高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法学案，共13页。学案主要包含了不含参数的一元二次不等式的解法，含参数的一元二次不等式的解法，简单的分式不等式的解法等内容，欢迎下载使用。

2.2.3　一元二次不等式的解法
学习目标　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的概念.2.掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法.3.会解简单的分式不等式．
一、不含参数的一元二次不等式的解法
问题　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？
提示　设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m.
由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0 整理得x2－12x＋20<0，x∈{x|0 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．
知识梳理
1．一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．
2．一元二次不等式的解法
(1)因式分解法：如果x10的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
(2)配方法：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2 注意点：
(1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集；
(2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集．
(3)一元二次不等式解集的端点为对应方程的根．
例1　求下列不等式的解集：
(1)x2－10x－600>0；
(2)－2x2＋5x－2<0.
解　(1)因为x2－10x－600＝(x＋20)(x－30)，所以原不等式等价于(x＋20)(x－30)>0，
因此所求解集为(－∞，－20)∪(30，＋∞)．
(2)因为－2x2＋5x－2＝－2
＝－2＝－22＋，
所以－22＋<0，
即2>.
所以x－>或x－<－，
解得x>2或x<.
所以原不等式的解集为∪(2，＋∞)．
反思感悟　解一元二次不等式的一般步骤
第一步：首先把各项系数变为整数，二次项系数变成正数；
第二步：分解为两个因式的乘积的形式或配方成完全平方式形式；
第三步：写出不等式的解集．
跟踪训练1　求下列不等式的解集：
(1)－x2＋3x－5>0；
(2)－2 解　 (1)原不等式可化为x2－6x＋10<0，
即(x－3)2＋1<0，因此原不等式的解集为∅.
(2)原不等式等价于不等式组
不等式①可化为x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1.
不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5.
故原不等式的解集为{x|－2≤x<1或2 二、含参数的一元二次不等式的解法
例2　求不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)的解集．
解　　①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，
解得x>1.
②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，
解得x<或x>1.
③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0.
若a＝1，即＝1时，不等式无解；
若a>1，即<1时，
解得 若01时，
解得1 综上可知，当a<0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0 当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a>1时，不等式的解集为.
反思感悟　解含参数的一元二次不等式的步骤

特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．
跟踪训练2　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
解　原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2.
由a2－a＝a(a－1)可知：
①当a<0或a>1时，a2>a.
解原不等式得x>a2或x 不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)．
②当0 解原不等式得x>a或x 不等式的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞)．
③当a＝0时，原不等式为x2>0，
∴x≠0，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，
∴x≠1，不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
综上可知，
当a<0或a>1时，原不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)；
当0 当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a＝1时，原不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
三、简单的分式不等式的解法
例3　(1)不等式≥2的解集是(　　)
A. B.
C.∪(1,3] D.∪(1,3]
答案　D
解析　≥2⇔⇔
所以原不等式的解集是∪(1,3]．
(2)不等式<1的解集为________.
答案　∪
解析　方法一　原不等式可化为－1<0，
即>0.
等价于(3x－2)(4x－3)>0.
解得x<或x>.
所以原不等式的解集为∪.
方法二　由题意知3－4x≠0，因此(3－4x)2>0，
原不等式两边同时乘以(3－4x)2可得(3－4x)(2x－1)<(3－4x)2且3－4x≠0，
即(3x－2)(4x－3)>0，因此所求不等式的解集为∪.

反思感悟　解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零．
跟踪训练3　解下列不等式：(1)≥0；
(2)≥2.
解　(1)原不等式等价于
即⇒－2≤x<3.
所以原不等式的解集为{x|－2≤x<3}．
(2)由题意知x＋2≠0，因此(x＋2)2>0，
原不等式两边同时乘以(x＋2)2可得1－x≥2(x＋2)2且x＋2≠0，
即(2x＋7)(x＋1)≤0且x≠－2，
所以－≤x≤－1，且x≠－2.
因此原不等式的解集为∪(－2，－1]．

1．知识清单：
(1)一元二次不等式的常见解法．
(2)简单的分式不等式的解法．
2．方法归纳：配方法、因式分解法、分类讨论法．
3．常见误区：忽略二次项系数的符号．

1.(多选)下列四个不等式， 其中解集为R的是(　　)
A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋6>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1
答案　BC
解析　A显然不可能；
B中Δ＝(－2)2－4×6<0，解集为R；
C中Δ＝62－4×10<0，满足条件；
D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数的图像开口向上，显然不可能．
2．若t>2，则关于x的不等式(x－t)<0的解集为(　　)
A.
B．(－∞，t)∪
C.∪(t，＋∞)
D．∅
答案　A
解析　∵t>2，∴t>，
∴(x－t)<0的解集为.
3．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　)
A．{x|x<－1} B.
C. D.
答案　D
解析　方法一　因为－2x2＋x＋3＝－(2x2－x－3)
＝－(x＋1)(2x－3)，
所以－(x＋1)(2x－3)<0，即(x＋1)(2x－3)>0，
所以x<－1或x>，
所以不等式的解集为.
方法二　不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，
因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25>0，
所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝，
又二次函数y＝2x2－x－3的图象开口向上，
所以不等式－2x2＋x＋3<0的解集是.
4．设集合A＝{x∈R|(x－1)2<3x＋7}，则集合A＝________________，A∩Z中有________个元素．
答案　{x|－1 解析　由(x－1)2<3x＋7，解得－1 即A＝{x|－1 故A∩Z中共有6个元素．
5．不等式≥1的解集为________．
答案　
解析　因为≥1等价于≥0，
所以≤0，等价于
解得－4 所以原不等式的解集为.


1．不等式x(2－x)>0的解集为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)
答案　D
解析　原不等式化为x(x－2)<0，故0 2．不等式x2＋3x－>0的解集为(　　)
A.
B.
C.∪
D.
答案　C
解析　原不等式可化为>0，
解得x>或x<－，
所以原不等式的解集为∪.
3．若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．[－2,2]
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,2)
答案　B
解析　∵x2＋mx＋1≥0的解集为R，
∴Δ＝m2－4≤0，
∴－2≤m≤2，故选B.
4．(多选)一元二次方程x2＋6x＋a2＝0的解集情况是(　　)
A．只有一个元素
B．可能有两个元素
C．可能为空集
D．不能确定有几个元素
答案　BCD
解析　∵Δ＝62－4×1×a2＝36－4a2，
当Δ>0，即－3 当Δ＝0，即a＝±3时，方程有两相等的实数根；
当Δ<0，即a<－3或a>3时，方程无解，
∴一元二次方程x2＋6x＋a2＝0解集的可能情况是BCD.
5．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为(　　)
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2 答案　C
解析　由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，
∴b＝－a，c＝－6a，
∴ax2＋bx＋c＝ax2－ax－6a>0，
∵a<0，∴x2－x－6<0，
∴(x－3)(x＋2)<0，∴－2 ∴原不等式的解集为{x|－2 6．不等式x2－4x＋4≤0的解集是________，x2－4x＋4≥0的解集是________．
答案　{2}　R
解析　原不等式可化为(x－2)2≤0，
∴x＝2.
由 x2－4x＋4≥0得(x－2)2≥0，
∴x∈R.
7．若a>0，b>0，则不等式－b< 答案　
解析　原不等式等价于
即可得
故不等式的解集为.
8．已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B⊆A，则a的取值范围为________．
答案　{a|a≤1}
解析　A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x 若B⊆A，则a≤1.
9．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2>0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3>0；
(4)≤3.
解　(1)原不等式可化为2x2－3x－2<0，
所以(2x＋1)(x－2)<0，
解得－ 故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0.
所以(2x＋1)(x－1)≥0，
解得x≤－或x≥1，
故原不等式的解集为.
(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，二次函数的图象开口向上，
故原不等式的解集是R.
(4)不等式≤ 3可改写为－3≤0，
即≤0.
可将这个不等式转化成
解得－1 所以原不等式的解集为{x|－1 10．已知一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
解　由题意可得a<0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴由根与系数的关系得
方法一　∵a<0,0<α<β，∴由②得c<0，
则cx2＋bx＋a<0可化为x2＋x＋>0.
①÷②，得＝＝－<0.
由②得＝＝·>0.
∴，为方程x2＋x＋＝0的两根．
又∵0<α<β，
∴0<<，
∴不等式x2＋x＋>0的解集为，
即不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
方法二　∵a<0，
∴由cx2＋bx＋a<0，得x2＋x＋1>0.
将①②代入，
得αβx2－(α＋β)x＋1>0，
即(αx－1)(βx－1)>0.
又∵0<α<β，
∴0<<.
∴所求不等式的解集为.

11．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)·<0的解集为(　　)
A. B．{x|x>a}
C. D.
答案　A
解析　∵a<－1，
∴a(x－a)<0⇔(x－a)>0.
又a<－1，
∴>a，
∴x>或x 12．(多选)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的整数x的取值可以为(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．1
答案　BC
解析　∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，
∴x2＋x－2<0，
即(x－1)(x＋2)<0，
解集为(－2,1)，又x是整数，
∴x可以是－1和0.
13．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是________．
答案　{k|k≥4或k≤2}
解析　x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，
把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，
解得k≥4或k≤2.
14．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1 答案　2
解析　因为ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1 所以a>0，m>1且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的根．
则即1＋m＝.
所以m2＋m－6＝0，
解得m＝－3(舍去)或m＝2，
故m＝2.

15．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　D
解析　由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，
∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．
∵x2－x＋1＝2＋≥，
∴a2－a≤，
解得－≤a≤，
则实数a的最大值为.
16．已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解　由2x2－3x＋1≤0，得≤x≤1.
所以条件p对应的集合P＝.
由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，
所以条件q对应的集合为Q＝{x|a≤x≤a＋1}．
因为p是q的充分不必要条件．
所以PQ⇔或
解得0≤a≤.
所以实数a的取值范围为.