2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）专题04 有理数中的解答题压轴题（原卷版）

专题04  《有理数》中的解答题压轴题

（满分120分     时间：60分钟）       班级              姓名               得分          

一、绝对题：

1．概念学习

规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”．

初步探究

（1）直接写出结果：________；

（2）关于除方，下列说法错误的是_________．

①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；

③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．

深入思考

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

例：

（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式

_______；_______．

（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于___________；

（5）算一算：________．

2．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的三个问题．例：三个有理数a，b，c满足，求的值．

解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．

①当a，b，c都是正数，即，，时，

则：；

②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，，，

则：；

综上所述：的值为3或-1．

请根据上面的解题思路解答下面的问题：

（1）已知，，且，求的值；

（2）已知a，b是有理数，当时，求的值；

（3）已知a，b，c是有理数，，．求的值．

3．如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．

（1）可求得          ，第个格子中的数为            ；

（2）若前个格子中所填整数之和，则的值为多少？若的值为多少？

（3）若，则的最小值为              ．

4．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．

①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．

②在方程|x﹣1|=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x=﹣1．

③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3，所以原方程的解是x=2或x=﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：

(1)方程|x|=5的解是_______________．

（2）方程|x﹣2|=3的解是_________________．

（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|=9．

5．已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为70．

（1）数轴上有一点M，M点距离A点10个单位长度，请计算M点与B点的距离；

（2）现在有一只电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，请你求出C点对应的数；

（3）若当电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以2单位/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，并写出此时P点对应的数．

6．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：

（1）已知点，，表示的数分别为1，，-3．观察数轴，与点的距离为3的点表示的数是____，，两点之间的距离为_____．

（2）数轴上，点关于点的对称点表示的数是_____．

（3）若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是_____；若此数轴上，两点之间的距离为2019(在的左侧)，且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是_____，点表示的数是_____；

（4）若数轴上，两点间的距离为 (在左侧)，表示数的点到，两点的距离相等，将数轴折叠，当点与点重合时，点表示的数是_____，点表示的数是_____(用含，的式子表示这两个数)．

7．探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2(　　)

　23﹣22=　　　　=2(　　)，

　24﹣23=　　　　=2(　　)，

……

（1）请仔细观察，写出第4个等式；

（2）请你找规律，写出第n个等式；

（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．

8．（阅读材料）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示．这样能够运用数形结合的方法解决一些问题，例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；

在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；

在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为；

在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为；

在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；……

如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表为或，记为．

（解决问题）

（1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于______，数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为______，若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于_______．

（拓展探究）

（2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为点，动点表示的数为．

①若点在点两点之间，则______；

②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，求的值．

9．观察下列各式：，

（1）根据上述规律写出第5个等式是________；

（2）规律应用：计算：；

（3）拓展应用：计算：；

10．有理数，，在数轴上的位置如图所示

（1）比较、、的大小（用“>”连接）；

（2）若，求的值；

（3）若，，，且，，对应的点分布为、、，问在数轴上是否存在一点M，使M与B的距离是M与C的距离的2倍，若存在，请求出M点对应的有理数；若不存在，请说明理由．