北师大版 (2019)必修 第二册2.1 向量的加法学案设计

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§2　从位移的合成到向量的加减法2．1　向量的加法学 习 任 务核 心 素 养1．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量．(重点)2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．(难点)1．通过向量加法的概念及向量加法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量加法法则的应用，培养数学运算素养． 有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力F1，F2的大小分别是|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条牵引力为F3的拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：上述体现了向量的什么运算？问题2：向量加法运算常用什么法则？问题3：向量的加法运算结果还是向量吗？知识点　向量求和法则及运算律类别图示几何意义向量求和的法则三角形法则已知不共线向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边形法则已知不共线向量a，b，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1.根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律．(注：＝a，＝b)[提示]　∵＝＋，∴＝a＋b.∵＝＋，∴＝b＋a.∴a＋b＝b＋a.2.根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律．(注：＝a，＝b，＝c)[提示]　∵＝＋＝(＋)＋，∴＝(a＋b)＋c，又∵＝＋＝＋(＋)，∴＝a＋(b＋c)，∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)0＋a＝a＋0＝a；(　　)(2)＋＝；(　　)(3)＋＝0；(　　)(4)在平行四边形ABCD中，＋＝；(　　)(5)||＋||＝||.(　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× 类型1　向量加法法则的应用【例1】　(教材北师版P81例1改编)(1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a＋b；(2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.[解]　(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量，则＝a＋b.(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，＝a＋b.用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．1．已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c.[解]　在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c. 类型2　向量加法及其运算律【例2】　化简下列各式：(1)＋；(2)＋＋；(3)＋＋＋＋. 所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解．[解]　(1)＋＝＋＝.(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝0或＋＋＝(＋)＋＝(＋)＋＝＋＝0.(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.向量运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．2.如图，在平行四边形ABCD中(1)＋＝________；(2)＋＋＝________；(3)＋＋＝________；(4)＋＋＝________．(1)　(2)　(3)　(4)0　[(1)由平行四边形法则知，＋＝.(2)＋＋＝＋＝.(3)＋＋＝＋＝.(4)∵＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝0.] 类型3　向量加法的实际应用【例3】　(教材北师版P81例2改编)在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．速度是向量，因此需要作出船的速度与水流速度的示意图，把实际问题转化为三角形中求角度问题．[解]　作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，在Rt△ACD中，||＝||＝v水＝10 m/min，||＝|v船|＝20 m/min，∴cos α＝＝＝，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．1．若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少？[解]　由题意可知||＝||＝×20＝10(m/min)＝(km/h)，则经过3小时，该船的实际航程是3×＝(km).2．若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角).[解]　如图所示，||＝||＝|v船|＝20 m/min，||＝|v水|＝10 m/min，则tan ∠BAC＝2，即为所求．应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．3．作用在同一物体上的两个力F1＝60 N，F2＝60 N，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为(　　)A．30 N　　　B．60 N　　　C．90 N　　　D．120 N[答案]　B1．已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是(　　)A．＋＝     B．＋＝C．＋＝      D．＋＝C　[由加法的平行四边形法则可知＋＝，即(－)＋＝，所以＋＝.]2．(多选题)如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中正确的是(　　)A．＋＋＝0B．＋＋＝0C．＋＋＝D．＋＋＝ABC　[＋＋＝＋＝0，＋＋＝＋＋＝0，＋＋＝＋＝＋＝，＋＋＝＋0＝≠.故选ABC.]3．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于________. 2　[|＋＋|＝|2|＝2||＝2.]4.根据图填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.(1)a＋b＋c＝________；(2)b＋d＋c＝________．(1)　(2)　[(1)a＋b＋c＝＋＋＝.(2)b＋d＋c＝＋＋＝.]5．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则：(1)|a＋b|＝________；(2)向量a＋b的方向是________. (1)8　(2)北偏东45°(或东北方向)　[(1)如图所示，作＝a，＝b，则a＋b＝＋＝，所以|a＋b|＝||＝＝8.(2)因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北方向．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何灵活选择三角形法则或平行四边形法则求向量的和？[提示]　(1)三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．(2)向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．2.利用三角形法则求向量的加法时应注意什么问题？[提示]　在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.