初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系精品随堂练习题

这是一份初中数学人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系精品随堂练习题，文件包含专题242垂径定理-2021-2022学年九年级数学上册同步练习原卷版人教版docx、专题242垂径定理-2021-2022学年九年级数学上册同步练习解析版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。


专题24.2垂径定理
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021•南岗区模拟）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则直径AB的长为（　　）

A．23 B．6 C．43 D．63
【分析】连接OD，设⊙O的半径为R，则OP=12R，根据垂径定理求出DP＝CP＝3，在Rt△OPD中，由勾股定理得出方程R2＝（12R）2+32，求出R即可．
【解析】连接OD，设⊙O的半径为R，

则OP=12R，
∵AB⊥CD，CD＝6，
∴DP＝CP＝3，
在Rt△OPD中，由勾股定理得：OD2＝OP2+DP2，
R2＝（12R）2+32，
解得：R＝23（负值舍去），
即⊙O的直径AB＝43，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线构造直角三角形，用了方程思想．
2．（2021•碑林区校级模拟）如图，EM经过圆心O，EM⊥CD于M，若CD＝4，EM＝6，则CED所在圆的半径为（　　）

A．3 B．4 C．83 D．103
【分析】连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6﹣R，根据垂径定理求出CM＝2，再在Rt△OMC中，根据勾股定理得出方程，求出即可．
【解析】如图，连接OC，
设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6﹣R，
∵EM经过圆心O，EM⊥CD于M，CD＝4，
∴CM＝DM=12CD＝2，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，
即R2＝（6﹣R）2+22，
解得：R=103，
故选：D．

【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
3．（2021•邛崃市模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若OH＝3，⊙O的半径是5，则弦CD的长是（　　）

A．8 B．4 C．10 D．42
【分析】连接OC，由垂径定理得CH＝DH，再由勾股定理得CH＝4，即可求解．
【解析】连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CH＝DH，
∵⊙O的半径是5，
∴OC＝5，
∴CH=OC2-OH2=52-32=4，
∴CD＝2CH＝8，
故选：A．
\
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
4．（2021•岳阳县模拟）下列说法正确的是（　　）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】根据全等三角形的判定、垂径定理、正方形的性质、平行四边形的判定定理判断即可．
【解析】A、有两条边和其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；
C、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，是真命题；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．（2021•松桃县模拟）已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（　　）
A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm
【分析】分两种情况，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．
【解析】连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，
∴AM=12AB=12×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），
如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，
∴OM=OA2-AM2=502-482=14（cm），
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），
∴AC=AM2+CM2=642+482=80（cm）；
如图2，同理可得，OM＝14cm，
∵OC＝50cm，
∴MC＝50﹣14＝36（cm），
在Rt△AMC中，AC=AM2+CM2=60（cm）；
综上所述，AC的长为80cm或60cm，
故选：B．


【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据题意画出图形、利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．
6．（2021•武汉模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CN与AB交于点D，AC＝AD，OE⊥CD，垂足为E，若CE＝4ED，OA＝2，则DN的长为（　　）

A．1 B．293 C．233 D．839
【分析】过A点作AF⊥CN于N，连接ON，如图，根据等腰三角形的性质得CF＝DF，根据垂径定理得到CE＝NE，设DE＝x，则CE＝NE＝4x，CD＝5x，CF＝FD=52x，EF=32x，接着由OE∥AF，根据平行线分线段成比例定理计算出DO=43，则利用勾股定理得到（43）2﹣x2＝22﹣（4x）2，然后解方程求出x，从而得到DN的长．
【解析】过A点作AF⊥CN于N，连接ON，如图，
∵AC＝AD，
∴CF＝DF，
∵OE⊥CN，
∴CE＝NE，
设DE＝x，则CE＝NE＝4x，CD＝5x，
∴CF＝FD=52x，
∴EF=52x﹣x=32x，
∵OE∥AF，
∴DO：OA＝DE：EF，即DO：2＝x：32x，解得DO=43，
在Rt△ODE中，OE2＝OD2﹣DE2＝（43）2﹣x2，
在Rt△ONE中，OE2＝ON2﹣NE2＝22﹣（4x）2，
∴（43）2﹣x2＝22﹣（4x）2，解得x=239，
∴DN＝EN﹣DE＝3x＝3×239=233．
故选：C．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理．
7．（2021•承德一模）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P为弦AB上的动点，则线段OP长的取值范围是（　　）

A．3≤OP≤5 B．4＜OP＜5 C．4≤OP≤5 D．3＜OP＜5
【分析】连接OA，过点O作OH⊥AB于H，根据垂径定理求出AH，根据勾股定理求出OH，根据垂线段最短解答即可．
【解析】连接OA，过点O作OH⊥AB于H，
则AH＝HB=12AB＝3，
由勾股定理得，OH=OA2-AH2=4，
当点P与点A（或点B）重合时，OP最大，当点P与点H重合时，OP最小，
∴线段OP长的取值范围是4≤OP≤5，
故选：C．

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
8．（2021•海安市模拟）如图是某个球放进盒子内的截面图，球的一部分露出盒子外，已知⊙O交矩形ABCD的边AD于点E，F，已知AB＝EF＝2，则球的半径长为（　　）

A．32 B．43 C．54 D．65
【分析】由题意得⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧EF于点H、I，连接OF，易求得FH的长，设⊙O的半径为r，则OH＝2﹣r，然后在Rt△OFH中，由勾股定理得r2﹣（2﹣r）2＝12，解此方程即可求得答案．
【解析】由题意得：⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧EF于点H、I，连接OF，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵IG⊥BC，
∴IG⊥AD，
∴FH=12EF＝1，
设⊙O的半径为r，则OH＝2﹣r，
在Rt△OFH中，由勾股定理得：r2﹣（2﹣r）2＝12，
解得：r=54，
即球的半径长为54，
故选：C．

【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理等知识；熟练掌握切线的性质和垂径定理以及勾股定理是解题的关键．
9．（2021•广州模拟）如图，拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为150m，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　）

A．50m B．40m C．30m D．25m
【分析】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BC=12AB＝75（m），再由勾股定理求出OC＝100（m），然后求出CD的长即可．
【解析】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，如图所示：
则OA＝OD=12×250＝125（m），AC＝BC=12AB=12×150＝75（m），
∴OC=OA2-AC2=1252-752=100（m），
∴CD＝OD﹣OC＝125﹣100＝25（m），
即这些钢索中最长的一根为25m，
故选：D．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
10．（2020秋•吴兴区期末）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝4，以点A为圆心，AB为半径作圆，交BC的延长线于点D，则CD长为（　　）

A．10 B．9 C．45 D．8
【分析】过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABC和Rt△ACE中列方程求出12BD，从而可得答案．
【解析】过A作AE⊥BC于E，如图：

Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
而AB＝10，BC＝4，
∴AE2＝102﹣（4+CE）2＝84﹣CE2﹣8CE，
Rt△ACE中，AE2＝AC2﹣CE2，
而AC＝8，
∴AE2＝64﹣CE2，
∴84﹣CE2﹣8CE＝64﹣CE2，
解得CE＝2.5，
∴BE＝6.5
∴BD＝2BE＝13，
∴CD＝9，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，列方程求CE是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021春•长沙县月考）如图，在⊙O中，弦AB＝16，C为弦AB中点，⊙O的半径长为10，则线段OC的长为　6　．

【分析】由垂径定理得AC＝BC=12AB＝8，OC⊥AB，再由勾股定理求解即可．
【解析】∵弦AB＝16，C为弦AB中点，
∴AC＝BC=12AB＝8，OC⊥AB，
∴∠OCA＝90°，
∵⊙O的半径长为10，
∴OA＝10，
∴OC=OA2-AC2=102-82=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
12．（2021•门头沟区一模）如图，在⊙O中，AC=BC，AB＝8，半径r＝5，则DC＝　2　．

【分析】由垂径定理得OC⊥AB，AD＝BD=12AB＝4，再由勾股定理求出OD＝3，即可求解．
【解析】连接OA，如图所示：
∵AC=BC，AB＝8，
∴OC⊥AB，AD＝BD=12AB＝4，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OD=OA2-AD2=52-42=3，
∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2，
故答案为：2．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
13．（2021•兴化市模拟）如图，⊙O的半径OA＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：BC＝3：2，则DE的长为　24　．

【分析】连接OD，利用勾股定理求出CD，再根据垂径定理可得结论．
【解析】连接OD．

∵OA＝OB＝15，OC：BC＝3：2，
∴BC＝6，OC＝9，
∵AB⊥DE，
∴CD＝CE=OD2-OC2=152-92=12，
∴DE＝2CD＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理解决问题，属于中考常考题型．
14．（2021•房山区二模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若OC＝5，AE＝2，则CD＝　8　．

【分析】由垂径定理得到CD＝2CE，根据OC＝OA＝5，AE＝2可求出OE的长，利用勾股定理可求出CE的长．
【解析】∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE，
∵OC＝5，AE＝2，
∴OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，
∴CE=OC2-OE2=52-32=4．
∴CD＝2CE＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，能根据垂径定理得出CD＝2CE是解答此题的关键．
15．（2021•丹江口市一模）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于　3.2　m．

【分析】过O作OE⊥AB于E，交OD于F，连接OC，由垂径定理得AE＝BE=12AB＝1.2（m），CF＝DF=12CD，在Rt△OAE中，由勾股定理得OE＝1.6（m），则OF＝OE﹣OF＝1.2（m），然后在Rt△OCF中，由勾股定理求出CF＝1.6（m），即可求解．
【解析】过O作OE⊥AB于E，交OD于F，连接OC，如图所示：
则AE＝BE=12AB＝1.2（m），OF⊥CD，
∴CF＝DF=12CD，
∴OE=OA2-AE2=22-1．22=1.6（m），
∵水管水面上升了0.4m，
∴OF＝OE﹣OF＝1.6﹣0.4＝1.2（m），\
∴CF=OC2-OF2=22-1．22=1.6（m），\
∴CD＝2CF＝3.2（m）
故答案为：3.2．

【点评】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
16．（2021春•海淀区校级月考）如图，⊙O的半径为4，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于点D，OD＝2，则∠BAC＝　60°　．
【分析】连接OB，解直角三角形求出∠OCD，由等腰三角形与三角形内角和定理可求得∠BOC＝120°，再由圆周角定理即可得出结果．
【解析】连接OB，如图所示：
∵OD⊥BC，
∴∠ODC＝90°，
∵OC＝4，OD＝2，
∴OC＝2OD，
∴∠OCD＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠BAC=12∠BOC＝60°，
故答案为：60°．

【点评】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
17．（2020秋•高邮市期末）如图，把一只篮球放在高为16cm的长方体纸盒中，发现篮球的一部分露出盒，其截面如图所示．若量得EF＝24cm，则该篮球的半径为　12.5　cm．

【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝16﹣x，MF＝12，在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【解析】EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝16cm，
设OF＝xcm，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝16﹣x，MF＝12cm，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（16﹣x）2+122＝x2
解得：x＝12.5（cm），
故答案为：12.5．

【点评】本题主考查垂径定理、矩形的性质及勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．（2020秋•盐城期末）如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为55，弦AB的长为4，过点O做OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是　6　．

【分析】连接OB，如图，利用垂径定理得到AC＝BC＝2，则利用勾股定理可计算出OC＝11，利用三角形三边的关系，当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，然后计算出OD的长，从而得到点D到AB的距离的最小值．
【解析】连接OB，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC=12AB＝2，
在Rt△OBC中，OC=OB2-BC2=(55)2-22=11，
当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，
∵OD=42+32=5，
∴点D到AB的距离的最小值为11﹣5＝6．
故答案为6．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•鄂州期末）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．

【分析】（1）连接AC，如图，利用垂径定理可判断CD垂直平分AB，则CA＝CB＝3，同理可得AE垂直平分BC，所以AB＝AC＝3；
（2）先证明△ABC为等边三角形，则AE平分∠BAC，所以∠OAF＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OA即可．
【解析】（1）连接AC，如图，
∵CD⊥AB，
∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，
∴CA＝CB＝3，
∵AO⊥BC，
∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，
∴AB＝AC＝3；
（2）∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°
∴AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，
在Rt△OAF中，∵OF=33AF=33×32=32，
∴OA＝2OF=3，
即⊙O的半径为3．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
20．（2020秋•渝中区期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．

【分析】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论；
（2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DH=12CD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH＝DH=12CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH=OC2-CH2=42-22=23，
∴AH=OA2-OH2=62-(23)2=26，
∴AC＝AH﹣CH＝26-2．


【点评】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
21．（2021•裕华区校级模拟）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度
【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
【解析】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，

在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′
OH⊥F′E′于H，则OH＝CE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF′中，HF′=202-122=16，
∵HE′＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，根据题意画出图形结合勾股定理得出是解题关键．
22．（2020秋•环江县期末）如图1，点P表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆．若⊙O被水面截得的弦AB长为8m，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度

【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．
【解析】过O点作半径OD⊥AB于E，

∴AE=BE=12AB=12×8=4，
在Rt△AEO中，OE=OA2-AE2=52-42=3，
∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
答：水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
23．（2020秋•前郭县期末）如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的点A、B、C．
（1）试确定BAC所在圆的圆心O；
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝10厘米，腰AB＝6厘米，求圆片的半径R．（结果保留根号）

【分析】（1）根据垂径定理，作DO⊥AB．DO必过圆心，作EO⊥AC，EO必过圆心，DO、EO交点必为圆心；（2）连接AO．根据AB＝AC，AO过圆心，依据垂径定理推论，可判断AO⊥BC，根据勾股定理求半径．
【解析】（1）作DO⊥AB．DO必过圆心，作EO⊥AC，EO必过圆心，DO、EO交点必为圆心；

（2）

设半径为r．连接OA，因为BA＝AC，故AO⊥BC．
所以：CD=12×10＝5，AD=62-52=11．
根据勾股定理，（R-11）2+52＝R2，解得R=181111．
【点评】此题是一道实际问题，将圆的相关知识和勾股定理结合，有一定的开放性，可以作出图形，根据勾股定理和垂径定理解答．
24．（2020秋•江夏区期中）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦AB＝8，求OP的长．

【分析】（1）∠APO＝∠AOP得到AP＝AO；
（2）过O点作OH⊥AB于H，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝4，则可利用勾股定理可计算出OH＝3，然后在Rt△POH中利用勾股定理计算OP【解答】（1）证明：∵PG平分∠EPF，
∴∠DPO＝∠APO，
∵OA∥PE，
∴∠DPO＝∠AOP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴AP＝AO；
（2）解：过O点作OH⊥AB于H，如图，则AH＝BH=12AB＝4，在Rt△AOH中，∵OA＝5，AH＝4，
∴OH=52-42=3，∵AP＝AO＝5，
∴PH＝PA+AH＝9，
在Rt△POH中，OP=32+92=310．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的判定和勾股定理．