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数学九年级下册5.2 反比例函数一课一练
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这是一份数学九年级下册5.2 反比例函数一课一练，共43页。
反比例函数综合强化集训
类型一 反比例函数与一次函数结合
1．一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2,12)，B(8,-3)．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数y=mxm>0的图象相交于点C(x1，y1)，D(x2,y2)，与y轴交于点E，且CD=CE，求m的值．
2．如图，直线y=3x﹣5与反比例函数y=k−1x的图象相交A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．
（1）求k和n的值；
（2）求△AOB的面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与双曲线y2=kx交于A、C两点，AB⊥OA交x轴于点B，且OA=AB．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求点C的坐标，并直接写出y1＜y2时x的取值范围．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象经过点A−2,0，与反比例函数y=kxx>0的图象交于Ba,4.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设M是直线AB上一点，过M作MN//x轴，交反比例函数y=kxx>0的图象于点N，若A,O,M,N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标.
5．如图，反比例函数y=kx(k≠0) 的图象与正比例函数 y=2x 的图象相交于A(1,a),B两点，点C在第四象限，CA∥y 轴，∠ABC=90°.
(1)求k的值及点B的坐标；
(2)求tanC的值.
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象交于A（4，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求k2，n的值；
（2）请直接写出不等式k1x+b
7．如图，已知点A在反比例函数y=4x(x>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC=OC．一次函数y=kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．
（1）求点A的坐标；
（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y=kx+b的表达式．
8．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=kx（k为常数，k≠0）的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接OA，已知OC=2，tan∠AOC=32，B（m，﹣2）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围．
9．如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．
10．如图，已知反比例函数y=k1x(x>0)的图象与反比例函数y=k2x(x<0)的图象关于y轴对称，A(1,4)，B(4,m)是函数y=k1x(x>0)图象上的两点，连接AB，点C(−2,n)是函数y=k2x(x<0)图象上的一点，连接AC，BC.
（1）求m，n的值；
（2）求AB所在直线的表达式；
（3）求ΔABC的面积.
11．如图，已知反比例函数y=mx（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y=﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连结OP、OQ，求△OPQ的面积．
类型二 反比例函数与几何图形结合
12．如图，已知函数y=kx(k>0,x>0)的图象与一次函数y=mx+5(m<0)的图象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥x轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为x0，△AOD的面积为2.
(1)求k的值及x0=4时m的值；
(2)记x表示为不超过x的最大整数，例如：1.4＝1，2＝2，设t=OD.DC,若−32
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=mx（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．
（1）求∠OCD的度数；
（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；
（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．
14．如图，一次函数y=−12x+52的图像与反比例函数y=kx(k＞0)的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标.
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），直线y=﹣12x+52与边AB，BC分别相交于点M，N，函数y=kx（x＞0）的图象过点M．
（1）试说明点N也在函数y=kx（x＞0）的图象上；
（2）将直线MN沿y轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与函数y═kx（x＞0）的图象仅有一个交点时，求直线M'N′的解析式．
16．如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y=kx（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，12），F（m，2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）写出函数y=kx图象在菱形ABCD内x的取值范围．
参考答案
1．（1）y=−32x+9；（2）12.
【解析】
【分析】
(1)将A,B点代入式子即可求出k,b,随之可得出解析式.
(2) 分别过点C、D做CA⊥y轴于点A，DB⊥y轴于点B, 设点C坐标为(a,b)，根据条件求出a,b,随之即可解答.
【详解】
解：（1）把点A(-2,12)，B(8,-3)代入y=kx+b
得：12=-2k+b-3=8k+b
解得：k=-32b=9
∴一次函数解析式为：y=-32x+9
（2）分别过点C、D做CA⊥y轴于点A，DB⊥y轴于点B
设点C坐标为(a,b)，由已知ab=m
由（1）点E坐标为(0,9)，则AE=9-b
∵AC//BD，CD=CE
∴BD=2a，EB=2(9-b)
∴OB=9-2(9-b)=2b-9
∴点D坐标为(2a,2b-9)
∴2a·(2b-9)=m
整理得m=6a
∵ab=m
∴b=6
则点D坐标化为(2a,3)
∵点D在y=-32x+9图象上
∴a=2
∴m=ab=12
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与反比例函数的综合运用，学会用待定系数法求解析式是解答本题的关键.
2．（1）k=3；（2）S△AOB =356．
【解析】分析：（1）先求出B点的坐标，再代入反比例函数解析式求出即可；
（2）先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，再求出即可．
详解：(1)∵点B(n,-6)在直线y=3x-5上,
∴-6=3n-5,解得n=-13，
∴B(-13,-6)，
∵反比例函数y=k-1x的图象也经过点B(-13,-6)，
∴k-1=-6×(-13)=2,解得k=3；
(2)设直线y=3x-5分别与x轴,y轴相交于点C,点D，
当y=0时,即3x-5=0,x=53,∴OC=53，
当x=0时,y=3×0-5=-5，∴OD=5，
∵点A(2,m)在直线y=3x-5上，
∴m=3×2-5=1．即A(2,1)，
∴SΔAOB=SΔAOC+SΔCOD+SΔBOD =12×(53×1+53×5+13×5)=356．
点睛：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
3．（1）y2=4x；（2）C（﹣1，﹣4），x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
【解析】【分析】（1）作高线AC，根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x=2x﹣2，可得A的坐标，从而得双曲线的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数解析式得方程组，解方程组可得点C的坐标，根据图象可得结论．
【详解】（1）∵点A在直线y1=2x﹣2上，
∴设A（x，2x﹣2），
过A作AC⊥OB于C，
∵AB⊥OA，且OA=AB，
∴OC=BC，
∴AC=12OB=OC，
∴x=2x﹣2，
x=2，
∴A（2，2），
∴k=2×2=4，
∴y2=4x；
（2）∵y=2x−2y=4x，解得：x1=2y1=2，x2=−1y2=−4，
∴C（﹣1，﹣4），
由图象得：y1＜y2时x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法；通过观察图象，从交点看起，函数图象在上方的函数值大．
4．（1）y=x+1.y=8xx>0；（2）M的坐标为22−2,22或23,23+2.
【解析】分析：（1）根据一次函数y=x+b的图象经过点A（-2，0），可以求得b的值，从而可以解答本题；
（2）根据平行四边形的性质和题意，可以求得点M的坐标，注意点M的横坐标大于0．
详解：（1）∵一次函数的图象经过点A-2,0，
∴-2+b=0，∴b=2，∴y=x+2.
∵一次函数与反比例函数y=kxx>0交于Ba,4.
∴a+2=4，∴a=2，∴B2,4，∴y=8xx>0.
（2）设Mm-2,m，N8m,m.
当MN//AO且MN=AO时，以A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形.
即：8m-m-2=2且m>0，解得：m=22或m=23+2（负值已舍），
∴M的坐标为22-2,22或23,23+2.
点睛：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（1）k=2，B(-1,-2)；（2）2.
【解析】【分析】（1）先根据点A在直线y=2x上，求得点A的坐标，再根据点A在反比例函数y=kx(k≠0) 的图象上，利用待定系数法求得k的值，再根据点A、B关于原点对称即可求得点B的坐标；
（2）作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，根据∠ABC=90° ， ∠BHC=90° ，可得∠C=∠ABH，再由已知可得∠AOD=∠ABH，从而得∠C=∠AOD，求出tanC即可.
【详解】（1）∵点A(1，a)在y=2x上，
∴a=2，∴A(1，2)，
把A(1，2)代入 y=kx 得k=2，
∵反比例函数y=kx(k≠0) 的图象与正比例函数 y=2x 的图象交于A，B两点，
∴A、B 两点关于原点O中心对称，
∴B(-1，-2) ；
（2）作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，
∵∠ABC=90° ， ∠BHC=90° ，∴∠C=∠ABH，
∵CA∥y 轴，∴BH∥x轴，∴∠AOD=∠ABH，∴∠C=∠AOD，
∴tanC=tan∠AOD=ADOD=21=2.
【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD是关键.
6．（1）k2=﹣8，n=4；（2）﹣2＜x＜0或x＞4；（3）8
【解析】分析：（1）将A点坐标代入y=k2x求出k2=-8，得到反比例函数的解析式y=-8x，再把B点坐标代入y=-8x得n=4;
（2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；
（3）求出对称点坐标，求面积．
详解：（1）将A（4，-2）代入y=k2x，得k2=-8．
∴y=-8x,
将（-2，n）代入y=-8x，得n=4．
∴k2=-8，n=4
（2）根据函数图象可知：
-2＜x＜0或x＞4
（3）将A（4，-2），B（-2，4）代入y=k1x+b，得k1=-1，b=2
∴一次函数的关系式为y=-x+2
与x轴交于点C（2，0）
∴图象沿x轴翻折后，得A′（4，2），
S△A'BC=（4+2）×（4+2）×12-12×4×4-12×2×2=8
∴△A'BC的面积为8．
点睛：本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题．
7．（1）（2，2）；（2）y=12x+1
【解析】
【分析】
（1）根据反比例函数k值的几何意义可求点A的坐标；
（2）根据梯形的面积公式可求点B的坐标，再根据待定系数法可求一次函数y=kx+b的表达式．
【详解】
解：（1）∵点A在反比例函数y=4x(x>0)的图象上，AC⊥x轴，AC=OC，
∴AC·OC=4，
∴AC=OC=2，
∴点A的坐标为(2,2)；
（2）∵四边形ABOC的面积是3，
∴(OB+2)×2÷2=3，
解得OB=1，
∴点B的坐标为(0,1)，
依题意有2k+b=2b=1，
解得k=12b=1．
故一次函数y=kx+b的表达式为y=12x+1．
【点睛】
考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是熟练掌握反比例函数k值的几何意义、梯形的面积、待定系数法求一次函数解析式．
8．（1）反比例函数的解析式为y=6x，一次函数的解析式为y=x+1．（2）x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞2．
【解析】
分析：（1）求得A（2，3），把A（2，3）代入y2=kx可得反比例函数的解析式为y=6x，求得B（﹣3，﹣2），把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入一次函数y1=ax+b，可得一次函数的解析式为y=x+1．
（2）由图可得，当y1＞y2时，x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞2．
详解：（1）∵OC=2，tan∠AOC=32，
∴AC=3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y2=kx可得，k=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
把B（m，﹣2）代入反比例函数，可得m=﹣3，
∴B（﹣3，﹣2），
把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入一次函数y1=ax+b，可得
2a+b=3−3a+b=−2，
解得，a=1b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1．
（2）由图可得，当y1＞y2时，x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞2．
点睛：本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围．
9．（1）y=6x；（2）y=-12x+4．
【解析】
【分析】
(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；
(2)作AD⊥BC于D，则D(2，b)，即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程，求得b的值，进而求得a的值，根据待定系数法，可得答案．
【详解】
(1)由题意得：k＝xy＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y=6x；
(2)设B点坐标为(a，b)，如图，作AD⊥BC于D，则D(2，b)，
∵反比例函数y=6x的图象经过点B(a，b)，
∴b=6a，
∴AD＝3-6a，
∴S△ABC=12BC•AD=12a(3-6a)＝6，
解得a＝6，
∴b=6a=1，
∴B(6，1)，
设AB的解析式为y＝kx+b，将A(2，3)，B(6，1)代入函数解析式，得
2k+b=36k+b=1，解得：k=-12b=4，
所以直线AB的解析式为y=-12x+4．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，熟练掌握待定系数法以及正确表示出BC，AD的长是解题的关键．
10．（1）m=1,n=2.（2）y=-x+5；（3）152
【解析】分析: （1）先把A点坐标代入y=k1x(x>0) 得k1=4，则反比例函数解析式为y=4x（x＞0），再利用反比例解析式确定B点坐标即可求出m的值,根据两个反比例函数的图象关于y轴对称，可得k₂=-4,又由点C(-2,n)是函数y=k2x(x<0)图象上的一点即可求出n的值；
（2）根据A,B两点坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式.
（3）自A,B,C三点分别向x轴作垂线,垂足分别为A′,B′,C′，然后根据三角形面积公式和S△ABC=S梯形CC′A′A+S梯形AA′B′B−S梯形CC′B′B进行计算.
详解:
（1）由A（1，4），B（4，m）是函数y=k1x（x>0）图象上的两点，
∴4=k11，k1=4,
∴y=4x（x>0）
∴m=44=1.
∵y=k2x（x<0）的图象和y=k1x（x>0）的图象关于y轴对称，
∴点A（1，4）关于y轴的对称点A1（-1，4）在y=k2x（x<0）的图象上，
∴4=k2−1，k2=-4,
∴y=−4x(x<0)
由点C（-2，n）是函数y=−4x(x<0)图象上的一点，
∴n=2.
(2设AB所在直线的表达式为y=kx+b,
将A（1，4），B（4，1）分别代入y=kx+b，得4=k+b1=4k+b
解这个二元一次方程组，得k=-1b=5.
∴AB所在直线表达式为：y=-x+5
（3）自A,B,C三点分别向x轴作垂线,垂足分别为A′,B′,C′,
CC′=2,AA′=4,BB′=1,C′A′=3,A′B′=3,C′B′=6.
∴S△ABC=S梯形CC′A′A+S梯形AA′B′B−S梯形CC′B′B′
=12×(2+4) ×3+12×(1+4) ×3-12×(2+1) ×6=152
点睛：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握.
11．（1）反比例函数的表达式为y=4x，一次函数的表达式y=﹣x﹣5；（2）7.5.
【解析】分析：（1）根据待定系数法，将点的坐标分别代入两个函数的表达式中求出待定系数，可得答案；
（2）利用△AOP的面积减去△AOQ的面积．
详解：（1）反比例函数y=mx（ m≠0）的图象经过点（1，4），
∴4＝m1，解得m=4，故反比例函数的表达式为y＝4x，
一次函数y=-x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（-4，n），
∴n＝4−4n＝−−4+b，解得n＝−1b＝−5，
∴一次函数的表达式y=-x-5；
（2）由y＝4xy＝−x−5，解得x＝−4y＝−1或x＝−1y＝−4，
∴点P（-1，-4），
在一次函数y=-x-5中，令y=0，得-x-5=0，解得x=-5，故点A（-5，0），
S△OPQ=S△OPA-S△OAQ=12×5×4−12×5×1=7.5．
点睛：本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标问题，（1）用待定系数法求出函数表达式是解题的关键，（2）转化思想是解题关键，将三角形的面积转化成两个三角形的面积的差．
12．（1）4；1；（2）5.
【解析】分析：（1）设A（x0，y0），可表示出△AOD的面积，再结合x0y0=k可求得k的值，根据A的横坐标可得纵坐标，代入一次函数可得m的值；
（2）先根据一次函数与x轴的交点确定OC的长，表示DC的长，从而可以表示t，根据A的横坐标为x0，即x0满足4x＝mx+5，可得：mx02+5x0=4，再根据m的取值计算m2•t，最后利用新定义可得结论．
详解：（1）设A（x0，y0），则OD=x0，AD=y0，
∴S△AOD=12OD•AD=12x0y0=2，
∴k=x0y0=4；
当x0=4时，y0=1，
∴A（4，1），
代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1；
（2）∵y＝4xy＝mx+5，
∴4x＝mx+5，整理得，mx2+5x-4=0，
∵A的横坐标为x0，
∴mx02+5x0=4，
当y=0时，mx+5=0，
x=-5m，
∵OC=-5m，OD=x0，
∴m2•t=m2•（OD•DC），
=m2•x0（-5m-x0），
=m（-5x0-mx02），
=-4m，
∵-32＜m＜-54，
∴5＜-4m＜6，
∴[m2•t]=5．
点睛：本题是新定义的阅读理解问题，还考查了一次函数和反比例函数的交点问题、一元二次方程解的定义及反比例函数k的几何意义，有难度，综合性较强，第2问利用方程的解得出mx02+5x0=4是关键．
13．（1）∠OCD=45°；（2）M（2，32）；（3）不存在．理由见解析.
【解析】分析：（1）想办法证明OC=OD即可解决问题；
（2）设M（a，3a），由△OPM∽△OCP，推出OPOC=OMOP=PMCP，由此构建方程求出a，再分类求解即可解决问题；
（3）不存在分三种情形说明：①当1＜x＜5时，如图1中；②当x≤1时，如图2中；③当x≥5时，如图3中.
详解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有 km+b＝1k+b＝m，
解得k＝−1b=m+1，
∴y=-x+m+1，
令x=0，得到y=m+1，∴D（0，m+1），
令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0），
∴OC=OD，
∵∠COD=90°，
∴∠OCD=45°．
（2）设M（a，3a），
∵△OPM∽△OCP，
∴OPOC=OMOP=PMCP，
∴OP2=OC•OM，
当m=3时，P（3，1），C（4，0），
OP2=32+12=10，OC=4，OM=a2+9a2，
∴OPOC=104，
∴10=4a2+9a2，
∴4a4-25a2+36=0，
（4a2-9）（a2-4）=0，
∴a=±32，a=±2，
∵1＜a＜3，
∴a=32或2，
当a=32时，M（32，2），
PM=132，CP=2，
PMCP＝1322≠104，（舍去）
当a=2时，M（2，32），PM=52，CP=2，
∴PMCP=522=104，成立，
∴M（2，32）．
（3）不存在．理由如下：
当m=5时，P（5，1），Q（1，5），设M（x，5x），
OP的解析式为：y=1xx，OQ的解析式为y=5x，
①当1＜x＜5时，如图1中，
∴E（1x，5x），F（x，15x），
S=S矩形OAMB-S△OAF-S△OBE
=5-12x•15x-12•1x•5x=4.1，
化简得到：x4-9x2+25=0，
△＜O，
∴没有实数根．
②当x≤1时，如图2中，
S=S△OGH＜S△OAM=2.5，
∴不存在，
③当x≥5时，如图3中，
S=S△OTS＜S△OBM=2.5，
∴不存在，
综上所述，不存在．
点睛：本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
14．（1）y=2x；（2）最小值即为1092，P（0，1710）.
【解析】
【分析】
（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义得出12|k|=1，进而得到反比例函数的解析式；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，得到PA+PB最小时，点P的位置，根据两点间的距离公式求出最小值A′B的长；利用待定系数法求出直线A′B的解析式，得到它与y轴的交点，即点P的坐标．
【详解】
（1）∵反比例函数y=kx(k>0)的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，ΔAOM面积为1，
∴ 12|k|=1，
∵k>0，
∴k=2，
故反比例函数的解析式为：y=2x；
（2）作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B，交y轴于点P，则PA+PB最小．
由y=-12x+52y=2x，解得x=1y=2，或x=4y=12，
∴A(1,2)，B(4,12)，
∴A'(-1,2)，最小值A'B=(4+1)2+(12-2)2=1092．
设直线A'B的解析式为y=mx+n，
则-m+n=24m+n=12，解得m=-310n=1710，
∴直线A'B的解析式为y=-310x+1710，
∴x=0时，y=1710，
∴P点坐标为(0,1710)．
【点睛】
考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定PA+PB最小时，点P的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．
15．（1）说明见解析；（2）直线M'N′的解析式为y=﹣12x+2．
【解析】【分析】（1）根据矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），可得点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2，把x=4代入y=﹣12x+52，得y=12，可求点M的坐标为（4，12），把y=2代入y=﹣12x+52，得x=1，可求点N的坐标为（1，2），由函数y=kx（x＞0）的图象过点M，根据待定系数法可求出函数y=kx（x＞0）的解析式，把N（1，2）代入y=kx，即可作出判断；
（2）设直线M'N′的解析式为y=﹣12x+b，由y=12x+by=2x得x2﹣2bx+4=0，再根据判别式即可求解．
【详解】（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），
∴点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2，
把x=4代入y=﹣12x+52，得y=12，
∴点M的坐标为（4，12），
把y=2代入y=﹣12x+52，得x=1，
∴点N的坐标为（1，2），
∵函数y=kx（x＞0）的图象过点M，
∴k=4×12=2，
∴y=2x（x＞0），
把N（1，2）代入y=2x，得2=2，
∴点N也在函数y=kx（x＞0）的图象上；
（2）设直线M'N′的解析式为y=﹣12x+b，
由y=12x+by=2x 得x2﹣2bx+4=0，
∵直线y=﹣12x+b与函数y=kx（x＞0）的图象仅有一个交点，
∴△=（﹣2b）2﹣4×4=0，
解得b=2，b2=﹣2（舍去），
∴直线M'N′的解析式为y=﹣12x+2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，直线与双曲线的交点等，综合性较强，弄清题意熟练掌握和灵活运用反比例函数的相关知识进行解题是关键.
16．（1）k=-2，m=-1（2）﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据函数图象，写出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围即可；
【详解】
（1）∵点E（﹣4，12）在y=kx上，∴k=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣2x．
∵F（m，2）在y=-2x上，∴m=﹣1．
（2）函数y=kx图象在菱形ABCD内x的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
反比例函数综合强化集训
类型一 反比例函数与一次函数结合
1．一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2,12)，B(8,-3)．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数y=mxm>0的图象相交于点C(x1，y1)，D(x2,y2)，与y轴交于点E，且CD=CE，求m的值．
2．如图，直线y=3x﹣5与反比例函数y=k−1x的图象相交A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．
（1）求k和n的值；
（2）求△AOB的面积．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与双曲线y2=kx交于A、C两点，AB⊥OA交x轴于点B，且OA=AB．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求点C的坐标，并直接写出y1＜y2时x的取值范围．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象经过点A−2,0，与反比例函数y=kxx>0的图象交于Ba,4.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设M是直线AB上一点，过M作MN//x轴，交反比例函数y=kxx>0的图象于点N，若A,O,M,N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标.
5．如图，反比例函数y=kx(k≠0) 的图象与正比例函数 y=2x 的图象相交于A(1,a),B两点，点C在第四象限，CA∥y 轴，∠ABC=90°.
(1)求k的值及点B的坐标；
(2)求tanC的值.
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象交于A（4，﹣2）、B（﹣2，n）两点，与x轴交于点C．
（1）求k2，n的值；
（2）请直接写出不等式k1x+b
7．如图，已知点A在反比例函数y=4x(x>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC=OC．一次函数y=kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．
（1）求点A的坐标；
（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y=kx+b的表达式．
8．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=kx（k为常数，k≠0）的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接OA，已知OC=2，tan∠AOC=32，B（m，﹣2）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围．
9．如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．
10．如图，已知反比例函数y=k1x(x>0)的图象与反比例函数y=k2x(x<0)的图象关于y轴对称，A(1,4)，B(4,m)是函数y=k1x(x>0)图象上的两点，连接AB，点C(−2,n)是函数y=k2x(x<0)图象上的一点，连接AC，BC.
（1）求m，n的值；
（2）求AB所在直线的表达式；
（3）求ΔABC的面积.
11．如图，已知反比例函数y=mx（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y=﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连结OP、OQ，求△OPQ的面积．
类型二 反比例函数与几何图形结合
12．如图，已知函数y=kx(k>0,x>0)的图象与一次函数y=mx+5(m<0)的图象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥x轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为x0，△AOD的面积为2.
(1)求k的值及x0=4时m的值；
(2)记x表示为不超过x的最大整数，例如：1.4＝1，2＝2，设t=OD.DC,若−32
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=mx（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．
（1）求∠OCD的度数；
（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；
（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．
14．如图，一次函数y=−12x+52的图像与反比例函数y=kx(k＞0)的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标.
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），直线y=﹣12x+52与边AB，BC分别相交于点M，N，函数y=kx（x＞0）的图象过点M．
（1）试说明点N也在函数y=kx（x＞0）的图象上；
（2）将直线MN沿y轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与函数y═kx（x＞0）的图象仅有一个交点时，求直线M'N′的解析式．
16．如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y=kx（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，12），F（m，2）两点．
（1）求k，m的值；
（2）写出函数y=kx图象在菱形ABCD内x的取值范围．
参考答案
1．（1）y=−32x+9；（2）12.
【解析】
【分析】
(1)将A,B点代入式子即可求出k,b,随之可得出解析式.
(2) 分别过点C、D做CA⊥y轴于点A，DB⊥y轴于点B, 设点C坐标为(a,b)，根据条件求出a,b,随之即可解答.
【详解】
解：（1）把点A(-2,12)，B(8,-3)代入y=kx+b
得：12=-2k+b-3=8k+b
解得：k=-32b=9
∴一次函数解析式为：y=-32x+9
（2）分别过点C、D做CA⊥y轴于点A，DB⊥y轴于点B
设点C坐标为(a,b)，由已知ab=m
由（1）点E坐标为(0,9)，则AE=9-b
∵AC//BD，CD=CE
∴BD=2a，EB=2(9-b)
∴OB=9-2(9-b)=2b-9
∴点D坐标为(2a,2b-9)
∴2a·(2b-9)=m
整理得m=6a
∵ab=m
∴b=6
则点D坐标化为(2a,3)
∵点D在y=-32x+9图象上
∴a=2
∴m=ab=12
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与反比例函数的综合运用，学会用待定系数法求解析式是解答本题的关键.
2．（1）k=3；（2）S△AOB =356．
【解析】分析：（1）先求出B点的坐标，再代入反比例函数解析式求出即可；
（2）先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，再求出即可．
详解：(1)∵点B(n,-6)在直线y=3x-5上,
∴-6=3n-5,解得n=-13，
∴B(-13,-6)，
∵反比例函数y=k-1x的图象也经过点B(-13,-6)，
∴k-1=-6×(-13)=2,解得k=3；
(2)设直线y=3x-5分别与x轴,y轴相交于点C,点D，
当y=0时,即3x-5=0,x=53,∴OC=53，
当x=0时,y=3×0-5=-5，∴OD=5，
∵点A(2,m)在直线y=3x-5上，
∴m=3×2-5=1．即A(2,1)，
∴SΔAOB=SΔAOC+SΔCOD+SΔBOD =12×(53×1+53×5+13×5)=356．
点睛：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
3．（1）y2=4x；（2）C（﹣1，﹣4），x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
【解析】【分析】（1）作高线AC，根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x=2x﹣2，可得A的坐标，从而得双曲线的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数解析式得方程组，解方程组可得点C的坐标，根据图象可得结论．
【详解】（1）∵点A在直线y1=2x﹣2上，
∴设A（x，2x﹣2），
过A作AC⊥OB于C，
∵AB⊥OA，且OA=AB，
∴OC=BC，
∴AC=12OB=OC，
∴x=2x﹣2，
x=2，
∴A（2，2），
∴k=2×2=4，
∴y2=4x；
（2）∵y=2x−2y=4x，解得：x1=2y1=2，x2=−1y2=−4，
∴C（﹣1，﹣4），
由图象得：y1＜y2时x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法；通过观察图象，从交点看起，函数图象在上方的函数值大．
4．（1）y=x+1.y=8xx>0；（2）M的坐标为22−2,22或23,23+2.
【解析】分析：（1）根据一次函数y=x+b的图象经过点A（-2，0），可以求得b的值，从而可以解答本题；
（2）根据平行四边形的性质和题意，可以求得点M的坐标，注意点M的横坐标大于0．
详解：（1）∵一次函数的图象经过点A-2,0，
∴-2+b=0，∴b=2，∴y=x+2.
∵一次函数与反比例函数y=kxx>0交于Ba,4.
∴a+2=4，∴a=2，∴B2,4，∴y=8xx>0.
（2）设Mm-2,m，N8m,m.
当MN//AO且MN=AO时，以A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形.
即：8m-m-2=2且m>0，解得：m=22或m=23+2（负值已舍），
∴M的坐标为22-2,22或23,23+2.
点睛：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（1）k=2，B(-1,-2)；（2）2.
【解析】【分析】（1）先根据点A在直线y=2x上，求得点A的坐标，再根据点A在反比例函数y=kx(k≠0) 的图象上，利用待定系数法求得k的值，再根据点A、B关于原点对称即可求得点B的坐标；
（2）作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，根据∠ABC=90° ， ∠BHC=90° ，可得∠C=∠ABH，再由已知可得∠AOD=∠ABH，从而得∠C=∠AOD，求出tanC即可.
【详解】（1）∵点A(1，a)在y=2x上，
∴a=2，∴A(1，2)，
把A(1，2)代入 y=kx 得k=2，
∵反比例函数y=kx(k≠0) 的图象与正比例函数 y=2x 的图象交于A，B两点，
∴A、B 两点关于原点O中心对称，
∴B(-1，-2) ；
（2）作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，
∵∠ABC=90° ， ∠BHC=90° ，∴∠C=∠ABH，
∵CA∥y 轴，∴BH∥x轴，∴∠AOD=∠ABH，∴∠C=∠AOD，
∴tanC=tan∠AOD=ADOD=21=2.
【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD是关键.
6．（1）k2=﹣8，n=4；（2）﹣2＜x＜0或x＞4；（3）8
【解析】分析：（1）将A点坐标代入y=k2x求出k2=-8，得到反比例函数的解析式y=-8x，再把B点坐标代入y=-8x得n=4;
（2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；
（3）求出对称点坐标，求面积．
详解：（1）将A（4，-2）代入y=k2x，得k2=-8．
∴y=-8x,
将（-2，n）代入y=-8x，得n=4．
∴k2=-8，n=4
（2）根据函数图象可知：
-2＜x＜0或x＞4
（3）将A（4，-2），B（-2，4）代入y=k1x+b，得k1=-1，b=2
∴一次函数的关系式为y=-x+2
与x轴交于点C（2，0）
∴图象沿x轴翻折后，得A′（4，2），
S△A'BC=（4+2）×（4+2）×12-12×4×4-12×2×2=8
∴△A'BC的面积为8．
点睛：本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题．
7．（1）（2，2）；（2）y=12x+1
【解析】
【分析】
（1）根据反比例函数k值的几何意义可求点A的坐标；
（2）根据梯形的面积公式可求点B的坐标，再根据待定系数法可求一次函数y=kx+b的表达式．
【详解】
解：（1）∵点A在反比例函数y=4x(x>0)的图象上，AC⊥x轴，AC=OC，
∴AC·OC=4，
∴AC=OC=2，
∴点A的坐标为(2,2)；
（2）∵四边形ABOC的面积是3，
∴(OB+2)×2÷2=3，
解得OB=1，
∴点B的坐标为(0,1)，
依题意有2k+b=2b=1，
解得k=12b=1．
故一次函数y=kx+b的表达式为y=12x+1．
【点睛】
考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是熟练掌握反比例函数k值的几何意义、梯形的面积、待定系数法求一次函数解析式．
8．（1）反比例函数的解析式为y=6x，一次函数的解析式为y=x+1．（2）x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞2．
【解析】
分析：（1）求得A（2，3），把A（2，3）代入y2=kx可得反比例函数的解析式为y=6x，求得B（﹣3，﹣2），把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入一次函数y1=ax+b，可得一次函数的解析式为y=x+1．
（2）由图可得，当y1＞y2时，x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞2．
详解：（1）∵OC=2，tan∠AOC=32，
∴AC=3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y2=kx可得，k=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
把B（m，﹣2）代入反比例函数，可得m=﹣3，
∴B（﹣3，﹣2），
把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入一次函数y1=ax+b，可得
2a+b=3−3a+b=−2，
解得，a=1b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1．
（2）由图可得，当y1＞y2时，x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞2．
点睛：本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围．
9．（1）y=6x；（2）y=-12x+4．
【解析】
【分析】
(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；
(2)作AD⊥BC于D，则D(2，b)，即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程，求得b的值，进而求得a的值，根据待定系数法，可得答案．
【详解】
(1)由题意得：k＝xy＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y=6x；
(2)设B点坐标为(a，b)，如图，作AD⊥BC于D，则D(2，b)，
∵反比例函数y=6x的图象经过点B(a，b)，
∴b=6a，
∴AD＝3-6a，
∴S△ABC=12BC•AD=12a(3-6a)＝6，
解得a＝6，
∴b=6a=1，
∴B(6，1)，
设AB的解析式为y＝kx+b，将A(2，3)，B(6，1)代入函数解析式，得
2k+b=36k+b=1，解得：k=-12b=4，
所以直线AB的解析式为y=-12x+4．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，熟练掌握待定系数法以及正确表示出BC，AD的长是解题的关键．
10．（1）m=1,n=2.（2）y=-x+5；（3）152
【解析】分析: （1）先把A点坐标代入y=k1x(x>0) 得k1=4，则反比例函数解析式为y=4x（x＞0），再利用反比例解析式确定B点坐标即可求出m的值,根据两个反比例函数的图象关于y轴对称，可得k₂=-4,又由点C(-2,n)是函数y=k2x(x<0)图象上的一点即可求出n的值；
（2）根据A,B两点坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式.
（3）自A,B,C三点分别向x轴作垂线,垂足分别为A′,B′,C′，然后根据三角形面积公式和S△ABC=S梯形CC′A′A+S梯形AA′B′B−S梯形CC′B′B进行计算.
详解:
（1）由A（1，4），B（4，m）是函数y=k1x（x>0）图象上的两点，
∴4=k11，k1=4,
∴y=4x（x>0）
∴m=44=1.
∵y=k2x（x<0）的图象和y=k1x（x>0）的图象关于y轴对称，
∴点A（1，4）关于y轴的对称点A1（-1，4）在y=k2x（x<0）的图象上，
∴4=k2−1，k2=-4,
∴y=−4x(x<0)
由点C（-2，n）是函数y=−4x(x<0)图象上的一点，
∴n=2.
(2设AB所在直线的表达式为y=kx+b,
将A（1，4），B（4，1）分别代入y=kx+b，得4=k+b1=4k+b
解这个二元一次方程组，得k=-1b=5.
∴AB所在直线表达式为：y=-x+5
（3）自A,B,C三点分别向x轴作垂线,垂足分别为A′,B′,C′,
CC′=2,AA′=4,BB′=1,C′A′=3,A′B′=3,C′B′=6.
∴S△ABC=S梯形CC′A′A+S梯形AA′B′B−S梯形CC′B′B′
=12×(2+4) ×3+12×(1+4) ×3-12×(2+1) ×6=152
点睛：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握.
11．（1）反比例函数的表达式为y=4x，一次函数的表达式y=﹣x﹣5；（2）7.5.
【解析】分析：（1）根据待定系数法，将点的坐标分别代入两个函数的表达式中求出待定系数，可得答案；
（2）利用△AOP的面积减去△AOQ的面积．
详解：（1）反比例函数y=mx（ m≠0）的图象经过点（1，4），
∴4＝m1，解得m=4，故反比例函数的表达式为y＝4x，
一次函数y=-x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（-4，n），
∴n＝4−4n＝−−4+b，解得n＝−1b＝−5，
∴一次函数的表达式y=-x-5；
（2）由y＝4xy＝−x−5，解得x＝−4y＝−1或x＝−1y＝−4，
∴点P（-1，-4），
在一次函数y=-x-5中，令y=0，得-x-5=0，解得x=-5，故点A（-5，0），
S△OPQ=S△OPA-S△OAQ=12×5×4−12×5×1=7.5．
点睛：本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标问题，（1）用待定系数法求出函数表达式是解题的关键，（2）转化思想是解题关键，将三角形的面积转化成两个三角形的面积的差．
12．（1）4；1；（2）5.
【解析】分析：（1）设A（x0，y0），可表示出△AOD的面积，再结合x0y0=k可求得k的值，根据A的横坐标可得纵坐标，代入一次函数可得m的值；
（2）先根据一次函数与x轴的交点确定OC的长，表示DC的长，从而可以表示t，根据A的横坐标为x0，即x0满足4x＝mx+5，可得：mx02+5x0=4，再根据m的取值计算m2•t，最后利用新定义可得结论．
详解：（1）设A（x0，y0），则OD=x0，AD=y0，
∴S△AOD=12OD•AD=12x0y0=2，
∴k=x0y0=4；
当x0=4时，y0=1，
∴A（4，1），
代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1；
（2）∵y＝4xy＝mx+5，
∴4x＝mx+5，整理得，mx2+5x-4=0，
∵A的横坐标为x0，
∴mx02+5x0=4，
当y=0时，mx+5=0，
x=-5m，
∵OC=-5m，OD=x0，
∴m2•t=m2•（OD•DC），
=m2•x0（-5m-x0），
=m（-5x0-mx02），
=-4m，
∵-32＜m＜-54，
∴5＜-4m＜6，
∴[m2•t]=5．
点睛：本题是新定义的阅读理解问题，还考查了一次函数和反比例函数的交点问题、一元二次方程解的定义及反比例函数k的几何意义，有难度，综合性较强，第2问利用方程的解得出mx02+5x0=4是关键．
13．（1）∠OCD=45°；（2）M（2，32）；（3）不存在．理由见解析.
【解析】分析：（1）想办法证明OC=OD即可解决问题；
（2）设M（a，3a），由△OPM∽△OCP，推出OPOC=OMOP=PMCP，由此构建方程求出a，再分类求解即可解决问题；
（3）不存在分三种情形说明：①当1＜x＜5时，如图1中；②当x≤1时，如图2中；③当x≥5时，如图3中.
详解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有 km+b＝1k+b＝m，
解得k＝−1b=m+1，
∴y=-x+m+1，
令x=0，得到y=m+1，∴D（0，m+1），
令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0），
∴OC=OD，
∵∠COD=90°，
∴∠OCD=45°．
（2）设M（a，3a），
∵△OPM∽△OCP，
∴OPOC=OMOP=PMCP，
∴OP2=OC•OM，
当m=3时，P（3，1），C（4，0），
OP2=32+12=10，OC=4，OM=a2+9a2，
∴OPOC=104，
∴10=4a2+9a2，
∴4a4-25a2+36=0，
（4a2-9）（a2-4）=0，
∴a=±32，a=±2，
∵1＜a＜3，
∴a=32或2，
当a=32时，M（32，2），
PM=132，CP=2，
PMCP＝1322≠104，（舍去）
当a=2时，M（2，32），PM=52，CP=2，
∴PMCP=522=104，成立，
∴M（2，32）．
（3）不存在．理由如下：
当m=5时，P（5，1），Q（1，5），设M（x，5x），
OP的解析式为：y=1xx，OQ的解析式为y=5x，
①当1＜x＜5时，如图1中，
∴E（1x，5x），F（x，15x），
S=S矩形OAMB-S△OAF-S△OBE
=5-12x•15x-12•1x•5x=4.1，
化简得到：x4-9x2+25=0，
△＜O，
∴没有实数根．
②当x≤1时，如图2中，
S=S△OGH＜S△OAM=2.5，
∴不存在，
③当x≥5时，如图3中，
S=S△OTS＜S△OBM=2.5，
∴不存在，
综上所述，不存在．
点睛：本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
14．（1）y=2x；（2）最小值即为1092，P（0，1710）.
【解析】
【分析】
（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义得出12|k|=1，进而得到反比例函数的解析式；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，得到PA+PB最小时，点P的位置，根据两点间的距离公式求出最小值A′B的长；利用待定系数法求出直线A′B的解析式，得到它与y轴的交点，即点P的坐标．
【详解】
（1）∵反比例函数y=kx(k>0)的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，ΔAOM面积为1，
∴ 12|k|=1，
∵k>0，
∴k=2，
故反比例函数的解析式为：y=2x；
（2）作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B，交y轴于点P，则PA+PB最小．
由y=-12x+52y=2x，解得x=1y=2，或x=4y=12，
∴A(1,2)，B(4,12)，
∴A'(-1,2)，最小值A'B=(4+1)2+(12-2)2=1092．
设直线A'B的解析式为y=mx+n，
则-m+n=24m+n=12，解得m=-310n=1710，
∴直线A'B的解析式为y=-310x+1710，
∴x=0时，y=1710，
∴P点坐标为(0,1710)．
【点睛】
考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定PA+PB最小时，点P的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．
15．（1）说明见解析；（2）直线M'N′的解析式为y=﹣12x+2．
【解析】【分析】（1）根据矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），可得点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2，把x=4代入y=﹣12x+52，得y=12，可求点M的坐标为（4，12），把y=2代入y=﹣12x+52，得x=1，可求点N的坐标为（1，2），由函数y=kx（x＞0）的图象过点M，根据待定系数法可求出函数y=kx（x＞0）的解析式，把N（1，2）代入y=kx，即可作出判断；
（2）设直线M'N′的解析式为y=﹣12x+b，由y=12x+by=2x得x2﹣2bx+4=0，再根据判别式即可求解．
【详解】（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），
∴点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2，
把x=4代入y=﹣12x+52，得y=12，
∴点M的坐标为（4，12），
把y=2代入y=﹣12x+52，得x=1，
∴点N的坐标为（1，2），
∵函数y=kx（x＞0）的图象过点M，
∴k=4×12=2，
∴y=2x（x＞0），
把N（1，2）代入y=2x，得2=2，
∴点N也在函数y=kx（x＞0）的图象上；
（2）设直线M'N′的解析式为y=﹣12x+b，
由y=12x+by=2x 得x2﹣2bx+4=0，
∵直线y=﹣12x+b与函数y=kx（x＞0）的图象仅有一个交点，
∴△=（﹣2b）2﹣4×4=0，
解得b=2，b2=﹣2（舍去），
∴直线M'N′的解析式为y=﹣12x+2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，直线与双曲线的交点等，综合性较强，弄清题意熟练掌握和灵活运用反比例函数的相关知识进行解题是关键.
16．（1）k=-2，m=-1（2）﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据函数图象，写出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围即可；
【详解】
（1）∵点E（﹣4，12）在y=kx上，∴k=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣2x．
∵F（m，2）在y=-2x上，∴m=﹣1．
（2）函数y=kx图象在菱形ABCD内x的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
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