2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（二十三） 数列综合应用

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专题1 等差数列与等比数列的综合
[例1] [2021·山东青岛二中检测]已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a1，eq \f(1,2)a3,2a2成等差数列，则下列说法错误的是( )
A．a1＞0 B．q＞0
C.eq \f(a3,a2)＝3或－1 D.eq \f(a6,a4)＝9
解析：设等比数列{an}的公比为q，由题意得2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a3))＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q.因为数列{an}的各项均为正数，所以a1＞0，且q＞0，故A，B正确；由q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍)，所以eq \f(a3,a2)＝eq \f(a1q2,a1q)＝q＝3，eq \f(a6,a4)＝eq \f(a1q5,a1q3)＝q2＝9，故C错误，D正确，故选C.
答案：C
名师点评 等差数列或等比数列问题常用“基本量法”：(1)等差数列均统一为关于a1，d的等式；等比数列均统一为关于a1，q的等式；(2)等差或等比数列常用方程思想分析问题．
专题2 数列与函数交汇
[例2] 已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝eq \f(π,2)，若函数f(x)＝sin 2x＋2cs2eq \f(x,2)，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为( )
A．0 B．－9 C．9 D．1
解析：由题意知数列{an}是等差数列．
∵a5＝eq \f(π,2)，∴a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝π.
f(x)＝sin 2x＋2cs2eq \f(x,2)，
∴f(x)＝sin 2x＋cs x＋1.
∴f(a1)＋f(a9)＝sin 2a1＋cs a1＋1＋sin 2a9＋cs a9＋1＝2.
同理f(a2)＋f(a8)＝f(a3)＋f(a7)
＝f(a4)＋f(a6)＝2.
∵f(a5)＝1，
∴数列{yn}的前9项和为9.
答案：C
名师点评 在涉及函数与数列的综合题时，不仅要正确审题深抠函数的性质与数列的定义，还要明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征．
专题3 数列与不等式交汇
[例3] [2021·山东威海模拟]公比为2的等比数列{an}中存在两项am，an满足aman＝16aeq \\al(2,1)，则eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)的最小值为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(13,10)
解析：由等比数列的通项公式知am＝a1×2m－1，an＝a1×2n－1，由aman＝16aeq \\al(2,1)可得aeq \\al(2,1)×2m＋n－2＝16aeq \\al(2,1)，易知a1≠0，故2m＋n－2＝16，解得m＋n＝6，则eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)＝eq \f(1,6)(m＋n)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(4,n)))＝eq \f(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4m,n)＋\f(n,m)＋4))≥eq \f(1,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2 \r(\f(4m,n)×\f(n,m))))＝eq \f(3,2)(当且仅当m＝2，n＝4时取等号)，故选A.
答案：A
名师点评 在涉及数列与不等式的综合问题时，一般采取化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，如基本不等式法、裂项相消求和、错位相减求和等．
专题4 数列与数学文化
[例4] 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了( )
A．192里 B．48里 C．24里 D．96里
解析：由题意可知此人每天走的步数构成公比为eq \f(1,2)的等比数列，
∴由等比数列的求和公式可得，eq \f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))6)),1－\f(1,2))＝378，
解得a1＝192，
∴a3＝a1q2＝192×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝48.故选B.
答案：B
名师点评 对于数学文化中所涉及到的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再根据等差或等比数列的有关公式求解作答，必要时要进行检验．
[变式练1] 设函数f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，则a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．0 B．7 C．14 D．21

[变式练2] [2021·山东省实验中学、淄博实验中学、烟台一中、莱芜一中四校联考]已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，S3＝9，且a2－1，a3－1，a5－1构成等比数列，则S5＝________.

微专题(二十三)
变式练1
解析：∵f(x)＝(x－3)3＋x－1，
∴f(x)－2＝(x－3)3＋(x－3)．
令g(x)＝f(x)－2，
∴g(x)关于(3,0)对称．
∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，
∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(fa1－2))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(fa2－2))＋…＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(fa7－2))＝0，
∴g(a1)＋g(a2)＋…＋g(a7)＝0.
∴g(a4)为g(x)与x轴的交点．
又g(x)关于(3,0)对称，∴a4＝3.
∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝21.
答案：D
变式练2
解析：设等差数列{an}的公差为d，d≠0，S3＝3a2＝9，解得a2＝3，所以2,2＋d,2＋3d构成等比数列，则(2＋d)2＝2(2＋3d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，则S5＝5a3＝5(a2＋d)＝25.
答案：25