2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（十七） 共线定理的推广

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共线定理：已知eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))为平面内两个不共线的向量，设eq \(PC,\s\up6(→))＝xeq \(PA,\s\up6(→))＋yeq \(PB,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1.
推广形式：如右图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设eq \(PC,\s\up6(→))＝xeq \(PA,\s\up6(→))＋yeq \(PB,\s\up6(→))(x，y∈R)．
当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若eq \(PF,\s\up6(→))＝λeq \(PA,\s\up6(→))＋μeq \(PB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得eq \(PC,\s\up6(→))＝meq \(PF,\s\up6(→))，则eq \(PC,\s\up6(→))＝meq \(PF,\s\up6(→))＝mλeq \(PA,\s\up6(→))＋mμeq \(PB,\s\up6(→)).
又eq \(PC,\s\up6(→))＝xeq \(PA,\s\up6(→))＋yeq \(PB,\s\up6(→))(x，y∈R)，
所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.
以上过程可逆．
因此得到结论：eq \(PC,\s\up6(→))＝xeq \(PA,\s\up6(→))＋yeq \(PB,\s\up6(→))，
则x＋y＝m(定值)，反之亦成立．
[例1] 如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设eq \(AP,\s\up6(→))＝αeq \(AB,\s\up6(→))＋βeq \(AF,\s\up6(→))(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．
解析：当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈[eq \f(AN,AM)，eq \f(AD,AM)]＝[3,4]．
答案：[3,4]
[例2] 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，则m＋n的取值范围是________．
解析：由点D是圆O外的一点，可设eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))(λ>1)，则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(BA,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→)).因为C、O、D三点共线，令eq \(OD,\s\up6(→))＝－μeq \(OC,\s\up6(→))(μ>1)．所以eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(λ,μ)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1－λ,μ)eq \(OB,\s\up6(→))(λ>1，μ>1)．
因为eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，所以m＝－eq \f(λ,μ)，
n＝－eq \f(1－λ,μ)，所以m＋n＝－eq \f(λ,μ)－eq \f(1－λ,μ)＝－eq \f(1,μ)∈(－1,0)．
答案：(－1,0)
[变式练] 如图，在扇形OAB中，
∠AOB＝eq \f(π,3)，C为弧AB上的动点，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，则x＋3y的取值范围是________．
微专题(十七)
变式练
解析：eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋3y(eq \f(\(OB,\s\up6(→)),3))，如图作eq \(OB′,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))，则考虑以向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB′,\s\up6(→))为基底，显然，当C在A点时经过m＝1的平行线，当C在B点时经过m＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x＋3y的取值范围是[1,3]．
答案：[1,3]