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2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（十五） 易错警示：三角函数求值忽视角的范围致误
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[例] (1)已知0<β
易错分析：(1)角eq \f(α,2)－β，α－eq \f(β,2)的范围没有确定准确，导致开方时符号错误．
(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B为钝角．
解析：(1)∵0<β
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝ eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2))))＝eq \f(4\r(5),9)，
∴cseq \f(α＋β,2)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,9)))×eq \f(\r(5),3)＋eq \f(4\r(5),9)×eq \f(2,3)＝eq \f(7\r(5),27)，
∴cs(α＋β)＝2cs2eq \f(α＋β,2)－1
＝2×eq \f(49×5,729)－1＝－eq \f(239,729).
(2)在△ABC中，∵cs B＝－eq \f(3,4)，
∴eq \f(π,2)
∴cs A＝cs[(A＋B)－B]
＝cs(A＋B)cs B＋sin(A＋B)sin B
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＋eq \f(2,3)×eq \f(\r(7),4)＝eq \f(3\r(5)＋2\r(7),12).
答案：(1)－eq \f(239,729) (2)eq \f(3\r(5)＋2\r(7),12)
温馨提醒：在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．
方法与技巧：
1．巧用公式变形：
和差角公式变形：tan x±tan y＝tan(x±y)·(1∓tan x·tan y)；倍角公式变形：降幂公式cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
配方变形：1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)±cs\f(α,2)))2，
1＋cs α＝2cs2 eq \f(α,2)，1－cs α＝2sin2eq \f(α,2).
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
失误与防范：
1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．
2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．
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