高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.3 直线与圆的位置关系教学演示免费课件ppt

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第一章 直线与圆
2.3　直线与圆的位置关系
课标要求
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.能根据直线与圆的位置解决有关切线、弦长等问题.
素养要求
通过直线与圆的位置关系的判断，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、直线与圆的位置关系1.思考　在平面几何中，直线与圆有几种位置关系？在每种情况下，直线与圆有几个交点呢？ 提示　有3种位置关系，分别为相交，有2个交点；相切，1个交点；相离，无交点.2.思考　如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系呢？ 提示　几何法：利用圆心到直线的距离与半径的关系判断；代数法：转化为它们的方程组成的方程组有无解，有几个实数解来判断.
3.填空　直线：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2
温馨提醒　若直线与圆有公共点，则Δ≥0，包含直线与圆相切或相交两种情况.
2
1
0
＜
=
＞
＞
=
＜
4.做一做　(1)已知直线x＝a(a>0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 解析　由题意知圆心(1，0)到直线x＝a的距离为2，即|a－1|＝2(a>0)，解得a＝3.
C
D
(2)直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)A.过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心
二、圆的切线1.思考　点P(1，1)为圆x2＋y2＝2上一点，过点P的圆的切线有几条，如何求其切线方程？ 提示　一条，∵kOP＝1，∴切线的斜率为－1，则过点P的切线方程为x＋y－2＝0.
2.思考　过点P(1，2)作圆x2＋y2＝2的切线有几条，如何求其方程？
3.填空　如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r. 则：①CP____l； ②点C到直线l的距离d＝|CP|＝____； ③切点P在直线l上，也在圆上.
⊥
r
温馨提醒　(1)过圆上一点有且只有一条直线与圆相切；(2)过圆外一点可以作两条直线与圆相切，需考虑斜率不存在的情况.
(2)直线l经过点P(1，1)且与圆O：x2＋y2＝1相切，则直线l的方程为______________________.
x＝1或y＝1
解析　如图，过点P且与圆O相切的直线方程为x＝1或y＝1.
三、圆的弦长的计算1.思考　若直线与圆相交，如何计算弦长呢？ 提示　利用勾股定理或弦长公式.
图①
图②
温馨提醒　(1)过圆内一点的直线与圆相交，最长弦长是直径，最短弦与最长弦所在的直线垂直；(2)过圆外或圆上一点的直线与圆相交，最长弦长是直径，没有最短弦长；(3)由弦长求直线方程时，需考虑斜率不存在的情况.
3.做一做　(1)直线y＝－2x＋5被圆O：x2＋y2＝10截得的弦AB的长为________.
2x－y＝0
(2)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为______________.
解析　由x2＋y2－2x－4y＋4＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝1，故圆心为(1，2)，半径r＝1.∵弦长为2，故弦为直径，即弦所在直线过圆心(1，2)，又直线过原点，因此所求直线方程是2x－y＝0.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
圆C的圆心为C(2，0)，半径为r＝2.
因为d判断直线与圆的位置关系应注意的问题(1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系.(2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算.
训练1 a为何值时，直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100分别有如下关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离？ 解　法一　(代数法)
消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.(1)当直线和圆相交时，Δ＞0，
即－36a2＋90 000＞0，得－50＜a＜50；(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；(3)当直线和圆相离时，Δ＜0，即a＜－50或a＞50.
法二　(几何法)圆x2＋y2＝100的圆心为(0，0)，半径r＝10，
(1)当直线和圆相交时，d＜r，
(2)当直线和圆相切时，d＝r，
(3)当直线和圆相离时，d＞r，
例2 过点M(2，4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程. 解　由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50>1，故点M在圆外. 当切线斜率存在时，设切线方程是 y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，
所以切线方程为24x－7y－20＝0.又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切.综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.
迁移1 若将例2中的点M的坐标改为(1，－2)，其他条件不变，又如何求其切线方程？ 解　由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故点M在圆上， 设圆的圆心为C，则C(1，－3)，显然CM的斜率不存在. ∵圆的切线垂直于经过切点的半径， ∴所求切线的斜率k＝0， ∴切线方程为y＝－2.
迁移2 若例2中的条件不变，如何求其切线长？ 解　由题知，设切线长为d，
过圆外一点求圆的切线方程的两种方法(1)几何法：设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，求出未知量的值.此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出其切线方程.(2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用Δ＝0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出其切线的方程.
训练2 (多选)过点(2，0)作圆x2＋y2－2x－6y＋9＝0的切线l，则直线l的方程可以为(　　) A.3x＋4y－6＝0 B.4x＋3y－8＝0 C.x－2＝0 D.x＋2＝0 解析　根据题意，圆x2＋y2－2x－6y＋9＝0即(x－1)2＋(y－3)2＝1，其圆心为(1，3)，半径r＝1； 若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝2，圆心(1，3)到直线l的距离d＝r，与圆相切，符合题意；
BC
此时直线l的方程为4x＋3y－8＝0，所以直线l的方程为x＝2或4x＋3y－8＝0，故选BC.
(1)求直线与圆的弦长的三种方程：代数法、几何法及弦长公式.(2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况.
训练3 在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中 ，并加以解答. ①与直线4x－3y＋5＝0垂直；②过点(5，－5)；③与直线3x＋4y＋2＝0平行. 问题：已知直线l过点P(1，－2)，且________. (1)求直线l的一般式方程； (2)若直线l与圆x2＋y2＝5相交于点P，Q，求弦PQ的长. 解　选条件①.
选条件②.(1)因为直线l过点(5，－5)及(1，－2)，
即3x＋4y＋5＝0.
选条件③.
课堂小结
1.牢记三个知识点：(1)直线与圆的三种位置关系；(2)圆的切线方程；(3)弦长公式.2.掌握三个思想方法：代数法，几何法，数形结合法.3.辨清一个易错点：求直线方程时易忽略直线斜率不存在的情况.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离
∴选B.
B
2.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值可以是(　　) A.－2 B.－12 C.2 D.12
CD
D
4.已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1，2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为(　　) A.y－2＝0 B.x＋2y－5＝0 C.2x－y＝0 D.x－1＝0
B
CD
6.直线y＝x＋2被圆M：x2＋y2－4x－4y－1＝0所截得的弦长为________.
7.若直线y＝kx与圆x2＋y2－6x＋8＝0相切，且切点在第四象限，则k＝ ________.
解析　圆x2＋y2－6x＋8＝0，即(x－3)2＋y2＝1，其圆心为(3，0)，半径等于1.
3
9.已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
解　圆C的圆心为(2，3)，半径r＝2.当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；当斜率存在时，设直线l的方程为kx－y－4k－1＝0，
所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.
解　当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
10.已知圆C过点(1，1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切. (1)求圆C的标准方程；
解　由题意，设圆心坐标为C(a，0)(a>0)，
解得a＝－6(舍)或a＝2，
则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2.
(2)已知过点P(1，3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程.
若斜率存在，设直线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝1或4x＋3y－13＝0.
AC
二、能力提升
解析　由题意，圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心C(1，1)，半径r＝2.直线x＋my－m－2＝0，化为x－2＋m(y－1)＝0，则直线过定点A(2，1).
∴直线与圆必相交，故A正确，B，D错误.由平面几何知识可知，当直线与直线AC垂直时，弦长最小，
B
13.已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，且与直线x＋y－2＝0垂直. (1)求直线l的方程；
∴两直线交点为(2，1).设直线l的斜率为kl，∵直线l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1，∵直线l过点(2，1)，∴直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.
解　设圆的半径为r，依题意，得
∴r＝2，∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
14.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R). (1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
三、创新拓展
证明　l的方程可化为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，
从而直线l与圆C恒交于两点.
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.
解　由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
又l过点A(3，1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.