初中数学人教版九年级上册第二十五章 概率初步25.3 用频率估计概率课时练习

25.3用频率估计概率同步练习人教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 以下说法合理的是

A. 小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B. 某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖
C. 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D. 小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是

2. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有50个，除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数很可能是

A. 20个 B. 15个 C. 10个 D. 5个

3. 绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：

下面有三个推断：
 当时，绿豆发芽的频率为，所以绿豆发芽的概率是；
 根据上表，估计绿豆发芽的概率是；
 若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为3800粒．
其中推断合理的是

A.  B.  C.  D.

4. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是

A. 频率等于概率
B. 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
C. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D. 试验得到的频率与概率不可能相等

5. 一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数n为

A. 20 B. 24 C. 28 D. 30

6. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中白球可能有    

A. 15个 B. 20个 C. 30个 D. 35个

7. 小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：

若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近

A. 20 B. 300 C. 500 D. 800

8. 老师组织学生做分组摸球实验．给每组准备了完全相同的实验材料，一个不透明的袋子，袋子中装有除颜色外都相同的3个黄球和若干个白球．先把袋子中的球搅匀后，从中随意摸出一个球，记下球的颜色再放回，即为一次摸球．统计各组实验的结果如下：

请你估计袋子中白球的个数是

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

9. 如图所示，平整的地面上有一个不规则的图案图中阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采用了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果，他将若干次有效试验的结果绘制成了如图所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为   

A.  B.  C.  D.

10. 抛掷一枚质地均匀的硬币2000次，正面朝上的次数最有可能为

A. 500 B. 800 C. 1000 D. 1200

11. “五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品下表是该活动的一组统计数据：

下列说法不正确的是   

A. 估计指针落在“铅笔”区域的概率是
B. 假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”的概率大约是
C. 如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约为900
D. 转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”

12. 小思在一次用“频率估计概率”的试验中，把如图所示的四个图形分别画在同一种背面无差别的卡片上，然后把卡片背面朝上洗匀，随机抽取一张，记下卡片上的图形后放回，经过多次重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的最有可能是   

A. 抽出的是中心对称图形
B. 抽出的是非中心对称图形
C. 抽出的是轴对称图形
D. 抽出的既是中心对称图形也是轴对称图形

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品2020件，欣喜发现产品合格的频率已达到，依此我们可以估计该产品合格的概率为______结果要求保留两位小数
14. 在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是______．
15. 柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：

依据上面的数据可以估计，这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是______结果精确到．

16. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则a的值约为____．
17. 一个暗箱里放有a个白球和3个红球，它们除颜色外完全相同．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，那么可以推算出a的值大约是______．

三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）

18. 某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计表，根据统计图提供的信息解决下列问题：
    这种树苗成活的频率稳定在______，成活的概率估计值为______．
    该地区已经移植这种树苗5万棵．
    估计这种树苗成活______万棵；
    如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？

19. 为了落实“全民阅读活动”，从某学校初一学生中随机抽取了100名学生，获得了他们一周课外阅读时间单位：小时的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

求频率分布直方图中的a，b的值；
从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组只需写出结论

20. 某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖．

若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是____事件．填随机、必然、不可能

小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量；

在的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由．






 

四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）

21. 新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表数据分组包含左端值不包含右端值．

你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由．
从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在及以上的概率是多少？
该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在以下的共有多少人？






 

22. 一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：

该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是          精确到，由此估计出红球有          个

现从该袋中一次摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球、1个红球的概率．






 

23. 一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：

该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______精确到，由此估出红球有______个．
现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，根据题意对选项逐个判断即可．
根据各个选项中的说法结合用频率估计概率的知识可以判断是否合理，从而可以解答本题．
【解答】
解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，
3次试验不能总结出概率，故选项A错误；
某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误；
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，他击中靶的概率是不正确，
中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项C错误；
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，
他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确．
故选D．  

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率会稳定在某个固定数值附近，这个固定数值就可以近似地看作是这个事件的概率．
利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为和，则摸到白球的概率为，然后求解即可．
【解析】
解：多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，
摸到红色球、黑色球的概率分别为和，
摸到白球的概率为，
口袋中白色球的个数可能为个．
故选B．  

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于，由于试验次数较多，可以用频率估计概率．
【解答】
解：当时，绿豆发芽的频率为，所以绿豆发芽的概率大约是，此时样本总量不足，无法确定绿豆发芽概率，此推断错误；
 根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于，所以估计绿豆发芽的概率是，此推断正确；
 若n为4000，估计绿豆发芽的粒数大约为粒，此结论正确．
故选：D．  

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．
【解答】解：A、频率只能估计概率；
B、正确；
C、概率是定值；
D、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为，与概率相同．
故选B．  

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算n的值．
【解答】
解：根据题意得，解得，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：D．  

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【解答】
解：设袋中有黄球x个，由题意得，
解得，则白球可能有个．
故选：D．  

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率，难度不大．
随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【解答】
解：观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到附近，
所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近次，
故选：C．  

8.【答案】B
 

【解析】【试题解析】

解：由表格可知共摸球1000次，其中摸到白球的频率稳定在，
在袋子中摸出一个球，是白球的概率为，
设白球有x个，
则，
解得：，
故选：B．
由表格可知共摸球1000次，其中摸到白球的频率稳定在，由此知袋子中摸出一个球，是白球的概率为，据此根据概率公式可得答案．
本题主要考查利用频率估计概率及概率公式，熟练掌握频率估计概率的前提是在大量重复实验的前提下是解题的关键．

9.【答案】B
 

【解析】略
 

10.【答案】C
 

【解析】解：抛掷一枚质地均匀的硬币2000次，正面朝上的次数最有可能为1000次，
故选：C．
由抛掷一枚硬币正面向上的可能性为求解可得．
本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
 

11.【答案】D
 

【解析】解：由题表知，随着转动次数的增加，频率稳定在左右，故指针落在“铅笔”区域的概率大约是，故A说法正确
转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是，故B说法正确
指针落在“文具盒”区域的概率大约为，转动转盘3000次，
指针落在“文具盒”区域的次数大约为，故C说法正确
D中事件为随机事件，结果不确定，故D说法不正确故选D．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：题中4个图形中，中心对称图形有2个，非中心对称图形有2个，轴对称图形有2个，
既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个．
由题中频率折线统计图可知，该结果出现的频率逐渐稳定在附近，
可估计该结果出现的概率为．
选项A，抽出的是中心对称图形的概率是，不符合题意
选项B，抽出的是非中心对称图形的概率是，不符合题意
选项C，抽出的是轴对称图形的概率是，不符合题意
选项D，抽出的既是中心对称图形也是轴对称图形的概率是，符合题意．
故选D．
 

13.【答案】
 

【解析】解：抽检某一产品2020件，发现产品合格的频率已达到，
依此我们可以估计该产品合格的概率为，
故答案为：．
根据抽检某一产品2020件，发现产品合格的频率已达到，所以估计合格件数的概率为，问题得解．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比及运用样本数据去估计总体数据的基本解题思想．
 

14.【答案】
 

【解析】解：在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是．
故答案为：．
随着试验次数的增多，变化趋势接近于理论上的概率．
本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．
 

15.【答案】
 

【解析】解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即试验次数越多的频率越接近于概率．
这种种子在此条件下发芽的概率约为．
故答案为：
概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即试验次数越多的频率越接近于概率．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】30
 

【解析】

【分析】
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解答】
解：由题意可得，，
解得，．
故答案为：30．  

17.【答案】12
 

【解析】解：根据题意知，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
所以推算出a的值大约是12，
故答案为：12．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
 

18.【答案】   
 
；
答：该地区需移植这种树苗约15万棵．
 

【解析】解：
这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为．
估计这种树苗成活在万棵；
见答案
由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为；
成活率即为所求的成活的树苗棵树；
利用成活率求得需要树苗棵数，减去已移植树苗数即为所求的树苗的棵数．
本题结合图表，考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目部分数目相应频率．部分的具体数目总体数目相应频率．
 

19.【答案】解：根据表格得：，；
根据题意得：这名学生该周课外阅读时间少于12小时；
根据题意得：，
则样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组．
 

【解析】根据表格确定出a与b的值即可；
求出这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率，即为所求概率；
求出100名学生该周课外阅读时间的平均数，即可作出判断．
此题考查了利用频率估计概率，用样本估计总体，频数分布表，以及频率分布直方图，弄清题中的数据是解本题的关键．
 

20.【答案】解：必然；
白球的数量个，
答：抽奖袋中有白球9个；
抽中一等奖的概率会减小．
理由如下：由于增加三个黄球，球的总数增加，而红球的数量没有变，所以抽中一等奖的概率变小．
 

【解析】

【分析】
本题考查了随机事件、不可能事件和必然事件的定义以及概率公式的运用．
根据随机事件、不可能事件和必然事件的定义进行判断；
由于平均每6个人中会有3人抽中三等奖，得到抽中白球的概率为，然后根据概率公式计算出袋中白球的数量；
根据概率公式说明抽中一等奖的概率会减小．
【解答】
解：抽奖袋中所有球都有奖，所以小明中奖是必然事件；
故答案为必然；
见答案；
见答案．  

21.【答案】解：“直播”教学方式学生的参与度更高：
理由：“直播”参与度在以上的人数为28人，“录播”参与度在以上的人数为20人，
参与度在以上的“直播”人数远多于“录播”人数，
所以“直播”教学方式学生的参与度更高；
，
答：估计该学生的参与度在及以上的概率是；
“录播”总学生数为人，“直播”总学生数为人，
所以“录播”参与度在以下的学生数为人，
“直播”参与度在以下的学生数为人，
所以参与度在以下的学生共有人．
 

【解析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
根据表格数据得出两种教学方式参与度在以上的人数，比较即可作出判断；
用表格中“直播”教学方式学生参与度在以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率；
先根据“录播”和“直播”的人数之比为1：3及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案．
 

22.【答案】解：

记两个红球分别为红1，红2，画树状图如图所示．

由图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球、1个红球的结果有4种，
所以从该袋中一次摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的概率为．

【解析】见答案
 

23.【答案】  2
 

【解析】解：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，由此估出红球有2个．
故答案为：，2；

画树状图为：

由图可知，共有9种等可能的结果数，其中恰好摸到1个白球、1个红球的结果数为4，
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为．
通过表格中数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在左右，估计得出答案；
画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出恰好摸到1个白球、1个红球的结果数，然后利用概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了利用频率估计概率．