2022版新高考数学人教版一轮课件：第2章 第12讲 第1课时 导数与函数的单调性

这是一份2022版新高考数学人教版一轮课件：第2章 第12讲 第1课时 导数与函数的单调性，共56页。PPT课件主要包含了定义域，f′x0，－∞0，－∞1，2＋∞等内容，欢迎下载使用。

第十二讲　导数在研究函数中的应用
第一课时　导数与函数的单调性
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点　函数的单调性(1)设函数y＝f(x)在某个区间内________，若f′(x)______0，则f(x)为增函数，若f′(x)______0，则f(x)为减函数．(2)求可导函数f(x)单调区间的步骤：①确定f(x)的__________；②求导数f′(x)；③令f′(x)______0(或f′(x)______0)，解出相应的x的范围；④当_______________时，f(x)在相应区间上是增函数，当_______________时，f(x)在相应区间上是减函数．
导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．
题组二　走进教材2．(选修2－2P26T1改编)函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为(　　)A．(0,4) B．(0,2)C．(4，＋∞) D．(－∞，0)[解析]　f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得03．(选修2－2P32BT1改编)已知函数f(x)＝1＋x－sin x，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是(　　)A．f(2)>f(3)>f(π) B．f(3)>f(2)>f(π)C．f(2)>f(π)>f(3) D．f(π)>f(3)>f(2)[解析]　f′(x)＝1－cs x，当x∈(0，π]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)．故选D.
4．(选修2－2P31AT3改编)已知函数y＝f(x)在定义域(－3,6)内可导，其图象如图，其导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为_________________.　[解析]　f′(x)≤0，即y＝f(x)递减，故f′(x)≤0，解集为[－1,2]∪[4,6)．
[－1,2]∪[4,6) 　
题组三　走向高考5．(2017·浙江，4分)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
[解析]　根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A，B；记导函数f′(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(－∞，x1)上f′(x)<0，在(x1，x2)上f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递减，排除C，选D.
考向1　不含参数的函数的单调性——自主练透(1)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1,1)(2)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)
用导数f′(x)确定函数f(x)单调区间的三种类型及方法：(1)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0可解时，根据函数的定义域，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，根据函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，再确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．
(3)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)＝0均不可解时，对f′(x)化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．
考向2　含参数的函数的单调性——师生共研
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(3)个别导数为0的点不影响在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．
考向3　利用导数解决函数的单调性的应用问题——多维探究角度1　比较大小
角度2　解不等式设函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(3)＝0，则不等式f(x)g(x)>0的解集是(　　)A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
[解析]　∵f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即[f(x)g(x)]′>0.∴f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(x)g(x)为奇函数，f(0)g(0)＝0，∴f(x)g(x)在(0，＋∞)上也是增函数．∵f(3)g(3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0.∴f(x)g(x)>0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．故选A.
角度3　已知函数的单调性求参数取值范围若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)[分析]　利用函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增等价于f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立求解．或利用区间(1，＋∞)是f(x)的增区间的子集求解．
[引申]本例中(1)若f(x)的增区间为(1，＋∞)，则k＝_____；(2)若f(x)在(1，＋∞)上递减，则k的取值范围是_______________；(3)若f(x)在(1，＋∞)上不单调，则k的取值范围是____________；(4)若f(x)在(1，＋∞)上存在减区间，则k的取值范围是_______________；(5)若f(x)在(1,2)上单调，则k的取值范围是_____________________.
已知函数单调性，求参数取值范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：利用“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数f(x)单调递减，则f′(x)≤0”来求解．提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒等于0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
∴x2＋3x－4＝0在(t，t＋1)上有解，由x2＋3x－4＝0得x＝1或x＝－4(舍去)．∴1∈(t，t＋1)，∴t∈(0,1)，故实数t的取值范围是(0,1)．
(2015·课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
〔变式训练3〕(1)若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为_______________.(2)函数f(x)的导函数f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(ln 2)＝2，则满足不等式f(x)>ex的x的范围是(　　)A．x>1 B．0ln 2 D．0[解析]　(1)令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1.由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数．∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．