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新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：2.2 函数的单调性与最大（小）值
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这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习课件：2.2 函数的单调性与最大（小）值，共54页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，知识梳理，上升的，下降的，fx≤M，fx0M，fx≥M，常用结论，考点自诊等内容，欢迎下载使用。
案例探究2 双变量“存在性或任意性”问题
1.函数的单调性(1)函数单调性及单调区间的定义
f(x1)
(2)函数单调性的充要条件
2.函数的最大(小)值
函数单调性的常用结论:
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
2.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( )A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)
答案 D 解析 令t=x2-2x-8.由x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.易知t=x2-2x-8在(-∞,-2)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增.因为y=ln t在t∈(0,+∞)上单调递增,可得函数f(x)的单调递增区间是(4,+∞).故选D.
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则( )
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
解 当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明如下:(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x10,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)利用已知函数的单调性;(4)导数法.2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法:(1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断;(2)可导函数可以利用导数证明.3.复合函数单调性的判断方法:复合函数y=f(g(x))的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
(1)求f(1)的值;(2)证明:f(x)为减函数.
(1)解 令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.∴函数f(x)是减函数.
【例2】 求下列函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.(1)y=-x2+2|x|+1;(3)f(x)=(3-x2)ex.
(3)f'(x)=-2xex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex[-(x+3)(x-1)],当-30,当x>1或x<-3时,f'(x)<0,∴函数y=(3-x2)ex在区间(-3,1)上单调递增,在区间(-∞,-3),(1,+∞)上单调递减.
解题心得求函数的单调区间与确定函数单调性的方法一致,常用以下方法:(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间;(2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义求解;(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间;(4)导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.
(2)(2017全国1,文9)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 (1)B (2)C (3)B
(2)f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,随着x的增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x∈(1,2)时,随着x的增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故排除A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除D.故选C.
考向1 利用函数的单调性求函数的值域或最大(小)值
答案 (1)9 (2)D 解析 (1)∵f(x)的定义域为[1,+∞),且f(x)在定义域上单调递增,∴f(x)min=f(1)=9.故答案为9.当x=2时,y=0.根据题意x∈(m,n]时,ymin=0.所以m的取值范围是[-1,2).故选D.
解题心得函数最大(小)值的几何意义:函数的最大值对应图象最高点的纵坐标,函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.利用单调性求解最大(小)值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解.
对点训练3(2020辽宁大连模拟,文10)在实数的原有运算法则中,我们补充新运算“?”,定义如下,当a≥b时,a?b=a;当a
考向3 利用函数的单调性解不等式【例5】 (2020新高考全国1,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]
∵f(2)=0,∴f(-2)=0.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x)在(0,+∞)上也单调递减.解得1≤x≤3或-1≤x≤0,∴满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选D.
解题心得求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(m)
答案 (-3,-1)∪(3,+∞) 解析由已知可得 解得-33,所以实数a的取值范围为(-3,-1)∪(3,+∞).
考向4 利用函数的单调性求参数的值(或取值范围)【例6】 (2020山西太原三模,文10)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(lg2a)+ ≤2f(1),则a的取值范围是( )
答案 C 解析 原问题等价于f(lg2a)+f(-lg2a)=2f(lg2a)≤2f(1),即f(lg2a)≤f(1).因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(|lg2a|)≤f(1),所以|lg2a|≤1.求解关于实数a的对数不等式,可得实数a的取值范围是[ ,2]
解题心得利用单调性求参数时,应根据问题的具体情况,确定函数的单调区间,列出与参数有关的不等式,或把参数分离出来求解.
案例探究(二) 双变量“存在性或任意性”问题
双变量问题中一般穿插有两个及以上的“任意”或“存在”量词,学生往往因为不知道如何等价转换致使解题走向迷茫,部分学生甚至机械地背诵结论导致走入误区.解决双变量“存在性或任意性”问题,关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),旨在落实逻辑推理核心素养.
类型1 形如“对∀x1∈A,都∃x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立”【例1】 已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x) ,若对任意x1∈[-1,1],总存在x2∈[0,2],使得f'(x1)+2ax1=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
思维突破此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于实数a的不等式组,求得参数的取值范围.
类型2 形如“∃x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立”
思维突破本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.
类型3 形如“对∀x1∈A,都∃x2∈B,使得f(x1)
思考1: 在[例3]中,若把“∃x2∈[2,3]”变为“∀x2∈[2,3]”时,其他条件不变,则实数a的取值范围是 . 提示问题“等价转化”为[f(x)]max≤[g(x)]min,请读者自行求解.思考2:在[例3]中,若把“∀x1∈[ ,1]”改为“∃x1∈[ ,1]”,其他条件不变,则实数a的取值范围是 . 提示问题“等价转化”为f(x)min≤g(x)max,请读者自行求解.思考3:在[例3]中,若把“使得f(x1)≤g(x2)”变为“f(x1)≥g(x2)”,其他条件不变,则实数a的取值范围是 . 提示问题“等价转化”为f(x)min≥g(x)min,请读者自行求解.
案例探究2 双变量“存在性或任意性”问题
1.函数的单调性(1)函数单调性及单调区间的定义
f(x1)
(2)函数单调性的充要条件
2.函数的最大(小)值
函数单调性的常用结论:
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
2.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( )A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)
答案 D 解析 令t=x2-2x-8.由x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.易知t=x2-2x-8在(-∞,-2)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增.因为y=ln t在t∈(0,+∞)上单调递增,可得函数f(x)的单调递增区间是(4,+∞).故选D.
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则( )
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
解 当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明如下:(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)利用已知函数的单调性;(4)导数法.2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法:(1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断;(2)可导函数可以利用导数证明.3.复合函数单调性的判断方法:复合函数y=f(g(x))的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
(1)求f(1)的值;(2)证明:f(x)为减函数.
(1)解 令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.∴函数f(x)是减函数.
【例2】 求下列函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.(1)y=-x2+2|x|+1;(3)f(x)=(3-x2)ex.
(3)f'(x)=-2xex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex[-(x+3)(x-1)],当-3
解题心得求函数的单调区间与确定函数单调性的方法一致,常用以下方法:(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间;(2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义求解;(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间;(4)导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.
(2)(2017全国1,文9)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 (1)B (2)C (3)B
(2)f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,随着x的增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x∈(1,2)时,随着x的增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故排除A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除D.故选C.
考向1 利用函数的单调性求函数的值域或最大(小)值
答案 (1)9 (2)D 解析 (1)∵f(x)的定义域为[1,+∞),且f(x)在定义域上单调递增,∴f(x)min=f(1)=9.故答案为9.当x=2时,y=0.根据题意x∈(m,n]时,ymin=0.所以m的取值范围是[-1,2).故选D.
解题心得函数最大(小)值的几何意义:函数的最大值对应图象最高点的纵坐标,函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.利用单调性求解最大(小)值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解.
对点训练3(2020辽宁大连模拟,文10)在实数的原有运算法则中,我们补充新运算“?”,定义如下,当a≥b时,a?b=a;当a
考向3 利用函数的单调性解不等式【例5】 (2020新高考全国1,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]
∵f(2)=0,∴f(-2)=0.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x)在(0,+∞)上也单调递减.解得1≤x≤3或-1≤x≤0,∴满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选D.
解题心得求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(m)
答案 (-3,-1)∪(3,+∞) 解析由已知可得 解得-3
考向4 利用函数的单调性求参数的值(或取值范围)【例6】 (2020山西太原三模,文10)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(lg2a)+ ≤2f(1),则a的取值范围是( )
答案 C 解析 原问题等价于f(lg2a)+f(-lg2a)=2f(lg2a)≤2f(1),即f(lg2a)≤f(1).因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(|lg2a|)≤f(1),所以|lg2a|≤1.求解关于实数a的对数不等式,可得实数a的取值范围是[ ,2]
解题心得利用单调性求参数时,应根据问题的具体情况,确定函数的单调区间,列出与参数有关的不等式,或把参数分离出来求解.
案例探究(二) 双变量“存在性或任意性”问题
双变量问题中一般穿插有两个及以上的“任意”或“存在”量词,学生往往因为不知道如何等价转换致使解题走向迷茫,部分学生甚至机械地背诵结论导致走入误区.解决双变量“存在性或任意性”问题,关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),旨在落实逻辑推理核心素养.
类型1 形如“对∀x1∈A,都∃x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立”【例1】 已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x) ,若对任意x1∈[-1,1],总存在x2∈[0,2],使得f'(x1)+2ax1=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
思维突破此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于实数a的不等式组,求得参数的取值范围.
类型2 形如“∃x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立”
思维突破本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.
类型3 形如“对∀x1∈A,都∃x2∈B,使得f(x1)
思考1: 在[例3]中,若把“∃x2∈[2,3]”变为“∀x2∈[2,3]”时,其他条件不变,则实数a的取值范围是 . 提示问题“等价转化”为[f(x)]max≤[g(x)]min,请读者自行求解.思考2:在[例3]中,若把“∀x1∈[ ,1]”改为“∃x1∈[ ,1]”,其他条件不变,则实数a的取值范围是 . 提示问题“等价转化”为f(x)min≤g(x)max,请读者自行求解.思考3:在[例3]中,若把“使得f(x1)≤g(x2)”变为“f(x1)≥g(x2)”,其他条件不变,则实数a的取值范围是 . 提示问题“等价转化”为f(x)min≥g(x)min,请读者自行求解.
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