2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（十） 已知函数极值、最值求参数的值（或取值范围）

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已知函数极值求参数的值(或取值范围)时，通常是利用函数的导数在极值点处的函数值等于零建立关于参数的方程；也可以求出参数的极值(含参数)，利用极值列方程；或根据极值的情况，列出关于参数的不等式(或组)．
已知函数最值求参数的值(或取值范围)，通常是求出函数最值(含参数)，然后根据最值列方程或根据最值的情形列关于参数的不等式(或组)求解．
[例] [2021·云南统测]已知常数a≠0，f(x)＝aln x＋2x.
(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；
(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．
解析：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(a,x)＋2＝eq \f(a＋2x,x).
当a＝－4时，f′(x)＝eq \f(2x－4,x).
∴当02时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．
∴f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln 2，无极大值．
(2)∵f′(x)＝eq \f(a＋2x,x)，
∴当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；
当a<0时，由f′(x)>0得，x>－eq \f(a,2)，∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，＋∞))上单调递增；
由f′(x)<0得，0∴当a<0时，f(x)的最小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＝alneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2))).
根据题意得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＝alneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))≥－a，即a[ln(－a)－ln 2]≥0.
∵a<0，∴ln(－a)－ln 2≤0，解得－2≤a＜0，
∴实数a的取值范围是[－2,0)．
名师点评 已知函数极值点或极值求参数的2个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
[变式练] 设函数f(x)＝ln x－eq \f(1,2)ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．
微专题(十)
变式练
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(1,x)－ax－b，
由f′(1)＝0，得b＝1－a.
∴f′(x)＝eq \f(1,x)－ax＋a－1＝eq \f(－ax2＋1＋ax－x,x).
①若a≥0，当00，f(x)单调递增；
当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以x＝1是f(x)的极大值点．
②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－eq \f(1,a).
因为x＝1是f(x)的极大值点，
所以－eq \f(1,a)>1，解得－1综合①②得a的取值范围是a>－1.
答案：(－1，＋∞)