高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率课后练习题

10.3.1　频率的稳定性

课后·训练提升

基础巩固

1.给出下列三种说法:①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,抛一枚硬币出现正面的概率是;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中说法正确的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案A

2.今天北京降雨的概率是80%,上海降雨的概率是20%,下列说法不正确的是(　　)

A.北京今天一定降雨,而上海一定不降雨

B.上海今天可能降雨,而北京可能不降雨

C.北京和上海今天都可能不降雨

D.北京今天降雨的可能性比上海大

解析北京降雨的概率大于上海降雨的概率,说明北京降雨的可能性比上海大,两个城市可能都降雨,但是不能确定北京今天一定降雨,上海一定不降雨.

答案A

3.下列说法正确的是(　　)

①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度;②在同一次试验中,每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数;③在同一次试验中,每个试验结果出现的频率之和不一定等于1;④概率=频率.

A.①③ B.①②④

C.①② D.③④

解析由频率、频数、概率的定义,易知①②正确.故选C.

答案C

4.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:

根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　)

A. B. C. D.

解析由题意得,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200+2 100=3 300,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.故选C.

答案C

5.从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):

492　496　494　495　498　497　501　502　504　496

497　503　506　508　507　492　496　500　501　499

根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g~501.5 g之间的概率约为　　　　　. 

解析易知袋装食盐质量在497.5~501.5 g之间的袋数为5,故其频率为=0.25,即其概率约为0.25.

答案0.25

6.某制造商今年3月份生产了一批乒乓球,随机抽取100个进行检查,测得每个乒乓球的直径(单位:mm),将数据分组如下:

若用上述频率近似概率,已知标准乒乓球的直径为40.00 mm,则这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率是　　　　　. 

解析标准尺寸是40.00 mm,并且误差不超过0.03 mm,即直径需落在[39.97,40.03]范围内.由频率分布表知,所求频率为0.20+0.50+0.20=0.90,所以直径误差不超过0.03 mm的概率约为0.90.

答案0.90

7.从一堆苹果中任取了20个,并得到它们的质量(单位:克)数据分布如下表:

则这堆苹果中,质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的　　　　　%,若这堆苹果共有200个,则估计质量不小于120克的苹果有　　　　　个. 

解析计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率,来估计这堆苹果中质量不小于120克的苹果所占的比例,实质上也是用频率估算概率.由题意知=0.7=70%.

答案70　140

8.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约有　　　　条鱼. 

解析设池塘约有n条鱼,则含有标记的鱼的概率为,由题意得×50=2,解得n=750.

答案750

9.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1~5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数分布表:

则落在桌面的数字不小于4的频率为　　　　. 

解析落在桌面的数字不小于4,即4,5的频数共13+22=35.所以频率为=0.35.

答案0.35

10.某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:

(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;

(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.

解(1)设A=事件“赔付金额为3 000元”,B=事件“赔付金额为4 000元”,D=事件“赔付金额大于2 800元”.由题意知,A,B互斥且D=A∪B.

由频率估计概率知,P(A)==0.15,P(B)==0.12.

所以P(D)=P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.

(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100辆,而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.

11.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

(1)记事件A=“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;

(2)记事件B=“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;

(3)求续保人本年度的平均保费的估计值.

解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.

(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.

(3)由题所求分布列为:

调查200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a,

因此,续保人本年度平均保费估计值为1.192 5a.

能力提升

1.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,P(A)与的大小关系是(　　)

A.P(A)≈ B.P(A)<

C.P(A)> D.P(A)=

解析在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,越来越接近P(A),因此我们可以用近似地代替P(A).

答案A

2.抛掷两枚质地均匀的正方体骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为10的概率时产生的整数随机数中,每组中数的个数为(　　)

A.1 B.2

C.3 D.10

解析先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子,它们的点数可分别设为x,y,则x+y=10,产生的整数随机数中,每组中数字的个数为2.

答案B

3.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子里,有放回地取100次,每次取一张卡片,并记下号码,统计结果如下表所示,则取到号码为奇数的频率是(　　)

A.0.53 B.0.5

C.0.47 D.0.37

答案A

4.关于天气预报中的“预报某地降水概率为10%”,下列解释正确的是(　　)

A.有10%的区域降水

B.10%太小,不可能降水

C.降水的可能性为10%

D.是否降水不确定,10%没有意义

解析预报某地降水概率为10%,说明明天下雨的可能性为10%.

答案C

5.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6),若前3次连续抛到“6点朝上”,则对于第4次抛掷的结果的预测,下列说法正确的是(　　)

A.一定出现“6点朝上”

B.出现“6点朝上”的概率大于

C.出现“6点朝上”的概率等于

D.无法预测“6点朝上”的概率

解析随机事件具有不确定性,与前面的试验结果无关.因为正方体骰子的质地是均匀的,所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的,概率都为.

答案C

6.一袋中有红球3只,白球5只,还有黄球若干只.某人随意摸100次,其摸到红球的频数为30,那么袋中的黄球约有　　　　　只. 

解析设x为袋中黄球的只数,根据题意可得

,解得x≈2.

答案2

7.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是　　　　　. 

解析记“一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎”为事件A,利用频率估计概率可知,事件A发生的概率大约为=0.03.

答案0.03

8.某个地区从某年起n年内的新生婴儿数及其中男婴数如表所示(单位:个):

(1)填写表中的男婴出生频率(结果保留两位有效数字);

(2)这一地区男婴出生的概率约是　　　　　. 

解析(1)频率f(A)=,故从左到右各频率依次为0.49,0.54,0.50,0.50.

(2)可以利用频率来求近似概率.由(1)得概率约为0.50.

答案(1)0.49　0.54　0.50　0.50　(2)0.50

9.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的《高等数学》科目,下表是李老师统计的这门课3年来学生的考试成绩分布:

经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的《高等数学》科目,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位).

(1)90分以上;

(2)60分~69分;

(3)60分以上.

解总人数为43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李老师的《高等数学》科目的人的考试成绩在各个段上的频率依次为:≈0.067,≈0.282,≈0.403,≈0.140,≈0.096,≈0.012.用已有的信息,可以估计出王小慧下学期选修李老师的《高等数学》得分的概率如下:

(1)将“90分以上”记为事件A,则P(A)≈0.067.

(2)将“60分~69分”记为事件B,则P(B)≈0.140.

(3)将“60分以上”记为事件C,则P(C)≈0.067+0.282+0.403+0.140=0.892.