=4，所以S(13)=4．
(1)下列两位数：20，29，77中，“相异数”为_______，计算：S(43)=________；
(2)若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是2(k-1)，且S(y)=10，求相异数y；
(3)小慧同学发现若S(x)=5，则“相异数”x的个位数字与十位数字之和一定为5，请判断小慧发现”是否正确？如果正确，说明理由；如果不正确，举出反例．