高中数学3.1 函数的概念及其表示第1课时学案

这是一份高中数学3.1 函数的概念及其表示第1课时学案，共9页。


(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时．若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．
(2)如下图是我国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
问题：根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？
知识点 函数的表示法
任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？
[提示] 不一定．
并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x∈Q，,1，x∈∁RQ.))列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
函数三种表示法的优缺点比较
1.已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
A．1 B．2
C．3 D．不存在
C [∵当22.二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为( )
A．y＝－eq \f(1,4)x2＋1B．y＝eq \f(1,4)x2－1
C．y＝4x2－16D．y＝－4x2＋16
B [把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B正确．]
3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是______．
[－2,3] [由图象可知f(x)的定义域为[－2,3]．]
类型1 函数的三种表示方法
【例1】 (对接教材P67例题)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[解] (1)列表法如下：
(2)图象法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法中要注意图象是离散点还是连续的曲线．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．
[解] 用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示．
用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示．
类型2 图象的画法及应用
【例2】 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝eq \f(2,x)，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2)．
[解] (1)列表
函数图象只是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，－1,2，－3}．
(2)列表
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝eq \f(2,x)的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
(3)列表
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分．
由图可得函数的值域为[－1,8)．
描点法作函数图象的3个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．
[解] (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①.
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②实线部分．
类型3 函数解析式的求法
【例3】 (1)已知f(eq \r(x)＋1)＝x－2eq \r(x)，则f(x)＝________；
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________；
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________.
(1)已知f(x)的解析式，我们可以用代入法求f(g(x))，反之，若已知f(g(x))，如何求f(x)?
(2)若f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))如何运算？
(3)从f(x)－2f(－x)＝1＋2x中我们能发现f(x)的定义域有何特征？如何应用该特征解题？
(1)x2－4x＋3(x≥1) (2)2x＋eq \f(8,3)或－2x－8 (3)eq \f(2,3)x－1 [(1)法一(换元法)：令t＝eq \r(x)＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)＋1－4eq \r(x)－4＋3＝(eq \r(x)＋1)2－4(eq \r(x)＋1)＋3，
因为eq \r(x)＋1≥1，
所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，
所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－8.))
所以f(x)＝2x＋eq \f(8,3)或f(x)＝－2x－8.
(3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx－2f－x＝1＋2x，,f－x－2fx＝1－2x，))消去f(－x)可得f(x)＝eq \f(2,3)x－1.]
求函数解析式的4种常用方法
(1)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(2)换元法：对于形如f(g(x))的解析式求f(x)，设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．
(3)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．(1)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；
(2)若2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)解析式．
[解] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1.
又f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1，
∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b.
由2ax＋a＋b＝2x，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝2，,a＋b＝0，))
解得a＝1，b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)＋2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x，令x＝eq \f(1,x)，
得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋2f(x)＝eq \f(1,x).
于是得关于f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))的方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx＋2f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x，,f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋2fx＝\f(1,x).))
解得f(x)＝eq \f(2,3x)－eq \f(x,3)(x≠0).
1．由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )
A．1 B．2
C．4 D．5
B [由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，故选B.]
2．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
A B
C D
D [结合题意可知，该学生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0，故选D.]
3．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x＋2D．f(x)＝3x＋4
A [令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1.∴f(x)＝3x－1.]
4．f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
[－2,4]∪[5,8] [－4,3] [由函数的图象可知，f(x)的定义域为[－2,4]∪[5,8]，f(x)的值域为[－2,3]∪[－4,2.7]，即[－4,3]．]
5．已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为________．
f(x)＝－(x＋2)2＋3 [由题意可设f(x)＝a(x＋2)2＋3，又f(－3)＝2，
∴a(－3＋2)2＋3＝2，∴a＝－1.
∴f(x)＝－(x＋2)2＋3.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．函数的常用表示方法有哪三种？
[提示] 列表法、解析法和图象法．
2．函数的图象一定是一条光滑的曲线吗？
[提示] 不一定，函数的图象有可能是一些离散的点．
3．求函数解析式的常用方法有哪些？
[提示] ①对于形如f(g(x))的解析式求f(x)，常用换元法或配凑法；
②对于已知函数类型的求f(x)常用待定系数法；
③对于同时含有f(x)，f(－x)的表达式求f(x)，常用解方程组法．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点)
2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)
1．通过函数表示的图象法培养直观想象素养．
2．通过函数解析式的求法培养数学运算素养.
污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
x
1≤x<2
2
2f(x)
1
2
3
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
x
1
2
3
4
y
－2
－3
－4
－5
x
0
1
－2
3
y
0
－1
2
－3
x
2
3
4
5
…
y
1
eq \f(2,3)
eq \f(1,2)
eq \f(2,5)
…
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1