高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法第1课时导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法第1课时导学案，共9页。

已知一元二次函数y＝x2－4x，一元二次方程x2－4x＝0，一元二次不等式x2－4x>0.
问题：(1)试写出一元二次函数的图象与x轴的交点坐标．
(2)一元二次方程的根是什么？
(3)问题1中的交点横坐标与问题2中的根有何内在联系？
(4)观察二次函数图象，当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？
(5)能否利用问题4得出不等式x2－4x>0，x2－4x<0的解集？
知识点1 一元二次不等式的概念
1.a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可以看作关于a的一元二次不等式吗？
[提示] 可以．
1.已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；②x2－y>0；③－x2－3x<0；④eq \f(x,x2－3)>0.其中一元二次不等式的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [只有③是一元二次不等式，故选A.]
知识点2 二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是图象与x轴的交点吗？
[提示] 不是．是图象与x轴交点的横坐标．
2.函数y＝x2－2x－3的零点为________．
－1或3 [由y＝0得x2－2x－3＝0，即x＝－1或x＝3.即函数的零点为－1或3.]
知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根，要充分利用这个关系解题．
3.二次函数y＝x2－5x的图象如图所示．
(1)若y>0，则x满足的条件是________；
(2)若y≤0，则x满足的条件是________．
[答案] (1)x<0或x>5 (2)0≤x≤5
4.不等式x2＋3x＋6<0的解集为________．
∅ [∵Δ＝9－4×6＝－15<0，
∴不等式x2＋3x＋6<0的解集为∅.]
类型1 一元二次不等式的求解
【例1】 (对接教材P52例题)解下列不等式．
(1)2x2－3x－2>0；(2)－3x2＋6x－2>0；(3)4x2－4x＋1≤0；(4)x2－2x＋2>0.
[解] (1)方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－eq \f(1,2)，x2＝2.
因为对应函数的图象是开口向上的抛物线，
所以原不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)，或x>2)))).
(2)不等式可化为3x2－6x＋2<0.
因为3x2－6x＋2＝0的判别式Δ＝36－4×3×2＝12>0，所以方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－eq \f(\r(3),3)，x2＝1＋eq \f(\r(3),3).因为函数y＝3x2－6x＋2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),3)(3)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝eq \f(1,2)，函数y＝4x2－4x＋1的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2))))).
(4)因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无解．又因为函数y＝x2－2x＋2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)写解集．根据图象写出不等式的解集．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．解下列不等式．
(1)4x2－20x<－25；(2)(x－3)(x－7)<0；(3)－3x2＋5x－4<0；(4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1.
[解] (1)不等式可化为4x2－20x＋25<0，由于Δ＝0，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是∅.
(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|3(3)不等式－3x2＋5x－4<0可化为3x2－5x＋4>0，由于判别式Δ＝25－48＝－23<0，函数y＝3x2－5x＋4的图象开口向上，所以不等式的解集是R.
(4)不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化为3x2－4x＋1≤0.
因为方程3x2－4x＋1＝0的两个根是eq \f(1,3)，1，函数y＝3x2－4x＋1的图象开口向上，所以不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤x≤1)))).
类型2 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？
[解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1.
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.
当a<0时，不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，
∵eq \f(1,a)<1，∴x1.
当a>0时，原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.
若eq \f(1,a)<1，即a>1，则eq \f(1,a)若eq \f(1,a)＝1，即a＝1，则x∈∅；
若eq \f(1,a)>1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,a)))或x>1))；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
[解] 原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，
讨论a＋1与2(a－1)的大小．
(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)．
(2)当a＋1＝2(a－1)，
即a＝3时，不等式的解为x≠4.
(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}，
当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x 类型3 三个“二次”的关系
【例3】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2以不等式的解集端点同相应方程根的关系，思考如何建立参数a，b，c同实根2,3的关系，进而解不等式．
[解] 法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－eq \f(5,6)x＋eq \f(1,6)>0，解得xeq \f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(1,3)或x＞\f(1,2))))).
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
[解] 由根与系数的关系知eq \f(b,a)＝－5，eq \f(c,a)＝6且a<0.
∴c<0，eq \f(b,c)＝－eq \f(5,6)，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－eq \f(b,c)x＋eq \f(a,c)<0，即x2＋eq \f(5,6)x＋eq \f(1,6)<0.
解得eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
(1)求解方法：
由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．
(2)求解步骤：
第一步：审结论——明确解题方向
如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值．
第二步：审条件——挖掘题目信息
利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系，列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c.
第三步：建联系——找解题突破口
由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)0的解集．
[解] 因为x2＋px＋q<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,2)＝－p，,\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝q，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,6)，,q＝－\f(1,6).))
所以不等式qx2＋px＋1>0即为－eq \f(1,6)x2＋eq \f(1,6)x＋1>0，整理得x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－21．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞3或x＜－\f(1,2)))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤3))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥3或x≤－\f(1,2)))))
D.R
C [3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－eq \f(1,2).]
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＜x＜\f(1,3))))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＜x＜1))))
C．∅D．R
D [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]
3．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2A B
C D
B [由题意可知，a<0且－2,1是图象y＝ax2－x－c与x轴交点的横坐标，结合图象可知B正确．]
4．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))<0的解集为________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\f(1,a))))) [因为a<－1，所以a(x－a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))<0⇔(x－a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))>0.又a<－1，所以eq \f(1,a)>a，所以x>eq \f(1,a)或x5．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－2或x>－\f(1,2)))))，则ax2－bx＋c>0的解集为________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－\f(b,a)，,－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝\f(c,a)，))解得a＝c，b＝eq \f(5,2)a.
所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，
解得eq \f(1,2)0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．求解一元二次不等式解集的步骤有哪些？
[提示] (1)化成标准形式，(2)计算判别式Δ，(3)求对应方程的实根，(4)结合图象写解集．
2．含参数的一元二次不等式常从哪些方面讨论求解？
[提示] (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x13．由一元二次不等式的解集可以得出相应函数的哪些信息？
[提示] 由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数图象的开口及与x轴的交点坐标．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．(重点)
2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(重点、难点)
3．理解三个“二次”之间的关系．(重点)
1．从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，培养数学抽象素养．
2．在学习一元二次不等式的解法的过程中，提升数学运算素养.
定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
一般
形式
ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅