2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（十三） 巧用对称性妙解奇偶性问题

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[例] [2021·保定模拟]若函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋φ－\f(π,6)))(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________.
解析：解法一 因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，
因此sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋φ－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋φ－\f(π,6)))，
即－sin 2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,6)))＋cs 2xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,6)))
＝sin 2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,6)))＋cs 2xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,6)))，
整理得sin 2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,6)))＝0.
因为x∈R，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,6)))＝0.
又因为0<φ<π，故φ－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2).所以φ＝eq \f(2π,3).
解法二 因为f(x)为偶函数，
所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，故当x＝0时函数取得最值，即f(0)＝±2，
所以2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,6)))＝±2，
从而φ－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，φ＝eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z.
又因为0<φ<π，故φ＝eq \f(2π,3).
答案：eq \f(2π,3)
名师点评
1．直接利用偶函数的定义构造等式，然后利用恒成立求φ，是已知奇偶性求参数的常规思路．
2．将偶函数问题转化为对称问题，为进一步应用对称性的性质做好铺垫．
3．利用对称性的图形特征解题，突出了数形结合的思想，减少了运算量．
[变式练] 将函数f(x)＝eq \r(3)sin x－cs x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图象关于y轴对称，则a的最小值是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)
微专题(十三)
变式练
解析：依题意得f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，函数f(x－a)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－a－\f(π,6)))的图象关于y轴对称，因此sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a－\f(π,6)))＝±1，a＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即a＝kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，因此正数a的最小值是eq \f(π,3)，选B.
答案： B